带电粒子在电场中的偏转(含答案解析)

带电粒子在电场中的偏转

一、基础知识

1、带电粒子在电场中的偏转

(1)条件分析：带电粒子垂直于电场线方向进入匀强电场． (2)运动性质：匀变速曲线运动．

(3)处理方法：分解成相互垂直的两个方向上的直线运动，类似于平抛运动． (4)运动规律：

①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间

?????

a.能飞出电容器：t ＝l

v 0

.

b.不能飞出电容器：y ＝12at 2

＝qU 2md t 2

，t ＝

2mdy

qU

②沿电场力方向，做匀加速直线运动

?

????

加速度：a ＝F m ＝qE m ＝Uq

md 离开电场时的偏移量：y ＝12at 2

＝Uql 2

2mdv 2

离开电场时的偏转角：tan θ＝v y

v 0

＝Uql

mdv 20

特别提醒 带电粒子在电场中的重力问题

(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不忽略质量)．

(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都

不能忽略重力．

2、带电粒子在匀强电场中偏转时的两个结论

(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的． 证明：由qU 0＝1

2mv 20

y ＝12at 2＝12·qU 1md ·(l v 0)2 tan θ＝

qU 1l

mdv 20

得：y ＝U 1l 2

4U 0d ，tan θ＝U 1l

2U 0d

(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O 为粒子水平位移的中点，即O 到偏转电场边缘的距离为l

2.

3、带电粒子在匀强电场中偏转的功能关系

当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解：qU y ＝12mv 2－1

2

mv 20，其

中U y ＝U

d

y ，指初、末位置间的电势差．

二、练习题

1、如图，一质量为m ，带电量为＋q 的带电粒子，以速度v 0垂直于电场方向进入电场，关

于该带电粒子的运动，下列说法正确的是( )

A．粒子在初速度方向做匀加速运动，平行于电场方向做匀加速运动，因而合运动是匀加速直线运动

B．粒子在初速度方向做匀速运动，平行于电场方向做匀加速运动，其合运动的轨迹是一条抛物线

C．分析该运动，可以用运动分解的方法，分别分析两个方向的运动规律，然后再确定合运动情况

D．分析该运动，有时也可用动能定理确定其某时刻速度的大小

答案BCD

2、如图所示，两平行金属板A、B长为L＝8 cm，两板间距离d＝8 cm，A板比B板电势

高300 V，一带正电的粒子电荷量为q＝1.0×10－10 C，质量为m＝1.0×10－20 kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度v0＝2.0×106 m/s，粒子飞出电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，然后进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域(设界面PS右侧点电荷的电场分布不受界面的影响)．已知两界面MN、PS相距为12 cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9 cm，粒子穿过界面PS做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，粒子的重力不计)

(1)求粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离多远？到达PS 界面时离D 点多远？ (2)在图上粗略画出粒子的运动轨迹．

(3)确定点电荷Q 的电性并求其电荷量的大小．

解析 (1)粒子穿过界面MN 时偏离中心线RO 的距离(侧向位移)： y ＝12

at 2

a ＝F m ＝qU

dm

L ＝v 0t

则y ＝12at 2＝qU 2md (L v 0

)2＝0.03 m ＝3 cm 粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS 交于H ，设H 到中心线的距离为Y ，则有

12L

12

L ＋12 cm

＝y

Y

，解得Y ＝4y ＝12 cm

(2)第一段是抛物线、第二段是直线、第三段是圆弧(图略) (3)粒子到达H 点时，其水平速度v x ＝v 0＝2.0×106 m/s

竖直速度v y ＝at ＝1.5×106 m/s 则v 合＝2.5×106 m/s

该粒子在穿过界面PS 后绕点电荷Q 做匀速圆周运动，所以Q 带负电 根据几何关系可知半径r ＝15 cm

k qQ

r 2＝m v 2合

r

解得Q ≈1.04×10－8 C

答案 (1)12 cm (2)见解析 (3)负电 1.04×10－8 C

3、如图所示，在两条平行的虚线内存在着宽度为L 、电场强度为E 的匀强电场，在与右侧虚线相距也为L 处有一与电场平行的屏．现有一电荷量为＋q 、质量为m 的带电粒子(重力不计)，以垂直于电场线方向的初速度v 0射入电场中，v 0方向的延长线与屏的交点为O .试求：

(1)粒子从射入电场到打到屏上所用的时间；

(2)粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值tan α； (3)粒子打在屏上的点P 到O 点的距离x . 答案 (1)2L v 0 (2)qEL mv 20 (3)3qEL 22mv 20

解析 (1)根据题意，粒子在垂直于电场线的方向上做匀速直线运动，所以粒子从射入

电场到打到屏上所用的时间t ＝2L

v 0

.

(2)设粒子刚射出电场时沿平行电场线方向的速度为v y ，根据牛顿第二定律，粒子在电场中的加速度为：a ＝

Eq m

所以v y ＝a L v 0＝

qEL

mv 0

所以粒子刚射出电场时的速度方向与初速度方向间夹角的正切值为tan α＝v y v 0＝qEL

mv 20

.

(3)解法一 设粒子在电场中的偏转距离为y ，则 y ＝12a (L v 0)2＝12·qEL 2mv 20

又x ＝y ＋L tan α， 解得：x ＝3qEL 22mv 20

解法二 x ＝v y ·L

v 0＋y ＝3qEL 2

2mv 20

. 解法三 由x

y ＝L ＋

L

2

L 2

得：x ＝3y ＝3qEL 22mv 20

.

4、如图所示，虚线PQ 、MN 间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子质量为m ＝2.0

×10－11 kg 、电荷量为q ＝＋1.0×10－5 C ，从a 点由静止开始经电压为U ＝100 V 的电场加速后，垂直于匀强电场进入匀强电场中，从虚线MN 的某点b (图中未画出)离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ 、MN 间距为20 cm ，带电粒子的重力忽略不计．求：

(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速率v 1； (2)水平匀强电场的场强大小； (3)ab 两点间的电势差．

答案 (1)1.0×104 m/s (2)1.732×103 N/C (3)400 V 解析 (1)由动能定理得：qU ＝1

2mv 21

代入数据得v 1＝1.0×104 m/s

(2)粒子沿初速度方向做匀速运动：d ＝v 1t 粒子沿电场方向做匀加速运动：v y ＝at 由题意得：tan 30°＝v 1v y

由牛顿第二定律得：qE ＝ma 联立以上各式并代入数据得：

E ＝3×103 N/C ≈1.732×103 N/C

(3)由动能定理得：qU ab ＝1

2m (v 21＋v 2y )－0

联立以上各式并代入数据得：U ab ＝400 V .

5、如图所示，一价氢离子(11H)和二价氦离子(42He)的混合体，经同一加速电场加速后，垂直

射入同一偏转电场中，偏转后，打在同一荧光屏上，则它们( )

A．同时到达屏上同一点B．先后到达屏上同一点

C．同时到达屏上不同点D．先后到达屏上不同点

答案 B

解析一价氢离子(11H)和二价氦离子(42He)的比荷不同，经过加速电场的末速度不同，因此在加速电场及偏转电场的时间均不同，但在偏转电场中偏转距离相同，所以会先后打在屏上同一点，选B.

6、如图所示，六面体真空盒置于水平面上，它的ABCD面与EFGH面为金属板，其他面为

绝缘材料．ABCD面带正电，EFGH面带负电．从小孔P沿水平方向以相同速率射入三个质量相同的带正电液滴a、b、c，最后分别落在1、2、3三点．则下列说法正确的是( )

A．三个液滴在真空盒中都做平抛运动B．三个液滴的运动时间不一定相同

C．三个液滴落到底板时的速率相同D．液滴c所带电荷量最多

答案 D

解析三个液滴具有水平速度，但除了受重力以外，还受水平方向的电场力作用，不是平抛运动，选项A错误；在竖直方向上三个液滴都做自由落体运动，下落高度又相同，故运动时间必相同，选项B错误；在相同的运动时间内，液滴c水平位移最大，说明它在水平方向的加速度最大，它受到的电场力最大，电荷量也最大，选项D正确；因为重力做功相同，而电场力对液滴c做功最多，所以它落到底板时的速率最大，选项C 错误．

7、绝缘光滑水平面内有一圆形有界匀强电场，其俯视图如图所示，图中xOy所在平面与光

滑水平面重合，电场方向与x轴正向平行，电场的半径为R＝ 2 m，圆心O与坐标系的原点重合，场强E＝2 N/C.一带电荷量为q＝－1×10－5 C、质量m＝1×10－5 kg 的粒子，由坐标原点O处以速度v0＝1 m/s沿y轴正方向射入电场(重力不计)，求：

(1)粒子在电场中运动的时间； (2)粒子出射点的位置坐标； (3)粒子射出时具有的动能．

答案 (1)1 s (2)(－1 m,1 m) (3)2.5×10－5 J

解析 (1)粒子沿x 轴负方向做匀加速运动，加速度为a ，则有：

Eq ＝ma ，x ＝1

2

at 2

沿y 轴正方向做匀速运动，有

y ＝v 0t x 2＋y 2＝R 2

解得t ＝1 s.

(2)设粒子射出电场边界的位置坐标为(－x 1，y 1)，则有

x 1＝1

2

at 2＝1 m ，y 1＝v 0t ＝1 m ，即出射点的位置坐标为(－1 m,1 m)．

(3)射出时由动能定理得Eqx 1＝E k －1

2mv 20

代入数据解得E k ＝2.5×10－5 J.

8、如图所示，在正方形ABCD 区域内有平行于AB 边的匀强电场，E 、F 、G 、H 是各边中

点，其连线构成正方形，其中P点是EH的中点．一个带正电的粒子(不计重力)从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出．以下说法正确的是( )

A．粒子的运动轨迹一定经过P点

B．粒子的运动轨迹一定经过PE之间某点

C．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子会由ED之间某点射出正方形ABCD区域D．若将粒子的初速度变为原来的一半，粒子恰好由E点射出正方形ABCD区域

答案BD

解析粒子从F点沿FH方向射入电场后恰好从D点射出，其轨迹是抛物线，则过D 点做速度的反向延长线一定与水平位移交于FH的中点，而延长线又经过P点，所以粒子轨迹一定经过PE之间某点，选项A错误，B正确；由平抛运动知识可知，当竖直位移一定时，水平速度变为原来的一半，则水平位移也变为原来的一半，所以选项C错误，D正确．

9、用等效法处理带电体在电场、重力场中的运动

如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现

有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝3mg

3E

，要使小球能安全通过圆轨道，在

O点的初速度应满足什么条件？

图9

审题与关联

解析小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，

类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为

mg ′＝qE 2＋mg 2＝

2

3mg 3，tan θ＝qE mg ＝3

3

，得θ＝30°，等 效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．

因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的等效“最高点”(D 点)满足等效重力刚好提供向心力，即有：mg ′＝

mv 2D R

，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系可知AD ＝

2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知： －2mg ′R ＝12mv 2D －1

2

mv 20 解得v 0＝ 10

3gR 3

，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥

10

3gR 3

. 答案 v ≥

10

3gR

3

10、在空间中水平面MN 的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为m 的带电小球由MN

上方的A 点以一定的初速度水平抛出，从B 点进入电场，到达C 点时速度方向恰好水平，A 、B 、C 三点在同一直线上，且AB ＝2BC ，如图所示．由此可见( )

A ．电场力为3mg

B．小球带正电

C．小球从A到B与从B到C的运动时间相等

D．小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小相等

答案AD

解析设AC与竖直方向的夹角为θ，带电小球从A到C，电场力做负功，小球带负电，由动能定理，mg·AC·cos θ－qE·BC·cos θ＝0，解得电场力为qE＝3mg，选项A正确，B错误．小球水平方向做匀速直线运动，从A到B的运动时间是从B到C的运动时间的2倍，选项C错误；小球在竖直方向先加速后减速，小球从A到B与从B到C 竖直方向的速度变化量的大小相等，水平方向速度不变，小球从A到B与从B到C的速度变化量的大小相等，选项D正确．