反常积分判敛法
反常积分的敛散性判定方法
内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75 分目录摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..1关键词⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯..1引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2一、预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯ . 21.无穷限反常积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..22.瑕积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯33.反常积分的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯3二、反常积分的收敛判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. 41 无穷积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯ . ⋯⋯⋯⋯⋯4(1). 定义判别法(2). 比较判别法(3).柯西判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯ 5(4)阿贝尔判别法 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.6(5).狄利克雷判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯7 2 瑕积分的收敛判别⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯. .⋯8(1). 定义判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯8(2). 定理判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯.9.(3). 比较判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯⋯9(4).柯西判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯9(5).阿贝尔判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯.10(6).狄利克雷判别法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯.⋯⋯⋯⋯⋯10.参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.. ⋯⋯ . ⋯. ⋯⋯⋯11摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。
反常积分的敛散性判定方法
XX财经大学本科学年堆文反常积分敛散牲的判定方法作者陈志强学院统廿与数学学院专世数学与应用数学年级2012级学号122094102 指导教师魏运导师职称蟄授最终成绩摘要 (1)关鍵词 (1)弓I 言一、预备知识......1•无穷限反常枳分2.暇枳分3•反常枳分的性质二、反常积分的收敛判别法1无穷枳分的收敛判别⑴•定义判别法(2)•比较判别法⑶嗣西圳别法⑷阿贝尔判别法.⑸•放利克雷判别法2瑕枳分的收敛判别⑴•定义列别法(2)•定理判别法(3)・比较判别法⑷•柯西判别法• ••••••...4卑屿01参考文献......在很多实际间题中，要突破枳分区同的有穷11和被枳函数的有界性，由此得到了定枳分的两种形式的推广：无穷限反常枳分和瑕枳分。
我们将这两种枳分貌称为反常枳分。
因为反常枳分涉及到一个收敛问题，所以反常枳分的敛散性判定就显得非常重要了。
本文将对反常枳分的敛散性判定进行I月纳总结，并给出了相关定理的込明，举例说明其应用，这样将有MTKffl灵活的运用各种等价定理利Bi反常枳分的敛散性。
关键词：反常枳分陨枳分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常枳分敛散性的判别方法做了研究并取得了许名重要的进展。
如华东IMX大学数学系编，数学分析（上IB ）,对反常枳分枳分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。
华中科枝大学出版的数学分折理论方法与技H,也对反常枳分敛散性判别做了库细的讲解，连用图形的方法说明其直义。
引申岀反常枳分敛散II的等价定义，并通ii例题说明其应用。
众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明显，逆对我现所研究的论文题目提fftTt量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究，而本文冷对其8H亍归纳总给,举例说明其应用。
一、预备知识1.无穷限反常秋分定义1.1设函数于（X ）在［a, +00）有定义，若/（X）在［a, A］上可枳（A>a ）rA 『8目当A-+OO时，［im［fZx存在，称反常枳分［fZx收敛，否则4—>oo Ja J a称反常枳分£/U^^£/（A>/X发散。
反常积分收敛判断
反常积分收敛判断1. 引言在数学中，积分是一种重要的概念，它可以用于计算曲线下的面积、求解微分方程等。
在一些特殊情况下，我们会遇到反常积分，即积分的上限或下限为无穷大或无界的情况。
而反常积分收敛判断就是研究这种情况下积分是否存在有限的结果。
2. 反常积分的定义对于函数f(x)，若在区间[a, +∞)或(-∞, b]上连续（除了有限个点外），则称函数f(x)在该区间上具有反常积分。
反常积分可以表示为：或者其中a和b可以是任意实数。
3. 收敛与发散对于反常积分而言，存在两种可能的结果：收敛和发散。
•若反常积分存在有限的结果，则称其为收敛的。
•若反常积分不存在有限的结果，则称其为发散的。
4. 收敛判断方法在数学中，有多种方法可以用来判断反常积分是否收敛。
下面介绍几种常见且实用的方法。
4.1 极限判别法极限判别法是一种常用的判断反常积分收敛性的方法。
具体步骤如下：1.计算极限：或。
2.若极限存在且有限，则反常积分收敛。
3.若极限不存在或为无穷大，则反常积分发散。
4.2 比较判别法比较判别法是通过与一个已知收敛或发散的函数进行比较，来判断反常积分是否收敛。
具体步骤如下：1.选择一个已知函数g(x)，使得g(x)在区间[a, +∞)（或(-∞, b]）上连续，并且满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)。
2.对于区间[a, +∞)，若收敛，则也收敛。
3.对于区间(-∞, b]，若收敛，则dx)也收敛。
4.3 绝对收敛判别法绝对收敛判别法是比较严格的一种判断方法，它要求被积函数的绝对值函数在区间上的积分存在有限的结果。
具体步骤如下：1.计算。
2.若收敛，则反常积分收敛。
5. 实例分析下面通过几个实例来说明如何使用以上方法进行反常积分收敛判断。
5.1 极限判别法考虑反常积分。
首先计算极限：=0)。
由于极限存在且为有限值，因此根据极限判别法，该反常积分收敛。
5.2 比较判别法考虑反常积分…)…-%29%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx)。
§6.2反常积分判敛法1
1 x 1 x2
1 1 ， p 2, l 1, 1 1 x2
3
（2） x 2 dx
1 1 x 2 3
解：∵ lim x x 2 lim x2 x ， p 1, l ,
x 1 x 2 x 1 x 2
3
∴ x 2 dx 发散。
1 1 x 2
（3） x arctan xdx
0 (1 x 2 )(1k 2 x 2 )
解：x1 是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1 , (q 1, l
x1 (1 x)(1k 2x2 ) 2(1k 2 )
2
1) 2(1k 2 )
∴ 1
dx
收敛。
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
（2）
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则（1）当
b
ag
(x)dx
收敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
定理 5（极限判别法）
设 f (x)C[a, b) ， f (x) 0 ，x b 为无穷型间断点，
0
当 x 为正整数n 时，有
(n1)n(n)n(n1)(n1) n(n1)(n2)21(1)n!(1)
而(1) etdt 1 ，故 (n1) n !。 0
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即x1 0 时，(x1) 有定义， 从而定义(x) (x1) ，1 x 0 ，
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1
且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;
（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞
() > , 于是 න d发散.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න
e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
g ()d收敛, 则对 > 有
න ()d ≤ න g ()d ≤ න
反常积分的审敛法
反常积分的审敛法反常积分是数学中的一个重要概念，它在计算学科中有着广泛的应用。
本文将介绍反常积分的审敛法，包括其定义、性质以及常用的审敛法。
一、反常积分的定义反常积分是对于某些函数在某个区间上积分不存在或者无穷大的情况下的一种积分方法。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的反常积分定义如下：∫[a, b] f(x)dx = lim┬(n→∞)〖∫[a, b] f(x)dx〗其中，lim表示极限，n表示一个趋向于无穷大的数列。
二、反常积分的性质1. 线性性质：对于函数f(x)和g(x)，以及常数k，有如下性质：∫[a, b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] k·f(x)dx = k·∫[a, b] f(x)dx2. 区间可加性：对于函数f(x)，在区间[a, b]和[b, c]上的反常积分分别存在，则有：∫[a, c] f(x)dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[b, c] f(x)dx3. 非负性：对于函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(x)≥0，则有：∫[a, b] f(x)dx ≥ 0反常积分的审敛法是判断反常积分是否收敛的一种方法。
常用的审敛法有以下几种：1. 比较审敛法：对于函数f(x)和g(x)，如果在某个区间[a, b]上f(x)≤g(x)，且∫[a, b] g(x)dx收敛，则有∫[a, b] f(x)dx也收敛；反之，如果∫[a, b] f(x)dx发散，则有∫[a, b] g(x)dx也发散。
2. 极限审敛法：对于函数f(x)，如果存在极限lim┬(x→a)(x-a)·f(x)=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中a为积分区间的一个端点，b为另一个端点。
3. 部分和审敛法：对于函数f(x)，如果存在数列{S_n}，使得lim┬(n→∞)S_n=L，则有∫[a, b] f(x)dx收敛，其中S_n表示函数f(x)在区间[a, b]上的部分和。
反常积分的敛散性判定方法
内受古财经大教本科教年论文之阳早格格创做反常积分敛集性的判决要领做家陈志强教院统计与数教教院博业数教与应用数教年级2012级教号122094102指挥西席魏运导师职称熏陶最后结果75分目录纲要 (1)关键词汇 (1)弁止----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) (2) (3) (3)二、反常积分的支敛判别法 (4)1无贫积分的支敛判别 (4)(1).定义判别法 (4)(2).比较判别法 (4)(3).柯西判别法 (5)(4)阿贝我判别法 (6)(5).狄利克雷判别法 (7)2瑕积分的支敛判别.................................................. . (8)(1).定义判别法 (8)(2).定理判别法 (9)(3).比较判别法 (9)(4).柯西判别法 (9)(5).阿贝我判别法 (10)(6).狄利克雷判别法 (10)参照文件 (11)纲要正在很多本量问题中，要突破积分区间的有贫性战被积函数的有界性，由此得到了定积分的二种形式的推广：无贫限反常积分战瑕积分.咱们将那二种积分统称为反常积分.果为反常积分波及到一个支敛问题，所以反常积分的敛集性判决便隐得非常要害了.本文将对于反常积分的敛集性判决举止归纳归纳，并给出了相关定理的道明，举例道明其应用，那样将有帮于咱们机动的使用百般等价定理推断反常积分的敛集性.关键词汇：反常积分 瑕积分 极限 敛集性弁止近些年此后，一些数教处事者对于反常积分敛集性的判别要领干了钻研并博得了许多要害的收达.如华东师范大教数教系编，数教分解（上册），对于反常积分积分的定义，本量的使用及道义其判别支敛性的要领.华中科技大教出版的数教分解表里要领与本领，也对于反常积分敛集性判别干了仔细的道解，还用图形的要领道明其意思.扩充出反常积分敛集性的等价定义，并通过例题道明其应用.稠密教者钻研的真量齐而广，真用性很下，更加是正在钻研敛集性的判别很明隐，那对于我现所钻研的论文题目提供了洪量的表里依据战参照文件，对于我完毕此次论文有很大的帮闲，但是绝大普遍文件不过对于其一种要领举止钻研，而本文将对于其举止归纳归纳，举例道明其应用.一 、预备知识()f x 正在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 正在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()AaA f x dx→∞⎰ 存留，称反常积分 ()af x dx∞⎰支敛，可则称反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx∞-∞⎰收集.对于反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx ∞-∞⎰可类似的给出敛散性定义。
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1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
a
b a
b
（2）当 f ( x )dx 发散时， g( x )dx 也发散。
a
9
6.2
反常积分判敛法
定理 4 (极限判别法)
设 f ( x ) C[a, b) ， f ( x ) 0 ， x b 为无穷型间断点，
1
∴
0
1 1 sin sin 1 x dx ，从而 x dx 收敛。 0 x x
14
6.2
反常积分判敛法
例4. 讨论反常积分
0
e t t x 1dt 的敛散性。
解：此积分的积分区间为无穷区间，又当 x 1 时， t 0 是被积函数的瑕点。
为此讨论下列两个反常积分：
I1 e t
0
1
解： I 1 xe
x2 2 x
dx
xe
1 2
1( x 1)2
dx e
1
xe
( x 1)2
dx
1 1 令 t ( x 1)2 ，则 x 1 t ， dx t 2 dt ， 2
I e
0
1 1 (1 t )e t t 2 dt 2
b
b
a
dx ( a b) q (b x )
当 q 1 时收敛， 当 q 1 时发散。
2
6.2
反常积分判敛法
一、无穷区间上反常积分的判敛法
定理 1
(比较判别法)
设 f ( x ), g( x ) C[a,) ，且 0 f ( x ) g( x ) （ x [a,) ） ，则
６.２ 反常积分判敛法
一、无穷区间上反常积分的判敛法 二、无界函数反常积分的判敛法 三、Γ函数
6.2
反常积分判敛法
复习：
无穷区间的反常积分 1．反常积分 无界函数的反常积分
2. p积分：
a
dx (a 0) p x
当 p 1 时收敛， 当 p 1 时发散。
dx 3. q积分： a ( x a )q 及
再定义 ( x )
( x 1)
x
， 2 x 1 ，
依次类推，可将 ( x ) 的定义域扩充为除 0 与负整数
t x 1 之外的一切实数，即 e t dt , x0 0 ( x ) ( x 1) , x 0且x 1, 2, 3, x 18
2． 函数的递推公式 ： ( x 1) x ( x )( x 0)
当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n(n) n(n 1)( n 1)
n(n 1)(n 2)
而 (1)
0
2 1 (1) n! (1)
17
收敛
0
dx
11
6.2
反常积分判敛法
例3. 判断下列反常积分的敛散性：
(1)
1
dx (1 x 2 )(1 k 2 x 2 )
0
(k 2 1)
椭圆积分
解： x 1 是瑕点。
(1 x 2 )(1 k 2 x 2 ) 1 1 1 lim , (q , l 2 2 2 x 1 (1 x )(1 k x ) 2(1 k ) 2
定理 2 (极限判别法)
设 f ( x ) C[a,) ， f ( x ) 0 ，且 lim x p f ( x ) l ，则
x
（1）当 p 1 ， 0 l 时，
a
f ( x )dx 收敛； f ( x )dx 发散。
6
（2）当 p 1 ， 0 l 时， a
b b a
∴ b a ，有 I (b) f ( x )dx g( x )dx
a a
g( x )dx A ,
∵ I (b) f (b) 0 ，
∴ I (b) 单调不减且有上界，
故 lim I (b) lim a f ( x )dx 存在，即 a
e t dt 1 ，故 ( n 1) n ! 。
6.2
反常积分判敛法
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即 x 1 0 时， ( x 1) 有定义， ( x 1) 从而定义 ( x ) ，1 x 0 ， x 当 2 x 1 ，即 1 x 1 0 时， ( x 1) 有定义，
1
dx 和 I 2
1 sin x
dx 的敛散性
2
x 1 x lim 1， ∵ lim (q , l 1) x 0 x 0 sin x sin x 2
1 2
∴ I1 收敛。
x 1 lim ( x ) lim 1 ∵ ， (q , l 1) x 2 sin x x sin( x)
19
6.2
反常积分判敛法
例．用 函数表示下列积分：
（1） 0 x e
19 x 8
dx
( x ) e t t x 1 dt
0
( x 1) x( x )
解：令 x 8 t ， 8 x 7dx dt ，
1 x 8 12 7 x e dx e x 8 x dx 0 8 0 5 1 1 5 1 3 1 t 2 e t dt ( ) ( 1) 8 2 8 2 8 0
∴ 0
dx dx 发散，故 也发散。 0 1 x 1 x sin x
5
6.2
反常积分判敛法
dx ( a 0) 当 p 1 时收敛；当 p 1 时 由于反常积分 a p x 1 发散。因此在定理 1 中取 g( x ) p ，即可得反常积分的 x 极限判别法。
（1）当
a
g( x )dx 收敛时，
a
f ( x )dx 也收敛；
（2）当
a
f ( x )dx 发散时，
a
g( x )dx 也发散。
3
6.2
反常积分判敛法
a
证明： （1）设
g( x )dx 收敛于 A，∵ 0 f ( x ) g( x ) ，
x 1
x) ∵ lim(1
1 2
1
1 2(1 k 2 )
)
∴
1 0
dx (1 x 2 )(1 k 2 x2 )
收敛。
12
6.2
sin x 解： x 0 和 x 是瑕点，为此讨论下面两个反常积分
0
(2)
反常积分判敛法
1
dx
I1
2
0
1 sin x
b b b
f ( x )dx 收敛。
（2）用反证法由（1）即得。
4
6.2
反常积分判敛法
例 1．判别下列反常积分的敛散性： 1 dx （1） 1 sin 2 dx （2） 0 1 x sin x x
1 1 1 解：(1)∵ 0 sin 2 2 ，而 dx 收敛， 2 1 x x x 1 ∴ 1 sin 2 dx 收敛。 x 1 1 0， （2）∵ 1 x sin x 1 x dx ln(1 x ) ， 而0 0 1 x
f ( x ) dx 收敛，则
即绝对收敛的反常积分 a f ( x )dx 必定收敛。
例 3．判别反常积分 的敛散性。
0
a
f ( x )dx 也收敛。
e ax sin bxdx ( a , b 都是常数，且 a 0 )
0
解：∵ e
∴
0
ax
sin bx e
lim ( x a ) q f ( x ) l 。