陕西省长安一中、西安中学2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案
陕西省西安市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
陕西省西安市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 2．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案.【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<.故选:D.3．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．2y x =± C ．33y x =± D ．3y x =±【答案】D【解析】【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴=223a b ∴=，解得3b a= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =，故选：D4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数. 5．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减 【答案】C【解析】【分析】 先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可.函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.6．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．5【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i i z i i i i -=+=+=+++-Q ，2,5z i z ∴=-∴=． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．7．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AG AC ⋅u u u v u u u v 等于（ ）A ．2B ．5C ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+u u u r u u u r 1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅ 22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++u u u r u u u r 5211BA BC =-⋅++ ， ∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅u u u r u u u r 22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．8．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1．故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 9．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--， ∴23z i =+．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U 【答案】A【解析】【分析】化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．11．函数的图象可能是下面的图象( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【分析】 模拟程序运行，观察变量值可得结论．【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．故选：B ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学(理)答案
（2）假设存在的定点 Q(0, m) 符合题意
由题意知：直线 AD, BD 的斜率分别为 kAD
=
1 4
，
kBD
=
−1 4
由题意及（1）知：直线 MN 与直线 AD, BD 均不重合，当直线 MN 的斜率 k 存在时
设其方程为 y=
kx
+
1 2
k
≠
±
1 4
，
M
(
x1,
y1 )
，N(来自x2 ,y2)
由 ∠MQO = ∠NQO ，得直线 MQ, NQ 的倾斜角互补，故 kMQ + kNQ = 0
又 kMQ + kNQ=
y1
− x1
m= + y2x−2 m
kx1
+
1 2
−
m
+
kx2
+
1 2
−
m
x1
x2
= 4k1x2 + (1− 2m) ( x1 + x2 )
理科数学答案 第 1 页 (共 6 页)
又 BC ⊂ 平面 BCP ，所以平面 PAE ⊥ 平面 BCP .
（2）解：设 A=B P=A a ，则= PB = 2a PC ，因为 PA2 + AB2 = PB2 ，所以 PA ⊥ AB ，
同理可证 PA ⊥ AC ，所以 PA ⊥ 平面 ABCD .
z
=
3
，得
nv
=
(0, 4,3)
.
− a y + 2a z = 0
23
又
P
0,
西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第二次教学质量检测数学(理)试卷(PDF版)
an
−
1 2
．
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）若 bn
=
2n an+2 − an+1
，设数列{bn } 的前
n
项和为 Tn , n ∈ N* ，证明 Tn
<
3 4
．
高三理科数学 第 3 页 (共 6 页)
18（. 本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠ABC =60° ，
理科数学答案 第 1 页 (共 6 页)
又 BC ⊂ 平面 BCP ，所以平面 PAE ⊥ 平面 BCP .
（2）解：设 A=B P=A a ，则= PB = 2a PC ，因为 PA2 + AB2 = PB2 ，所以 PA ⊥ AB ，
同理可证 PA ⊥ AC ，所以 PA ⊥ 平面 ABCD .
13.二项式
x
+
2 x2
10
，则该展开式中的常数项是______.
2a－b≥5， 14．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组a－b≤2，
a<7，
设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名，则 x＝______.
15.已知在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 sin A = 2 sin B ，
（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数； （ⅱ）从 10 人的样本中随机抽取 3 人，用 X 表示这 3 人中文科生的人数，求 X 的分布列 和数学期望． 参考数据及公式：
P( K 2 ≥ k0 ) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0
2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学(理)试卷
长安一中2020—2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}2320M x x x =++<，集合142xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >-B. {}2x x ≥-C. {}2x x ≤-D.{}1x x <-【答案】B 【分析】先求出集合M ，N ，再根据并集定义即可求出. 【详解】{}{}232021M x x x x x =++<=-<<-，{}1422xN x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2M N x x ∴⋃=≥-.故选：B.2. 已知i 为虚数单位，复数z满足2zi i =+，则z =（ ）A.B.C.D. 2【答案】C 【分析】先根据复数除法运算求出z ，即可求出模.【详解】2zi i =，)2222i i iz ii∴===，z ∴==3. 某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A.136B.112C.16D.13【答案】C 【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可. 【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题. 4. 若执行下图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B依次写出每次循环得到的,,x y i 的值,当3,64,86i x y ===时,不满足条件x y >,退出循环，输出i 的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x y ==，满足x y >，继续循环; 第二次循环:1,16,6i x y ===，满足x y >，继续循环; 第三次循环:2,32,22,i x y ===满足x y >，继续循环;第四次循环:3,64,86i x y ===，不满足x y >，跳出循环，输出3i =. 故选: B【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题.5. 已知函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间(0,)+∞上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，∵函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，在该函数在区间(0,)+∞上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在(0,)+∞上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 设1201x dx α=-⎰，tan 3β=，则tan()αβ+=（ ）A. 2B. 2-C.12D. 12-【答案】B 【分析】根据定积分的几何意义可求出α，再根据两角和的正切公式计算即可.【详解】设21y x =-，[0,1]x ∈，则有221(0,01)x y y x +=≥≤≤，圆的半径为1， 所以曲线21y x =-，[0,1]x ∈与x 轴围成的面积为4π，所以4πα=，所以tan 1α=， 所以tan tan 13tan()21tan tan 113+++===---⨯αβαβαβ.故选：B【点睛】方法点睛：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性，对称性来解决问题，另外，结合图形更直观形象的辅助作题.7. 函数2=x x y e的图象大致是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.【详解】因为2=x x y e ，所以22'xx x y e-=， 令'0y =可得，0,2x x ==， 即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数2=x x y e即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8. 已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A.2π B. πC.3π D.23π 【答案】D 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解+析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解+析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解+析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9. 在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且底面ABC 为正三角形，D 为侧棱PA中点，若PC BD ⊥，棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A. 6π B. 8πC. 12πD. 16π【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一及PC BD ⊥,可证明PC ⊥平面PAB ,即PC PA ⊥,即可求得底面正三角形的边长.由正三棱锥的外接球半径在正三棱锥的高上,可由勾股定理求得外接球半径R,即可求得球的表面积.【详解】在三棱锥P ABC -中,2PA PB PC ===,且底面ABC 为正三角形,所以三棱锥P ABC -为正三棱锥设AB 的中点为E ,连结PE ,CE ,如下图所示:因为AB PE ⊥,AB CE ,且CE PE E ⋂=所以AB ⊥平面PEC ,由直线与平面垂直的性质可知AB PC ⊥,又PC BD ⊥,AB BD B =所以PC ⊥平面PAB , 则PC PA ⊥,2PA PB PC ===,则底面正三角形的边长为22AC BC AB ===设该正三棱锥的外接球球心为O ,底面的中心为G .由正三棱锥的性质可知PG ⊥平面ABC则()()22222622233CG CE =⨯=⨯-= 由勾股定理可得222623233PG ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭设外接球的半径为R,则2222326R R ⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,解得3R = 所以球O 的表面积为2412S R ππ==, 故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面垂直的判定,正三棱锥外接球的相关性质,属于中档题.10. 在OAB ∆中，已知2OB =，1AB =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP 的最小值为（ ）A.355B.25C.6 D.6 【答案】A 【分析】 根据2OB =,1AB =,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP .再由23λμ+=,将OP 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP 的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =,1AB =,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OB AOBOAB=∠∠代入22=,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A坐标为22⎛ ⎝⎭所以2,22OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()2,0OB =因为(),OP OA OBλμλμ=+∈R则)22OP λμ⎛ =+⎝⎭,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=+ 则OP ⎛==因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得=所以当95λ=时, min 5OP ==故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.11. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. y =D.y x = 【答案】C 【分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点， 由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=， 因1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+， 所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E的渐近线方程为y =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.12. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：()()33,*,a a b a b a b b b a a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，设()()()21*1f x x x =--，若函数()2()()g x f x mxm R =-∈恰有三个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x 的取值范围是（ ）A. 10,16⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B. 116⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,016-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】首先根据定义求出函数的解+析式，因为()g x 有三个零点，所以()f x 与2y mx =有3个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而可求三个零点之积的取值范围. 【详解】当211x x -≤-，即0x ≤时，()()321f x x x =-，当211x x ->-，即0x >时，()()31f x x x =--，()()()3321,01,0x x x f x x x x ⎧-≤⎪∴=⎨-->⎪⎩， ()2()()g x f x mx m R =-∈恰有三个零点， ()y f x ∴=与2y mx =的图象恰好有3个交点，即()()()21,01,0x x x h x x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩与y m =有3个交点，作出()h x 的图象，如图所示，则104m <<， 不妨设123x x x <<，易知20x >，且231x x +=，223231024x x x x +⎛⎫∴<<= ⎪⎝⎭，由()1214x xx⎧-=⎪⎨⎪<⎩解得x=1x<<，123116x x x∴<<.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与函数图像间交点的关系，解题的关键是数性结合求出零点范围，得出所求.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.二项式1022x⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______.【答案】180 【分析】求得二项展开式的通项10521102rr rrT C x-+=⋅，令2r，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022x⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()2rr r r r rrT C C xx--+==⋅，令2r，可得223102180T C==，即展开式的常数项是180.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14. 某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2527a ba ba-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.【答案】13【分析】作出不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩表示的区域，找到使得a b +最大的点即可．【详解】作出不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩表示的区域，横坐标轴为a ，纵坐标轴为b ，如下图，令：x a b =+，计算各顶点坐标得：()3,1A ，()7,5B ,()7,9C ，找到横坐标为6，又在区域内的最高点()6,7，此时max 6713x a b =+=+=【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组表示的区域，线性规划总是，注意边界是实线还是虚线，考查观察能力，属于基础题．15. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，22a =则ABC 面积为________.【答案】72【分析】对sin 2sin A B =利用正弦定理可得2a b =，由此可求出b ，对cos cos 2a B b A +=利用余弦定理角化边可求出c ，再利用余弦定理求出cos A ，再根据面积公式1sin 2ABCS bc A =计算即可.【详解】因为sin 2sin A B =，所以由正弦定理，得2a b =，又22a =2b =因为cos cos 2a B b A +=，所以222222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=，所以222222222a c b b c a c c+-+-+=，所以2c =，由余弦定理，得2222cos 24222b c a A bc +-===⨯⨯， 又(0,)A π∈，所以2114sin 1cos 184A A =-=-=， 所以11147sin 222242ABC S bc A ==⨯=△. 故答案为：72【点睛】方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论． 16. 已知函数()ln x f x ax x=-，存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，则实数a 的最小值为__________（其中e 是自然对数的底数）. 【答案】21124e - 【分析】 求出2ln 1()ln x f x a x-'=-，可得22x e =时，()2f x a '+有最大值14，只需存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()114f x ≤，即1111ln 4a x x ≥-，利用导数判断()11ln 4g x x x=-的单调性，求出最小值即可得出. 【详解】()ln xf x ax x =-，2ln 1()ln x f x a x-∴='-， ()222222ln 1111ln ln 24x f x a x x ⎛⎫-∴+==--+ ⎪⎝⎭'， 当211ln 2x =，即22x e =时，()2f x a '+有最大值14， 故只需要存21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()114f x ≤， 故1111ln 4x ax x -≤，即1111ln 4a x x ≥-， 令()11ln 4g x x x=-，则222(ln )4()4(ln )x x g x x x -'=，令()2(ln )4x h x x =-，则()2ln 4xh x x'=-， ()()221ln x h x x-''∴=， 则当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，()0h x ''≤，故()h x '单调递减，()()240h x h e e''∴≤=-<，故()h x 单调递减， ()()140h x h e e ∴≤=-<，即()0g x '<，故()g x 单调递减， ()()22min 1124g x g e e∴==-，21124a e ∴≥-，故a 的最小值为21124e -.故答案为：21124e -.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 三、解答题：（共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈，且3122n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若212n n n n b a a ++=-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈，证明34n T <.【答案】（1）13-=n n a ；（2）证明见解+析. 【分析】（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥可得13n n a a -=，2n ≥，根据等比数列的通项公式可求得结果.（2）根据2123n n n n n n b a a ++==-，运用错位相减法求和法可得33234434n n n T +=-<⨯，可证不等式成立.【详解】解：（1）当1n =时，113122a a =-，得11a =， 当2n ≥时，()1132n n n n n S S a a a ---==-，得13n n a a -=， 数列{}n a 是公比为3的等比数列，∴13-=n n a . （2）由（1）得：2123n n n n n nb a a ++==-，又212333n nnT =+++，①， ∴2311123333n n n T +=+++，②，两式相减得：21211133333n n n n T +=+++-， 故111123313313nn n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，∴33234434nn n T +=-<⨯.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若22PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解+析；（2）210【分析】（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证； （2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设ACBD O =，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n 和PD ，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin n PD n PDθ⋅=，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点，所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 如图，设ACBD O =，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=. 由432AF a =，得23AF a =. 又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知2,23a a BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由n BF ⊥，nOF ⊥，得202232023a ax y z a a y z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z =，得()0,4,3n =.又0,,2a P a ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,2aPD a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin 5n PD n PDθ⋅===.所以PD 与平面BDF 所成角的正弦值为10.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生1 10 17 14 14 10 4 （人）文科生0 8 10 6 3 2 1 （人）（1）完成如下22列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】(1)见解+析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解+析 【分析】（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：计算222()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯=（人），理科生人数是70107100⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，则0337310C C 7(0)C 24P X ===， 1237310C C 21(1)C 40P X ===， 17213307(2)40C C P X C ===，3037310C C 1(3)C 120P X ===. 其分布列为所以72171369()01232440401204010E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 20. 在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，且PAB ∆满足3tan tan 4A B =.记点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明是什么曲线；（2）若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠？若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142(2)x y x +=≠±，C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在定点(0,6)Q 【分析】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，3tan tan 4A B =说明34PA PB k k =-，把这个等式用,x y 表示出来化简后即得；（2）假设存在的定点(0,)Q m 符合题意，当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消去y 得x 的一元二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +， MQO NQO ∠=∠，得0MQ NQ k k +=，代入1212,x x x x +化简后分析所得式子与k 无关时的m 值，同时验证MN 斜率不存在时，定点Q 也满足．【详解】（1）由3tan tan 4A B =，得34PA PB k k =-，设点P 的坐标为(,)x y ，则： 3(2)224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得：221(2)43x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为22142(2)x y x +=≠±C ∴是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（不含左、右顶点）（2）假设存在的定点(0,)Q m 符合题意 由题意知：直线,AD BD 的斜率分别为14AD k =，14BD k =- 由题意及（1）知：直线MN 与直线,AD BD 均不重合，当直线MN 的斜率k 存在时 设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y 由MQO NQO ∠=∠，得直线,MQ NQ 的倾斜角互补，故0MQ NQ k k +=又1212MQ NQy m y m k k x x --+=+12121122kx m kx m x x +-+-=+()1212124(12)2k x m x x x x +-+= ()12124(12)0kx x m x x ∴+-+=①由221,431.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，整理得：()22344110k x kx ++-=. ()221644340k k ∆=++>，又122434k x x k -+=+，1221134x x k -=+② 代②入①得：221144(12)3434k k m k k --⋅+-⋅++28(6)034k m k -==+③ 当14k ≠±时，又k 不恒为0，∴当且仅当6m =时，③式成立∴当直线MN 的斜率k 存在时，存在定点(0,6)Q 满足题意.当直线MN 的斜率不存在时，点(0,6)Q 满足0MQO NQO ∠=∠=︒，也符合题意. 综上所述，在 y 轴上存在定点(0,6)Q ，使得MQO NQO ∠=∠.【点睛】本题考查求轨迹方程，由方程确定曲线，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设动点坐标，()11,M x y ，()22,N x y ，应用韦达定理求得1212,x x x x +，代入题设条件中得出结论．本题考查了学生的运算求解能力．21. 已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）答案见解+析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x-++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围. 【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x =∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.∴()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x xxx'--=--=<,∴()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)写出C的直角坐标方程，并且用00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由.【答案】（1）C 的直角坐标方程为2214x y +=，直线l 的一个参数方程为222x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；（2）相交，且两交点的距离为5．试题分析：(1)由题意可得C 的直角坐标方程为2214x y +=，直线l 的一个参数方程为22x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；(2)． 试题详细分析：(1)C 的直角坐标方程为2214x y +=，由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭20x y --=，直线l 的倾斜角为4π， 过点()2,0，故直线l的一个参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得250t +=，10t =，2t = 显然l 与C 有两个交点,A B且12AB t t =-=选修4-5：不等式选讲23. 已知()21f x x x =+-. （1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m ，n ，求使得不等式2211()2f x nm m n≤++恒成立的x 的取值集合M . 【答案】（1）()5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可解出不等式；（2）由基本不等式可得出不等式化为()4f x ≤，再由（1）即可求出. 【详解】（1）当0x ≤时，不等式化为214x x -+->，∴1x <-； 当01x <<时，不等式化为214x x +->，解得3x >，无解，当1≥x 时，不等式化为214x x +->，∴53x >. 综上，不等式()4f x >的解集为()5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵22112224nm nm m n mn++≥+≥，当且仅当1m n ==时“=”成立， ∴214x x +-≤，由1知x 的取值集合M 为51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
陕西省西安市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
西安市第八十三中学高三年级第二次模拟考试理科数学试题第I卷(选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1、设集合，集合，若A∩B=，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)2、复数，，则=( )(A)1 (B)(C)(D)3、已知且，则是的（）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4、某长方体的长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为( )(A)(B)(C)6 (D)105、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）(A)13，12 (B)12，13 (C)13，13 (D)13，146、，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）(A)或（B）或（C）或（D）．或7、已知向量==,若,则的最小值为（）(A) (B) (C) (D)8、已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）(A)(B)(C)(D)9、已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )(A)(B) (C)(D)10、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=和余弦曲线g(x)=在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )(A)(B)(C)(D)11、设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）(A) (B) (C) (D)112、定义域为的偶函数满足对于任意的,有,且当时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)第II卷(非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知抛物线的准线方程是，则 .14、等比数列中，----------.15、的展开式中项的系数等于 .(用数值作答)16、已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分。
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题文含解析
【解析】
【分析】
由已知推得 是周期为4的函数，又由 的函数解析式知区间内有两个零点，结合周期性即可求[0,2020]上零点的个数.
【详解】由 可得 是周期为4的函数，
又 时， ，当 或 时， ，
∴ 在 上均有两个零点，
所以在[0,2020]上共有1010个零点.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由函数的周期性，结合函数单位周期内零点的位置特征，即可判断相应区间的零点个数.
（1）设 证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系式可知 ，根据等差数列的概念即可证明；
（2）利用（1）的结论，先求出数列 的通项公式，然后解出 的通项公式.
【详解】解：（1）证明： ，
，
，则 ，
，
数列 是以 为首项，1为公差的等差数列．
8.函数 的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：由偶函数排除B、D, 排除C.故选A.
考点：函数的图象与性质．
9.数列 满足 ，则 的值为（）
A. 2B.-6C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知递推关系可得 且 ，即数列的周期为4，即可求 .
【详解】由已知得： ，即有 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以只需将 的图像向左平移 个长度单位即可得到 的图像.
故选：B
【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式、图像的平化简的能力，属基础题.
6.从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（）
2021年陕西省西安中学高考数学第二次仿真试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省西安中学高考数学第二次仿真试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝Φ2．等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．98．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．411．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.412．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝4x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥0.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD ＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．21．已知函数f（x ）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝Φ解：∵M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}＝Z，＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，∴N⊆M，故选：C．2．等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i解：等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝a1•q7＝（1+i）•i7＝（1+i）（﹣i）＝1﹣i，故选：D．3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故选：B．4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝0得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，即f（x）有两个零点，排除C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：B．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）解：∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：令f（x）＝x3﹣，可知该函数为R上的增函数，函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），即x0为函数f（x）的零点，∵f（0）＝﹣4＜0，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝23﹣1＝7＞0，f（3）＝＞0，f（4）＝＞0，∴x0的范围为（1，2），故选：B．7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．9解：当S＝1，k＝1时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝2；当S＝，k＝2时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝3；当S＝，k＝3时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝4；当S＝，k＝4时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝5；当S＝，k＝5时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝6；当S＝，k＝6时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝7；当S＝，k＝7时，应满足退出循环的条件，故整数a的值为6，故选：A．8．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵α是第二象限角，且tanα＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故选：C．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在解：根据题意，等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，则q2＝＝4，则q＝±2，当q＝2时，若S m＝63，则有＝63，解可得m＝6；当q＝﹣2时，若S m＝63，则有＝63，变形可得：（﹣2）m＝﹣168，无解；故m＝6；故选：A．10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：，所以，因为，所以，故△ABC的面积为．故选：A．11．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.4解：设甲乙两人分别在第x，y天到达某地，则0≤x≤10，0≤y≤10，他们会面的充要条件是|x﹣y|＜3，则点（x，y）分布在如图所示的正方形OABC内，其基本事件S1为介于两条直线x﹣y＝±3之间的阴影内，所以所求概率为＝＝0.51．故选：B．12．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝4x解：由题意设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），，T是MN与x轴的交点，因为O，M，N，A四点共圆，由相交弦定理可得：|OT|•|TA|＝|MT|•|TN|，即x0•（﹣x0）＝y02＝2px0，其中x0＞0，可得x0＝﹣2p，y02＝2px0＝7p﹣4p2，代入双曲线的方程：（﹣2p）2﹣（7p﹣4p2）2＝1，即：32p2﹣84p+45＝0，解得p＝（舍）或p＝，所以抛物线的方程为：y2＝x，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．解：由，得1×（k﹣6）﹣9k＝0，解得k＝﹣，故答案为：．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（﹣4，2）．解：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z＝0的斜率k＝﹣＞k AC＝﹣1，a＜2．当a＜0时，k＝﹣＜k AB＝2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故答案为：（﹣4，2）．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为6000．解：作出函数f（x）的简图如图所示，三角函数模型为：f（x）＝A sin（ωx+φ）+B，由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2×（9﹣3）＝12，∴，所以，当x＝3时，y取最大值，所以，k∈Z，∴φ＝0+2kπ，k∈Z，故，∴，故7月份的出厂价格为6000元．故答案为：6000．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于1．解：根据圆锥的侧面展开图：得知：OA＝OB＝4，AB＝4，所以OA2+OB2＝AB2，故∠AOB＝，设圆锥的底面半径为r，利用4×＝2πr，解得r＝1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sin x＝，即x＝．（2）∵函数＝（sin x，sin x）•（cos x，sin x）＝sin x cos x+sin2x＝sin2x+＝sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣）+取得最大值为1+＝．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥0.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100计算K2＝≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且X～B（3，），计算P（X＝0）＝•＝，P（X＝1）＝••＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝•＝，所以X的分布列为：X0123P计算数学期望为E（X）＝3×＝．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点为P（0，﹣1），则b＝1，又离心率为，则，结合c2＝a2﹣b2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程是；（Ⅱ）因为直线l1⊥l2，且都过点P（0，﹣1），则设直线l1：y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，直线l2：，故圆心（0，0）到直线l1的距离为，所以直线l1被圆x2+y2＝4所截的弦，联立方程组，所以，故，所以＝，当且仅当时等号成立，此时直线l1的方程为．21．已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝，则f（0）＝0，f′（x）＝，∴f′（0）＝1，∴函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x；（2）解：∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴ax+1＝0在（0，1）上无解当a≥0时，ax+1＝0在（0，1）上无解满足当a＜0时，只需1+a≥0，∴﹣1≤a＜0 ①f′（x）＝∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立即a[（x+1）ln（x+1）﹣x]≤1在（0，1）上恒成立设h（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x，则h′（x）＝ln（x+1），∵x∈（0，1），∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增∴h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1）∴a≤在（0，1）上恒成立，∴a≤②综合①②得实数a的取值范围为[﹣1，]（3）证明：由（2）知，当a＝﹣1时，f（x）＝在（0，1）上单调递增于是当0＜x≤时，f（x）＝≤f（）＝当≤x＜1时，f（x）＝≥f（）＝∴（3x﹣1）f（x）≥（3x﹣1）•，即≤（3x﹣1）•，同理有≤（3y﹣1）•，≤（3z﹣1）•，三式相加得：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．解：（1）曲线E的参数方程为（a为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝10，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π），转换为极坐标方程为θ＝β；（2）将直线极坐标方程为θ＝β代入ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，得到ρ2﹣8ρsinβ+6＝0，所以ρ1+ρ2＝8sinβ，ρ1ρ2＝6，由于，故，即ρ2＝3ρ1，所以，所以，所以直线的斜率k＝±1．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，法1：由上可得：所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2+2＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且仅当＝＝取等号，又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即．。
陕西省高三第二次模拟考试数学(理)试题 (含答案解析)
长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学高第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=A ．1B ．-1C ．±1D ．02．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ．A ．2()f x x =B ．1()f x x =C ．()ln 26f x x x =+-D ．()sin f x x =3．已知p ：存在2200,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，若“p 或q”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[1，+∞） B ．（一∞，一1] C ．（一∞，一2] D ．[一l ，1]4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．定义在R 上的函数()f x 满足2(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则 A ．2013 B ．2012 C ．338D ．337 6． 如果实数x 、y 满足条件1010,10x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么z=4x ·2-y 的最大值为A ．1B ．2C ．12D ．147．已知函数33(0)()(,)(0)(01)x x a x f x x a x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨≥>≠⎩是且上的减函数，则a 的取值范围是A ．2(0,]3B ．1(,1)3 C ．（2，3） D ．12(,]238．已知F 1，F 2为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1212||2||,c o s P F P F F P F =∠则= A ．14 B ．34 C ．35 D ．459．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为A ．3B ．3C ．3D ．310．已知函数y=x 3-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c=A ．一2或2B ．一9或3C ．一1或1D ．一3或1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）11．若6(x -展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ． 12．若曲线||21x y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是 ．13．椭圆2221(5x y a a+=为定值，且a >F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B 。
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长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学
高2020-2021届第二次模拟考试
数学（理）试题含答案
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合2
{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=
A ．1
B ．-1
C ．±1
D ．0 2．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ． A ．2
()f x x =
B ．1()f x x
=
C ．()ln 26f x x x =+-
D ．()sin f x x =
3．已知p ：存在22
00,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，若“p 或q ”为假命
题，则实数m 的取值范围是
A ．[1，+∞）
B ．（一∞，一1]
C ．（一∞，一2]
D ．[一l ，1]
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等
于 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．定义在R 上的函数()f x 满足2
(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一
1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则
A ．2013
B ．2012
C ．338
D ．337
6． 如果实数x 、y 满足条件1010
,10x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
那么z=4x ·2-y 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．
14
7．已知函数33(0)()(,)(0)(01)
x
x a x f x x a
x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨
≥>≠⎩是且上的减函数，则
a 的取值范围是
A ．2(0,]3
B ．1(,1)3
C ．（2，3）
D ．12
(,]23
8．已知F 1，F 2为双曲线22
:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，
1212||2||,cos PF PF F PF =∠则=
A ．
14
B ．
3
4
C ．
3
5
D ．
45
9．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC
的体积为
A ．
3
3
B ．
23
3
C ．
43
3
D ．
53
3
10．已知函数y=x 3
-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c= A ．一2或2 B ．一9或3 C ．一1或1 D ．一3或1
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）
11．若6
()a x x
-
展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ． 12．若曲线||21x
y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是 ．
13．椭圆22
21(5x y a a
+=为定值，且5a >）的的左焦点为F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、
B 。
△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。
14．已知函数y=f （x+1）的图象关于点（一1，0）对称， 且当x ∈（一∞，0）时．f （x ）+xf （x ）<0成立（其中()()f x f x 是的导函数），
若0.3
0.3
331
1(3)(3),(log 3)(log 3),(log )(log )99
a f
b f
c f ππ=⋅=⋅=⋅,则a ，b ，c 从大
到小的次序为 . 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题评分）
A ．（不等式选做题）若不等式4
|1||3|x x a a
++-≥+
对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范圉是 ． B ．（几何证明选做题）如图所示．A ，B 是两圆的交点。
AC 是小圆的直径 D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点· 已知AC=4，B E=10，且BC=AD ，则AB= ．
C ．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知A （1，0）B （0，
2
π
）点P 在曲线2cos 4cos ρθθρ+=上，则|PA|+|PB|最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2cos 3sin ,12
B
B b ==。
（1）若512
A π
=
，求边c 的大小； （2）若a=2c ，求△ABC 的面积．
17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切
正整数n 都成立.
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设10,100,a n λ>=当当为何值时，数列{lg
1
n
a }的前n 项和最大? 18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中， OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB=20°，且OA=OB=O C=1．
（1）设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使
PQ ⊥OA ，并计算
AB
AQ
的值．
（2）求锐二面角O 一AC —B 的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80％，二等品
率为20％：乙产品的一等品率为90％，二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x 的分
布列：
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
20．（本小题满分13分）已知点P （一1，3
2）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>上一点
F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设A ，B 是椭圆￡上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且求直线AB 的斜率。
（3）在（2）的条件下，当△PAB 面积取得最大值时，求λ的值。
21．（本小题满分14分）已知函数2
()ln (2).f x x ax a x =-+-
（1）讨论()f x 的单调性： （2）设a>0，证明：当0<x<
1
a
时，11()();f x f x a a +>-
（3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点·线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：
0()0.f x <。