第七章正则方程
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结构力学：第七章《力法》
为此，求出基本结构的
和NP值 N1
0 22 1
-1/2
对称
2
列表计算(见书137页)后得
EA11=(3+ ) a EA△1P=－Pa
2P 2
NP 0
3 P0
1
+P/2
P 4
对称返29回2
代入典型方程，解得
3
22
X1=1
4
=0.172P
0 22 1
对称
N1
-1/2
2
各杆内力按式
X1 1 M1图
M 2图
M3图 P Pab L
作基本结构各 和MP图
1 X2 1 由于 3=0,故
13= 31= 23= 32= △3P=0
X3 1 则典型方程第三式为
MP图
代代入入典典型型方3方3X程程3(=解消0得去公因子)得
33≠0(因X3的解唯一)
Pab2
L2 M图
MAC= a
4P 11
+
a(
3P 88
)
Pa 2
内力的计算便是静定问题。
返26回
2 、力法的计算步骤
（1）确定原结构的超静定次数。 （2）选择静定的基本结构(去掉多余联系， 以多余未知力代替)。 （3）写出力法典型方程。 （4）作基本结构的各单位内力图和荷载内力 图，据此计算典型方程中的系数和自由项。 （5）解算典型方程，求出各多余未知力。 （6）按叠加法作内力图。
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而得 到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知 量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立的 位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平衡 条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
大学物理-二阶线性常微分方程的一般性质
设方程 (7-1-6) 的正则解为：
(7-1-7)
(7-1-8)
将 (7-1-7)、(7-1-8) 代入 (7-1-6) 式中，得到
消去因子 z ，有
(7-1-9)
要使上式在 |z| < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的 系数必须等于零。
由 z 的最低次幂的系数为零，得到
(a0,b0为已知)
(7-1-11) 一般可以得到两组系数。
(7-1-1)
(7-1-2)
或
(7-1-3)
其中：
是常数
可以看到，在 z0 是方程的奇点的情形下，如果 1 或 者 2 不是整数，或者 g ≠ 0，方程都有多值函数解。
显然，把解 (7-1-1), (7-1-2) 或 (7-1-3) 代入方程中去确
定 1, 2 , g, Ck , Dk 时会发现所得到的是一组无穷多个未
性、单值性等) 由方程的系数 p(z) 和 q(z) 的解析性确定。
设 p(z) 和 q(z) 在一定的区域中，除若干个孤立奇点外， 是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：
1. 方程的常点：如果 p(z) 和 q(z) 都在点 z0 的邻域解析， 则 z0 称为方程的常点。
2. 常点邻域的级数解
以 z2 乘方程
(7-1-5)
得到
(7-1-6)
其中
p1(z) zp(z) q1(z) ห้องสมุดไป่ตู้2q(z)
(7-1-6)
由条件 (7-1-4) 可知：p1(z) , q1(z) 在 z = 0 点及其邻域内是解 析的，将它们分别作泰勒展开，有
q1(z) bs zs s0
p1(z) as zs s0
(z – z0) p(z) 和 (z – z0)2 q(z) 在 0 < |z – z0| < R 中解析。(7-1-4)
正则化原理总结
正则化原理总结正则化理论（Regularization Theory）是 Tikhonov于1963年提出的⼀种⽤以解决逆问题的不适定性的⽅法。
不适定性通常由⼀组线性代数⽅程定义，这组⽅程组由于具有很⼤的系数⽽使得它的反问题（已知系统输出求输⼊）存在多解。
正则化理论就是⽤来对原始问题的最⼩化经验误差函数（损失函数）加上某种约束，这种约束可以看成是⼈为引⼊的某种先验知识(正则化参数等价于对参数引⼊先验分布)，从⽽对原问题中参数的选择起到引导作⽤，因此缩⼩了解空间，也减⼩了噪声对结果的影响和求出错误解的可能，使得模型由多解变为更倾向其中⼀个解。
也就是说，正则化项本质上是⼀种先验信息，整个最优化问题从贝叶斯观点来看是⼀种贝叶斯最⼤后验估计，其中正则化项对应后验估计中的先验信息（不同的正则化项具有不同先验分布），损失函数对应后验估计中的似然函数，两者的乘积则对应贝叶斯最⼤后验估计的形式。
附加的先验信息强⾏地让系统学习到的模型具有⼈们想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等，约束了梯度下降反向迫使最终解倾向于符合先验知识。
接下来的问题是我们应该引⼊什么样正则项作为先验知识，才能准确⾼效地缩⼩解空间？⼀切⽅法的动机来源于⼈们⼀直以来对科学的“简洁性”、“朴素性”和“美”的深刻认同，这⼀经典理念可以⽤14世纪逻辑学家Occam提出的“奥克姆剃⼑”原理表述，它长久以来被⼴泛运⽤在⼈们对⾃然科学、社会科学的探索和假设之中：Entities should not be multiplied unnecessarily，译作“若⽆必要，勿增实体”，即“简单有效原理”。
说到这⾥还想多说⼏句题外话。
其实⾄少从亚⾥⼠多德以来，在哲学界、科学界陆续有很多⼈针对不同的场景、以种种⽅式提出了类似的观点。
科学家们⽤这种⽅式，作为建⽴基本假设的原则、作为想象⼒的出发点和思考的⼤⽅向、作为模型选择和建⽴的依据，最终得到了被实验事实所验证的理论学说，⽐如：⽜顿经典⼒学、麦克斯韦⽅程中位移电流的假设、进化论中进化机制的构想、狭义相对论两个基本假设的建⽴、⼴义相对论场⽅程的推导等等，当然它在如今的管理学、经济学等领域同样被⼴泛运⽤。
材料力学 力法正则方程
δ21X1 ＋ δ22X2 ＋ Δ2F = 0
q
B
C X1
X2
X1=1
a
X2=1
M2
a
A
相当系统
a
1 2 qa 2
a
M1
1 2 qa 2
4. 求系数： 分别作载荷和单位力弯矩图
1 11 EI
MF
12
2 a 1 2 a a 3 a 3EI 3 1 1 a 21 2 a a a 2 EI EI
相当系统
δ11X1 ＋ δ12X2 ＋ Δ1F = 0 δ21X1 ＋ δ22X2 ＋ Δ2F = 0
————力法正则方程
q
q
例 题
B
C
B
C X1
X2
a
A
a
A
相当系统 a
a
已知：平面刚架各段抗弯刚度EI为相同常量 求： 作刚架弯矩图 解： 1. 判断：二次静不定 2. 建立相当系统 如图 3. 列方程 δ11X1 ＋ δ12X2 ＋ Δ1F = 0
一、几个概念
1.对称结构
——几何形状、尺寸、材料(EI)、约束 等对称于某一对称轴。
对称轴
对称结构
l
l
l
对称轴
2. 对称载荷与反对称载荷 对称载荷 ——载荷的大小，方向，作用点 对称于结构的对称轴
对称载荷 F F
反对称载荷 —— 将对称面（轴）一侧的载荷
反向，若变为对称载荷，则原来的载荷便 是反对称载荷。
FQ
对称面
FQ
对称面上的内力需要满足两个要求： （1）对称性要求； （2）作用反作用要求。 对称内力自然满足这两个要求； 反对称内力只有为零时才可能同时满足这两个要求。 所以， 对称问题对称面上 FQ = 0 .
q
B
C X1
X2
X1=1
a
X2=1
M2
a
A
相当系统
a
1 2 qa 2
a
M1
1 2 qa 2
4. 求系数： 分别作载荷和单位力弯矩图
1 11 EI
MF
12
2 a 1 2 a a 3 a 3EI 3 1 1 a 21 2 a a a 2 EI EI
相当系统
δ11X1 ＋ δ12X2 ＋ Δ1F = 0 δ21X1 ＋ δ22X2 ＋ Δ2F = 0
————力法正则方程
q
q
例 题
B
C
B
C X1
X2
a
A
a
A
相当系统 a
a
已知：平面刚架各段抗弯刚度EI为相同常量 求： 作刚架弯矩图 解： 1. 判断：二次静不定 2. 建立相当系统 如图 3. 列方程 δ11X1 ＋ δ12X2 ＋ Δ1F = 0
一、几个概念
1.对称结构
——几何形状、尺寸、材料(EI)、约束 等对称于某一对称轴。
对称轴
对称结构
l
l
l
对称轴
2. 对称载荷与反对称载荷 对称载荷 ——载荷的大小，方向，作用点 对称于结构的对称轴
对称载荷 F F
反对称载荷 —— 将对称面（轴）一侧的载荷
反向，若变为对称载荷，则原来的载荷便 是反对称载荷。
FQ
对称面
FQ
对称面上的内力需要满足两个要求： （1）对称性要求； （2）作用反作用要求。 对称内力自然满足这两个要求； 反对称内力只有为零时才可能同时满足这两个要求。 所以， 对称问题对称面上 FQ = 0 .
第七章正则方程
H px x py y pzz L
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
k 2
(x2
y2
z2)
将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:
x
H px
px m
,
y
H py
py , m
z
H
pz
,
pz m
p x
H x
kx
p y
H y
ky
p z
H z
kz
m x kx 得到质点的运动微分方程 m y ky
1
L dt t
由于 q , p , t 相互独立的, 所以
q
p
H p H
q
( 1,2,, s)
——- 哈 密顿 正 则方 程 ,它 是一阶微分方程,且形式对 称.
和 H L 不是动力学方程 t t
说明如果L不显含时间, H也不显含时间.
q
H p
p
H q
( 1,2,, s)
结合初始条件,得到描述力学 系统运动状态的运动方程:
2s个广义坐标 q , 1,2,s 和广义动量 p , 1,2,s，
统称为正则变量。
由2s个 q , p 组成的2s维空间称为相空间。相空间中 的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在 相空间中, 利用正则方程可对力学系统进行定性的几 何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时.
正则方程的意义:它结构简单对称,为后续的力学发展 (如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论) 奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有 利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。
T2
V
哈密顿正则方程课件
解析解的意义
解析解能够精确地描述系统的运 动状态，对于理解和分析物理现 象具有重要意义。
哈密顿正则方程的物理意义
系统能量守恒
哈密顿正则方程描述了系统的能量守恒关系，即系统的总能量保持 不变。
运动状态演化
哈密顿正则方程描述了系统运动状态的演化过程，即随着时间的推 移，系统的运动状态会发生怎样的变化。
广义哈密顿正则方程
广义哈密顿正则方程是经典哈密顿正则方程的扩展，它允许系统具有非保守力和非完整约束。
广义哈密顿正则方程的形式为：$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial q'} - frac{partial L}{partial q} = Q$， 其中$L$是系统的拉格朗日函数，$q'$和$q$是系统的广义坐标，$Q$是非保守力。
在统计物理中的应用
描述系统微观状态
哈密顿正则方程在统计物理学中用于描述系统的微观 状态和能量。
分析系统宏观性质
通过哈密顿正则方程，可以分析系统的宏观性质，如 温度、压强和熵等。
研究相变和临界现象
哈密顿正则方程可以用来研究相变和临界现象，包括 对称性破缺和标度律等。
05
CATALOGUE
哈密顿正则方程的扩展与深化
广义哈密顿正则方程在分析力学、动力学和控制系统等领域有广泛应用。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程
非完整约束系统是指具有非完整约束的力学系 统，这些约束不能由牛顿第三定律完全确定。
在非完整约束系统中，哈密顿正则方程需要考 虑约束对系统运动的影响，其形式与完整约束 系统中的哈密顿正则方程有所不同。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程在机器人 学、航天器和车辆动力学等领域有重要应用。
分析力学第七章正则方程
知 必须满足条件：
由此得出重要推论：
当不显含t时， 为运动常数的充要条件是：
3. 泊松定理
如果函数
和函数
分，则函数[f , g]也是正则方程的初积分。
证：由于是f和g正则方程的初积分，得
是正则方程的两个初积
由雅克比恒等式： 得 于是有 即得到:
因此[f,g]=C也是正则方程的初积分.
泊松定理指出: 由正则方程的两个已知的初积分, 可不断地求出新的初 积分.
那么有
；于是得到：
(即在该四种正则变换中哈密顿量保
持不变).
此时正则变换条件变为下列形式：
。
例1.寻求常数 ,使变换
解：由于此变换不显t，有
是正则变换。
即
, 由于q的任意性，得
因此有变换：
该变换被彭家莱应用于天体力学中
例2. 证明变换 关的四类母函数。 解：
是正则的，并求出与该变换相
因此该变换是正则的。其母函数为：
，其中
是n+1个任意常数。
另外，如果我们已知
，其中
是n+1个任意常数。同样可以得到哈密顿—雅克比偏微
分方程：
——这是哈密顿在当时推证所用的方法。 利用哈密顿—雅克比方程求出
---这样就能得到正则方程的全部积分。
由
及哈密顿正则方程
若力学体系的哈密顿函数H中不显函时间t，即 (h是积分常数)。
；则
当约束又是稳定的，则动能可表示为
2n个代数方程是相互独立的，所以可以解出逆变换为：
若通过变量的变换，使得正则方程的形式保持不变，即：
我们把这种变换叫做正则变换。 当取第二类母函数 则正则变换的条件： 变为：
令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正则化详解——精选推荐
正则化详解⼀、为什么要正则化 学习算法，包括线性回归和逻辑回归，它们能够有效地解决许多问题，但是当将它们应⽤到某些特定的机器学习应⽤时，会遇到过拟合(over-fitting)的问题，可能会导致它们效果很差。
正则化(regularization)技术，可以改善或者减少过度拟合问题，进⽽增强泛化能⼒。
泛化误差（generalization error）= 测试误差（test error），其实就是使⽤训练数据训练的模型在测试集上的表现（或说性能 performance）好不好。
如果我们有⾮常多的特征，我们通过学习得到的假设可能能够⾮常好地适应训练集（代价函数可能⼏乎为0），但是可能会不能推⼴到新的数据。
下图是⼀个回归问题的例⼦： 第⼀个模型是⼀个线性模型，⽋拟合，不能很好地适应我们的训练集；第三个模型是⼀个四次⽅的模型，过于强调拟合原始数据，⽽丢失了算法的本质：预测新数据。
我们可以看出，若给出⼀个新的值使之预测，它将表现的很差，是过拟合，虽然能⾮常好地适应我们的训练集但在新输⼊变量进⾏预测时可能会效果不好；⽽中间的模型似乎最合适。
分类问题中也存在这样的问题：就以多项式理解，x的次数越⾼，拟合的越好，但相应的预测的能⼒就可能变差。
如果我们发现了过拟合问题，可以进⾏以下处理： 1、丢弃⼀些不能帮助我们正确预测的特征。
可以是⼿⼯选择保留哪些特征，或者使⽤⼀些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）。
2、正则化。
保留所有的特征，但是减少参数的⼤⼩（magnitude）。
⼆、正则化的定义 正则化的英⽂ Regularizaiton-Regular-Regularize，直译应该是"规则化"，本质其实很简单，就是给模型加⼀些规则限制，约束要优化参数，⽬的是防⽌过拟合。
其中最常见的规则限制就是添加先验约束，常⽤的有L1范数和L2范数，其中L1相当于添加Laplace先验，L相当于添加Gaussian先验。
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q (q , p , t ), 1,2,s, q
L, 或 3)通过 H ( p, q, t ) p q ,并利用 H T2 T0 V
s
q
q (q , p , t ), 1,2,s, 得到 H H (q , p , t ). q
s
s s s s L L p dq d ( p q ) q dp 考虑到p , 则 dq q 1 q 1 1 1
s L L L) dp 得 : d( p q dq q dt t 1 1 q 1 s s
二. 正则方程
, t ), 则 L L(q , q
L L L dL dq dt q dq q 1 t
s
L L L dL dq dt q dq q 1 t
代入哈密顿函数的定义式中,得 H ( px , py , pz , x, y, z )
py y pz z L H px x
1 k 2 2 2 2 ( px p y pz ) ( x y 2 z 2 ) 2m 2
将H代入正则方程中,得到质点的动力学方程:
§9.1 正则方程
本章在相空间中研究力学系统的运动,导出另一种形 式的动力学方程,即正则方程。---------这种方法称为 哈密顿方法（或称哈密顿表述）.
第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日 方程来研究力学系统的运动.
d L L 0, 1, 2, , s q dt q
f f d ( ux f ) xdu dy dg xdu dy y y
g g dg du dy u y
g x , u
f g y y
------------这是新变量与新函数应满足的方程。
以上所述把 ( x, y) ( u, y); f g 称为勒让德变换, 这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中， 从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。
例: 试由哈密顿 p q
1
t2
s
H L p q
1
s
由哈密顿原理, 得
s H dt 0 p q t1 1
因为H是p,q,t的函数,并且 t = 0 , 所以
k 2 k 2 2 2 V r (x y z ) 2 2
o
x
y
1 k 2 2 2 2 y z ) (x y 2 z 2 ) L T V m( x 2 2
px L x p x mx m x py L y 又 py my y m pz L mz pz z m z
1
4)将H 代入正则方程中,得出系统的运动方程.
哈密顿动力学与 拉格朗日动力学比较：在拉格朗日 动力学中, 从拉格朗日函数可以直接写出动力学方程即 拉格朗日方程. 而在哈密顿动力学中, 必须从拉格朗日 函数转到哈密顿函数, 才可写出动力学方程即哈密顿正 则方程, 所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。 哈密顿动力学的优点：1）是便于量子化.如在量子力 学中，哈密顿函数作为算符可确定微观粒子的运动规 律；2）在变量的变换中比较自由：拉格朗日动力学采 用的变量广义坐标和广义速度并不对等, 只能对广义坐 标进行变换, 而广义速度也随之而变. 哈密顿动力学采 用的变量坐标和动量是完全对等的 ,不仅可以对广义坐 标进行变换,而且可以坐标和动量一起变换, 这个在正则 变换时可知其优点.
q q (t ) p p (t ) 思考:正则方程是否适用任何系统?
正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系.
[例] 一质量为m的自由质点,受力 F kr , r 为位矢, k为大于零的常数.运用正则方程,写出在直角坐标系中 质点的运动微分方程。 解: 取x，y，z为广义坐标。动能 为 P z F m 2 2 2 y z ) T (x 2
L d L , 使上式写成 据拉氏方程可知 , p q dt q
L L) p dq q dp d( p q dt t 1 1 1
s s s
H
对于哈密顿量：
s
L H ( p, q, t ) p q
s s
p q
1
s
t2
t1
H q p t1 1
t2 s
H p p q
dt 0 q
因端点是固定的, 则:
t2
q t t q t t 0 ( 1, 2, , s)
H H q p p q dt 0 pq p q t1 1
s t2
又
d d s s p q p q p q p q dt dt 1 1 1 1
dH H dt t H dH 当 0, 则 0 t dt H H ( q , p , t ) 常量 广义能量积分
ri 若 0, 则H T2 V E 常量 t
2. 广义动量积分
H H 若 0, 则p 0 p p (q , p , t ) a 常量 q q 广义动量积分
五. 广义能量积分和广义动量积分
1. 广义能量积分
s H dH H H q p dt 1 q p t
H H 将正则方程 q ,p , 1, 2, , s 代入上式得: p q
1
s
H H H dH q dq p dp t dt 1
L dq q dp dH p dt t 1 1
s s
由于 q , p , t 相互独立的, 所以
H q p ( 1, 2, , s ) H p q
H p q
m 得到质点的运动微分方程 m m
kx x ky y kz z
应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:
1)检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度,选择 适当的广义坐标.
, t ), 2)写出系统相对惯性系的动能和势能,得到 L L(q , q 并求出广义动量 p L , ,1 由此反解出 , 2, s,
三. 哈密顿函数的意义
哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束 关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。 哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它 物理学领域，如量子力学中，热力学等。
一般形式: H (q , p , t ) T2 T0 V
四. 正则变量、相空间、正则方程的意义
2s个广义坐标 q , 1,2,s 和广义动量 p , 1,2,s， 统称为正则变量。
由2s个 q , p 组成的2s维空间称为相空间。相空间中 的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在 相空间中, 利用正则方程可对力学系统进行定性的几 何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时. 正则方程的意义:它结构简单对称,为后续的力学发展 (如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论) 奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有 利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。
—— - 哈密顿正则方程 , 它 是一阶微分方程,且形式对 称.
H L 和 不是动力学方程 t t
说明如果L不显含时间, H也不显含时间.
H q p ( 1, 2, , s ) H p q
结合初始条件,得到描述力学 系统运动状态的运动方程:
1 2
H q p t1 1
s
H p p q
q
q dt 0
因p, q 在积分范围 内是任意的, 而且相互 独立, 故得:
H p
------------这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶 微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组.
一. 勒让德变换
在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换, 叫勒襄特变换. 设函数 f f ( x, y) ,
f f df dx dy x y
f , 现( x , y) ( u, y); f g 令: u x f f df udx dy d ( ux ) xdu dy y y
H px H , px kx x p x m x py H H , py ky y p y m y pz H H z , p kz z pz m z