高中数学32 直线的一般式方程 1人教版必修2PPT课件
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3.2.3 直线的一般式方程 课件(22张PPT)高中数学必修2(人教版A版)
问题探究
对于任意一个二元一次方程:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
1)当B ≠0时,方程可变形为: C 它表示过点(0, B ) ,斜率为
A B
的直线.
x C A
2)当B=0时,由于 A,B不同时为零,必有A ≠0,方程可化为: 它表示一条与x轴垂直的直线.
所以任意一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同 时为零)都表示一条直线.
(其中A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
问题1：直线方程的一般式Ax+By+C=0与 其他几种特殊形式相比，它有什么优点？ 问题2：一般式Ax+By+C=0中系数A,B,C几 何意义？ 问题3：直线Ax+By+C=0，当AB<0,BC<0时， 此直线不通过的象限是( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
§3.2.3
直线的一般式方程
复习回顾
1.直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.存在
适合斜率存在
斜截式 y = kx + b
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 两点式 y2 y1 x2 x1
x y 截距式 1a, b 0 a b
A2 x B2 y C2 0
如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?
布置作业：
P99(练习)1,2； p100（习题）A组 2,10,11； B组2
适合与坐标轴不垂直 适合与坐标轴不垂直， 且不过原点
复习回顾
2. 几种特殊的直线的方程
①过点P1(x1, y1)，垂直于x轴的直线的方程： x= x1 ②过点P1(x1, y1)，垂直于y轴的直线的方程： y= y1
3.2.3《直线的一般式方程》(必修二,数学,优秀课件)
a=1
练习2:已知直线l1：x-ay-1=0和
l2：a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
a=1或a=0
三、直线系方程:
1)与直线l： Ax By C 0 平行的直线系
方程为： Ax By m 0
(其中m≠C，m为待定系数)
三、直线系方程:
2)与直线l： Ax By C 0 垂直的直线系
x y 1 a b
两个截距 化成一般式
截距式
Ax+By+C=0
作业： P99-100练习：1，2. P101习题3.2B组：1，2，5.
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？
(2) l1 l2 的条件是什么？
2 .l1 l2 A1 A2 B1B2 0 3.l1, l2相交 A1B2 A2 B1 0
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 1.l1 // l2 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
0 x
5.
深化探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线： （1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合; （4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交; y
3.2.3《直线的一般式方程》
• 学习目标：知道什么是直线的一般式方程， 会将直线的一般式方程化为点斜式、斜截式、 两点式方程，反之亦然，理解二元一次方程 与直线的关系。 • 学习重点：直线的一般式方程、点斜式方程、 斜截式方程的互化。 • 学习难点：理解二元一次方程与直线的关系。
高中数学人教A版必修二 3.2.3 直线的一般式方程 课件(51张)
课后巩固
1．若直线 l 的一般式方程为 2x－y＋1＝0，则直线 l 不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 ∵y＝2x＋1，k>0，b>0，∴选 D.
2．过点(1，0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
∴2x0＋3y0－6＝0. ∵线段 PP′的中点为 A(1，－1)， ∴1＝x＋2x0，－1＝y＋2 y0，即 x0＝2－x，y0＝－2－y. ∴2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，即 2x＋3y＋8＝0. 故所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
(2)直线 l 被两条直线：4x＋y＋6＝0，3x－5y－6＝0 截得的 线段的中点恰好是坐标原点，求直线 l 的方程．
课时学案
题型一 求直线的一般式方程
例 1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方 程：
(1)斜率为 3，且经过点 A(5，3)； (2)过点 B(－3，0)，且垂直于 x 轴； (3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴； (5)经过 C(－1，5)，D(2，－1)两点； (6)在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1.
(2)直线 3x＋2y＋6＝0 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则
有( )
A．k＝－32，b＝3
B．k＝－23，b＝2
C．k＝－32，b＝－3
D．k＝－23，b＝－3
【解析】 直线方程可化为 y＝－32x－3， 故 k＝－32，b＝－3. 【答案】 C
(3)直线 5x－2y－10＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截
2.2.3直线的一般式方程(教学课件(人教版))
解(1)若方程不能表示直线，则 m2＋5m＋6＝0 且 m2＋3m＝0.
解方程组
m 2＋5m＋6＝0，得 m 2＋3m＝0，
m＝－3
(2)由已知 m2m2－2＋mm≠－0，3＝－（m2－m），解由得已m知＝－24mm12－ .＋1m＝－2m3≠2＋ 0，m－3，
例4（一般式下直线的平行与垂直问题）
BB
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为 x C . A
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表 示一条直线.
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的 一般式方程, 简称一般式. 探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线：
两点式
过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2)
直线方程 y y0 k( x x0 )
y kx b y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
应用范围
不含与x轴垂
直的直线
不含与x轴垂
直的直线
不含与x, y轴
垂直的直线
截距式
过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0)
已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A 和直线l垂直的直线方程．
解 (1)将与直线 l 平行的方程设为 3x＋4y＋C1＝0，
又过点 A(2,2)，所以 3×2＋4×2＋C1＝0，所以 C1＝－14.
人教A版必修二高二数学教学课件：3.2.3直线的一般式方程.pptx
不垂直于x、 y轴的直线
截距式 在x轴上的截距a, 在y轴上的截距b
x y 1
不垂直于x、y 轴的直线，不
ab
过原点的直线
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是__y-1_=2(_x-2)________
23． ．过过点点((22,,11))，，斜斜率率为不存0的在直的线直方线程的是方__程y=1__是_____x=__2 _________
0
(x6)A≠0，B≠0;
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
，
4 3
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数
为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，
含y项、常数项顺序排列.
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
0
x
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表 示的直线：
（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;
（4）与y轴重合; （5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;
y
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0;
(2) B=0 , A≠0 , C≠0;
(3) A=0 , B≠0 ,C=0;
高中数学3.2.3《直线的一般式方程》课件(新人教A版必修2)
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
§3.2.3直线的一般式方程
温复故知习新 回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.y. B.来自AOx
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）
(A) A·B>0,A·C>0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
§3.2.3直线的一般式方程
温复故知习新 回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.y. B.来自AOx
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）
(A) A·B>0,A·C>0
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
() A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
解析：－x2＋－y3＝1 为直线的截距式，在 x 轴，y 轴
上的截距分别为－2，－3.
答案：B
4．直线 l 过点(－1，2)和点(2，5)，则直线 l 的方程 为______________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：
y－2 x－（－1）
[典例 1] 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)， 在△ABC 中，求：
(1)BC 边的方程； (2)BC 边上的中线所在直线的方程．
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y－（－4） x－5
由两点式得，
＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，
－2－（－4） 0－5
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义． 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其 中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)求边 BC 所在直线的方程； (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程． 解：(1)直线 BC 过点 B(3，－3)，C(0，2)，由两点式， 得2y＋＋33＝x0－－33，整理得 5x＋3y－6＝0，所以边 BC 所在 的直线方程为 5x＋3y－6＝0.
(2)因为 B(3，－3)，C(0，2)，所以由中点坐标公式 可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3＋2 0，－32＋2，即 32，－12，可得直线 AM 的方程为－y－12－00＝x32－－（（－－55））， 整理得直线 AM 的方程为 x＋13y＋5＝0.
人教版高中数学必修二课件：3.2直线的方程 1
都不为0，可设直线方程为 x y 1 ， 根据题中的条
ab
件得出关于a，b的方程组，从而得出直线方程.
【解析】由题意设直线l的方程为 x y 1，
ab
则a+b=12， ①
又直线l过点(-3，3)，所以 3 3 1,
②
ab
联立①②解得
a3
53,
或a3
53,
y x
2 2
y1 x1
(x-x1).
2.方程y-y1=
y2 x2
y1 x1
(x-x1)(x1≠x2)能否写成
xx1 yy1 ?
x2 x1 y2 y1
提示:当y1≠y2时，可以写成上式;当y1=y2时，不能
写成该形式.
结论:两点式方程的形式 _y_y2__yy_11___xx_2_x_x1_1 _(x1≠x2，y1≠y2)，当x1=x2时，方程
B.x y 1 23
D.x y 1 23
【解析】选B.在x轴，y轴上的截距分别是2，-3的直 线的方程是 x y 1.
23
2.过定点(2，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的
直线有n条，则n的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.以上答案都不对
【解析】选C.①若此直线经过原点，则斜率k= 3 ，
【解析】(1)BC中点D的坐标为(2，0)，
所以直线AD方程为: y 3 x 1，化简得y=-3x+6.
0 3 2 1
(2)因为kAC=
3 1
1 1
=2，BH⊥AC，所以kBH=-
1 2
，
所以直线BH方程为:y-1=- 1 (x-5)，即
ab
件得出关于a，b的方程组，从而得出直线方程.
【解析】由题意设直线l的方程为 x y 1，
ab
则a+b=12， ①
又直线l过点(-3，3)，所以 3 3 1,
②
ab
联立①②解得
a3
53,
或a3
53,
y x
2 2
y1 x1
(x-x1).
2.方程y-y1=
y2 x2
y1 x1
(x-x1)(x1≠x2)能否写成
xx1 yy1 ?
x2 x1 y2 y1
提示:当y1≠y2时，可以写成上式;当y1=y2时，不能
写成该形式.
结论:两点式方程的形式 _y_y2__yy_11___xx_2_x_x1_1 _(x1≠x2，y1≠y2)，当x1=x2时，方程
B.x y 1 23
D.x y 1 23
【解析】选B.在x轴，y轴上的截距分别是2，-3的直 线的方程是 x y 1.
23
2.过定点(2，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的
直线有n条，则n的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.以上答案都不对
【解析】选C.①若此直线经过原点，则斜率k= 3 ，
【解析】(1)BC中点D的坐标为(2，0)，
所以直线AD方程为: y 3 x 1，化简得y=-3x+6.
0 3 2 1
(2)因为kAC=
3 1
1 1
=2，BH⊥AC，所以kBH=-
1 2
，
所以直线BH方程为:y-1=- 1 (x-5)，即
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+
y b
=1
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
过点（ x0 , y 0）与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
过点（ x0 ,
y
）
0
与y轴垂直的直线可表示成
y
y0。
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是___y-_1=_2(_x-_2)_____ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 程是_____y_=_1____ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 线的方程是__x_=2______
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k＝－ A
B
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出
yC B
值，则
bC B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C 值，则 a C
A
A
拓展训练题:
设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)．
（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；
例2 把直线 l:3x5y150化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。 解：将直线的一般式方程化为斜截式：y 3 x 3，
5
它的斜率为： 3 ，它在y轴上的截距是3 5
思考：若已知直线 l:3x5y150，求它在x轴上 的截距．
求直线的一般式方程 A x B y C 0 ( 在 A ,B 都 不 为 零 时 )
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3 2
,-3;
x 3
+
y -3
=12x-y-3=0
2
注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知 直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
-
2
，
所以， l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，当且仅当
(a 1) 0
(a 1) 0
a
2
0
或
Байду номын сангаас
a
2
0
，∴ a -1
综上所述，a的取值范围是(- , -1] ．
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
探究：在方程 AxByC0中， 1.当 A 0 ， B 0 ， C 0时，方程表示的直线与x轴 平行 ；
2.当A 0 ， B 0 ， C 为 任 意 实 数 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当A 0 ， B 0 ， C 0 时，方程表示的直线与x轴_重__合___ ； 4.当 A 0 ， B 0 ， C 0 时，方程表示的直线与y轴重合 ； 5.当 C0,A ,B 不 同 时 为 0时，方程表示的直线过原点.
直线的一般式方程
授课教师 陈怡
(一)填空
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式 斜截式 两点式
截距式
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y-y0=k(xx-0) 有斜率的直线
y=kx+b
有斜率的直线
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转 化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一
般式：
1.过点A(6,-4),斜率为-
y43+;4=-43(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
-y4++22=x5--33x+y-1=0
总结: 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的 二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考2：对于任意一个二元一次方程 A xB yC0（A，B不同时为零）
能否表示一条直线？
B0时,方程变为 y=AB-x-CB
表示过点(0CB,)-,斜率为AB-的直线
B=0时,方程变为 x=CA-（A 0)
表示垂直于x轴的一条直线
（2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此 时a=2,方程为3x+y=0.
即
a
若 a
a+1=1,
2 ，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，有 ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0.
a
-2 1
a
You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日