专题8极限与函数的导数的题型与方法
极限与函数的导数
极限与函数的导数在微积分学中，极限和函数的导数是两个基础概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为，而导数则表示函数在某一点的变化率。
本文将探讨极限与函数的导数之间的关系以及它们在实际应用中的意义。
一、极限的概念极限是描述函数在某一点附近值的性质的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值是否会趋近于某个确定的值。
数学上，我们用极限符号“lim”来表示某个函数在某一点附近的极限。
例如，当x趋近于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim(x→a)f(x)。
二、导数的定义函数的导数表示函数在某一点的变化率，也可以看作是函数图像的切线斜率。
数学上，我们用dy/dx或f'(x)来表示函数f(x)的导数。
导数的计算可以通过求出函数在某一点的极限来实现。
函数f(x)在x=a处的导数可以表示为lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h或f'(a)。
三、极限与导数的关系极限与导数之间有着密切的关系。
实际上，函数在某一点处可导，意味着该点的极限存在。
换句话说，如果函数在某一点可以取导数，那么该点的极限也必然存在。
这一点可以通过导数定义中求极限的过程来理解。
四、导数的应用导数在实际应用中有着广泛的应用。
以下是导数在几个领域的具体应用：1. 科学和工程学中的模型建立：通过利用导数来描述变化率和曲线的斜率，我们可以建立各种科学和工程中的模型，例如物理学中的运动学模型、化学中的反应速率模型等。
2. 经济学中的边际效应：在经济学中，导数用于计算边际效应，即某一决策在单个单位变化时产生的额外效果。
例如，成本函数的导数可以用于计算每一单位产品的成本变化。
3. 优化问题：导数可以用于解决优化问题，例如在工程设计中最小化材料使用量的问题。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数的最小值或最大值点。
4. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要量。
通过求取位移函数的导数，我们可以得到速度和通过速度的导数得到加速度。
导数与函数的极限关系归纳
导数与函数的极限关系归纳在微积分领域中，导数与函数的极限是两个核心概念。
它们之间有着密切的关系，相互之间可以通过数学定理和公式进行转化和推导。
本文将对导数与函数的极限关系进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、导数的定义与函数的极限导数是描述函数变化率的工具，它代表了函数在某一点的瞬时变化速率。
函数的极限则是描述函数在无穷接近某一点时的值趋势。
导数和函数的极限之间的关系可以通过导数的定义和极限的计算来确定。
二、导数与函数极限的关联定理1. 函数在某一点可导，则在该点必定存在极限。
这是因为导数的存在要求函数在该点的斜率存在，而斜率的存在又要求函数在该点必须是连续的，即函数在该点存在极限。
2. 函数在某一点不可导，则在该点的极限未必存在。
这是因为函数不可导说明在该点的斜率不存在，而不存在的斜率会导致函数在该点的极限未必存在。
三、导数和函数极限的计算方法1. 利用导数计算函数在某一点的极限。
当函数在某一点可导时，可以通过导数公式来计算函数在该点的极限。
2. 利用极限计算函数的导数。
当函数在某一点存在极限时，可以利用求极限的方法来计算函数在该点的导数。
这两种方法的应用范围不同，但都是导数与函数极限关系的重要表现形式。
四、导数和函数极限的性质1. 函数在连续的区间上可导，则在该区间上函数的极限存在。
这是因为可导性要求函数在该区间上连续，而连续函数的极限存在。
2. 函数在某一点可导，则在该点的左极限和右极限存在且相等。
这些性质反映了导数与函数极限之间的密切关系，同时也为我们研究函数的性质提供了有效的工具。
五、导数与函数极限的应用导数和函数极限是微积分理论的基础，也是应用于实际问题解决中的重要工具。
它们可以用来求解函数的最值、优化问题、判断函数的增减性等等。
在自然科学、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
综上所述，导数与函数的极限是微积分中的重要概念，它们之间存在着密切的关系。
导数和极限的计算方法、关联定理、性质和应用，都为我们探索和应用微积分提供了有力的工具和理论基础。
理解函数与导数的极限存在问题
理解函数与导数的极限存在问题在数学领域中，函数与导数的极限存在问题是一个非常重要且经典的问题。
理解这个问题的本质对于进一步学习和研究微积分和数学分析都具有重要的意义。
本文将从函数与导数的定义、极限的概念以及极限存在的条件等方面展开论述，帮助读者深入理解函数与导数的极限存在问题。
一、函数与导数的定义在讨论函数与导数的极限存在问题之前，我们首先来了解一下函数与导数的定义。
函数是一种将一个数域的集合映射到另一个数域集合的数学关系。
常见的函数表示方式包括显式函数、隐式函数和参数方程等。
导数是函数在某一点处的变化率，反映了函数图像在该点附近的变化趋势。
导数的定义可以用极限来表达，即函数在某一点x处的导数等于函数f(x)在x点偏离的极限。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
二、极限的概念极限是微积分中的基本概念之一，它描述了一个变量趋于某个确定值时的性质。
对于函数与导数的极限存在问题来说，我们主要关注函数在某一点处的极限是否存在。
当自变量无限逼近某一点时，函数值是否有确定的趋势，即是否存在一个确切的数值作为极限，这就是极限存在的问题。
如果函数在某一点的左极限与右极限都存在且相等，那么该点的极限存在。
否则，该点的极限不存在。
三、极限存在的条件要确保函数在某一点的极限存在，有一些条件需要满足。
1. 函数在该点附近有定义：函数在某一点附近都有定义，即使在该点处没有定义，也不能影响函数在该点的极限存在。
2. 函数在该点附近有界：函数在某一点附近存在上下界，这是确保极限存在的重要条件。
3. 函数在该点附近连续：函数在该点处连续，即函数在该点的左极限与右极限都存在且相等。
连续性是确保函数在某一点的极限存在的关键所在。
通过满足以上条件，我们可以判断函数在某一点的极限是否存在。
四、函数与导数的极限存在问题在函数与导数的极限存在问题中，我们主要关注函数在某一点的导数是否存在。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
当函数在某一点的导数存在时，我们可以得到该点处的切线斜率，从而推断函数图像在该点的变化趋势。
函数的极限与导数的应用
函数的极限与导数的应用在微积分学中，函数的极限和导数是两个重要的概念。
函数的极限可以描述函数在某一点逼近的趋势，而导数则可以描述函数在某一点的变化率。
这两个概念在计算机科学、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和导数，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于的一个确定的值。
通常用符号“lim”表示，下面是函数极限的定义：lim(x→a) f(x) = L意思是当自变量x趋于a时，函数f(x)的取值趋于L。
函数的极限具有一些重要的性质，比如极限的四则运算法则、函数的极限存在性和唯一性等。
通过函数的极限，我们可以研究函数的趋势和性质。
二、导数的定义与性质导数是一个函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点处的导数存在，那么这个函数在该点是可导的。
下面是导数的定义：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h这里，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
导数具有一些重要的性质，比如导数的四则运算法则、导数与函数的关系（如反函数的导数和复合函数的导数）、黎曼积分与导数的关系等。
三、函数极限与导数在实际问题中的应用函数的极限和导数不仅是微积分学的基础概念，也在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限在数值逼近中的应用：当我们需要通过计算机进行数值计算时，常常需要使用函数的极限来逼近某个数值。
比如在数值求解方程、数值积分等问题中，通过逼近函数的极限可以得到近似解。
2. 导数在最优化问题中的应用：最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数取得极值的问题。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的极值点，从而解决最优化问题。
这在经济学、工程学、物理学等领域中具有重要的应用。
3. 函数的极限和导数在物理学中的应用：物理学中的很多问题可以通过函数的极限和导数来进行建模和解决。
高考导数题型分析及解题方法
高考导数题型分析及解题方法本知识单元考查题型与方法：※※与切线相关问题（一设切点，二求导数=斜率=2121y y x x --，三代切点入切线、曲线联立方程求解）；※※其它问题（一求导数，二解)('x f =0的根—若含字母分类讨论，三列3行n 列的表判单调区间和极值。
结合以上所得解题。
）特别强调：恒成立问题转化为求新函数的最值。
导函数中证明数列型不等式注意与原函数联系构造，一对多涉及到求和转化。
关注几点：恒成立：（1）定义域任意x 有()f x >k,则min ()f x >常数k ；（2）定义域任意x 有()f x <k,则max ()f x <常数k恰成立：（1）对定义域内任意x 有()()f x g x >恒成立，则min ()-()0,f x g x >【】 （2）若对定义域内任意x 有()()f x g x <：恒成立，则max ()-()0f x g x <【】"能成立：（1）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <（2）分别定义在[a,b]和[c,d]上的函数()()f x g x 和，对任意的1[,],x a b ∈存在2[,],x c d ∈使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >一、考纲解读考查知识题型：导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值；证明不等式、求参数范围等二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；》3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， $（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f （2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时[①13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
高中数学的解析函数中的极限与导数
高中数学的解析函数中的极限与导数解析函数是指能够用解析式表示的函数，也就是用符号表达出来的函数。
在高中数学中，解析函数的极限与导数是重要的概念和技巧，对于理解函数的性质和计算函数值具有重要意义。
一、解析函数的极限解析函数的极限描述了函数在某个点附近的表现。
具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某一定值a时，如果函数值f(x)也无限接近于一个常数L，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
解析函数的极限可以通过代入法、夹逼法、拉'Hospital法则等多种方法来求解。
代入法是最基本的方法，通过将x的值无限接近于a，计算对应的函数值来确定极限。
夹逼法则是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，利用这两个函数的极限值相等来求解原函数的极限。
拉'Hospital法则则是通过利用导函数的极限求解原函数的极限，它适用于某些特殊形式的不定型。
二、解析函数的导数解析函数的导数描述了函数在任意一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数f'(x)表示了函数在点x处的瞬时变化率。
导数的定义是lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，也可以记作f'(x)=lim(h→0)(Δf/Δx)，其中Δf和Δx分别表示函数值和自变量的变化量。
解析函数的导数可以通过求导法则来求解。
常见的求导法则包括函数的四则运算法则、链式法则、乘积法则、商法则等。
通过这些法则，可以将复杂函数的导数计算转化为基础函数的导数计算，从而简化求解的过程。
三、解析函数的极限与导数的关系在解析函数中，极限与导数之间存在着重要的关系。
具体而言，如果函数f(x)在某个点x=a的极限存在，并且该点的导数也存在，则两者是相互关联的。
极限存在的充分必要条件是导数存在，并且它们的值相等。
这个关系可以通过解析函数的定义和导数的定义来理解。
当自变量的变化量趋近于0时，函数值的变化量与自变量的变化量之比等于导数，并且这个比值与自变量的变化量的极限值相等。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
三角函数的极限计算与导数结合应用
三角函数的极限计算与导数结合应用三角函数是数学中重要的一个分支，其通过极限计算与导数的结合应用可以在许多实际问题中得到广泛的应用。
本文将介绍三角函数的极限计算和导数应用，并探讨它们在几个具体问题中的应用。
1. 极限计算三角函数的极限计算是研究三角函数在特定点或无穷远点的趋势问题。
在计算极限时，常用到以下几个基本的极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$：这个极限是计算其他三角函数极限的基础，它能够将三角函数与直角三角形中的正弦比（$\frac{\sinx}{x}$）联系起来。
- $\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^x=e$：这个极限与三角函数直接相关，通过取对数和指数运算，可以得到三角函数的极限值。
2. 导数的计算导数是描述函数变化率的工具，而三角函数的导数是指其在某一点的切线斜率。
三角函数的导数计算需要使用基本的导数公式，并结合三角函数的特点进行推导。
下面是几个常见的三角函数导数公式：- $(\sin x)'=\cos x$：正弦函数的导数是余弦函数。
- $(\cos x)'=-\sin x$：余弦函数的导数是负的正弦函数。
- $(\tan x)'=\sec^2 x$：正切函数的导数是其平方的倒数。
3. 导数的应用通过将导数与三角函数结合应用，可以解决许多实际问题。
以下是几个具体例子：- 利用导数求解极值问题：根据函数的导数求函数的极值点，进而帮助解决实际问题。
例如，在解决最优化问题中，可以将问题转化为求函数的极值点的问题，然后利用导数计算出极值点的坐标。
- 利用导数解决速度和加速度问题：将物体的位移、速度和加速度之间的关系用函数表示，通过对函数求导，可以计算出速度和加速度的变化情况。
这在物理学中的运动学问题中尤为常见。
- 利用导数推导其他三角函数的导数：通过已知三角函数的导数公式，可以推导出其他三角函数的导数公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题八 极限与函数的导数的题型与方法【考点审视】极限与导数作为初等数学与高等数学的衔接点，新课程卷每年必考，主要考查极限与导数的求法及简单应用。
纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“一小一大”的布局，“小题”在选择、填空题中出现时，都属容易题；“大题”在解答题中出现时，极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；导数的考查常给出一个含参的函数或应用建模，通过求导、分析函数的单调性与最值，考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。
从2004年各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）从数列或函数的变化趋势了解极限概念，理解三个基本极限： 1)c c c n (lim =∞→是常数）,2)01lim=∞→nn ,3)∞→n lim )1|(|0<=q q n .(2)明确极限四则运算法则的适用条件与范围，会求某些数列和函数的极限。
（3）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值。
（4）了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数定义，理解导函数的概念。
（5）熟记八个基本导数公式，掌握求导的四则运算法则，理解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数。
（6）掌握导数的几何意义与物理意义，理解可导函数的单调性、极值与导数的关系，强化用导数解决实际问题的能力。
【疑难点拨】：1，极限的四则运算法则，只有当两数列或两函数各自都有极限时才能适用。
对00、∞∞、∞-∞、∞•0型的函数或数列的极限，一般要先变形或化简再运用法则求极限。
例如（2004年辽宁，14）πππ--→x x x x cos )(lim=【分析】这是00型，需因式分解将分母中的零因子消去，故πππ--→x x x x cos )(lim=x x x cos )(lim ππ+→=π2-。
2，极限的运算法则仅可以推广到有限个数列或函数，对于无穷项的和或积必须先求和或积再求极限；商的极限法则，必须分母的极限不为零时才适用。
例如：（2004年广东,4）-+++-+∞→131211(lim n n n n …+12112+-++n n n n )的值为…（ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）21（D ）1【分析】这是求无穷项的和，应先求前n 2项的和再求极限12112+-++n n n n =11+-n ，∴原式=)1(lim +-∞→n nn =-1，故选)(A 。
3，无穷等比数列的公比q ，当|q |<1时，各项的和qa s -=11及重要应用。
例如（2004年上海，4）设等比数列{}n a （N n ∈）的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =38，则=1a 【分析】 数列}{12-n a 是首项为1a ，公比是412=q 的等比数列，∴)(lim 12531-∞→++++n n a a a a =211q a -=38，解得1a =2。
4，当且仅当()()a x f x f ox x x x ==+-→→lim lim 0时，()a x f ox x =→lim ，0x x =时()x f 可有定义也可无定义。
例如下列命题正确的是……………………………………………( ) (A )若()1-=x x f ,则()0lim 1=→x f x ，()B 若()222++=x xx x f ,则()2lim 2-=-→x f x ，)(C 若()x x f 1=,则()0lim =∞→x f x ， (D)若⎩⎨⎧<+≥=)0(1)0()(x x x x x f ,则0)(lim 0=→x f x 。
【分析】 (A )中-→1x 无定义，（C ）中-∞→x 无定义，而(D)0)(lim 0=+→x f x ，1)(lim 0=-→x f x ，故()B 是正确的。
5，函数()x f 在0x x =处连续是指()()00lim x f x f x x =→，注意：有极限是连续的必要条件，连续是有极限的充分条件。
6，导数的概念要能紧扣定义，用模型解释，记住典型反例。
例如||x y =在（0，0）处的导数存在吗？为什么？【分析】1||lim |0||0|lim 00=∆∆=∆-∆+++→∆→∆x x x x x x ，xx x ∆-∆+-→∆|0||0|lim 01||lim 0-=∆∆=-→∆xx x ∴||x y =在（0，0）处的导数不存在。
7，导数的求法要熟练、准确，须明确（1）先化简，再求导，（2）复合函数灵活处理，（3）有时要回到定义中求导。
8，导数的几何意义是曲线切线的斜率，物理意义是因变量对自变量的变化率。
导数的应用应尽可能全面、深入，注重掌握以下几方面的问题：曲线切线方程的求法、函数单调性与函数作图、函数极值与最值求法、有关方程与不等式问题、有关近似计算问题、实际应用题。
9 导数与函数的单调性的关系㈠ 0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。
如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。
㈡ 0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。
∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。
㈢ 0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。
)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。
当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。
∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。
因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。
但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。
㈣ 单调区间的求解过程，已知)(x f y =（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。
以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。
㈤ 函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数在b x f =)(处连续，因此)(x f 在),(c a 单调递增。
同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。
)(x f y = ],[b a x ∈（1）0)(>'x f 恒成立 ∴)(x f y =为),(b a 上↑ 【经典题例】例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
利用函数f(x)在a x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。
解：（1）hh a f a f a f h a f h h a f h a f h h 2)()()()3(lim2)()3(lim00--+-+=--+→→b a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h a f h h h h 2)('21)('23)()(lim 213)()3(lim 232)()(lim2)()3(lim0000=+=---+-+=--+-+=→→→→（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+→→h h a f h a f h a f h a f h h 22020)()(lim )()(lim 00)('lim )()(lim0220=⋅=⋅-+=→→a f h h a f h a f h h 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。
解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。
例3．观察1)(-='n nnxx ，x x cos )(sin ='，x x sin )(cos -='，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。
解：若)(x f 为偶函数 )()(x f x f =- 令)()()(lim0x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆xx f x x f x x f x x f x f x x ∆+-∆-=∆+--∆+-=-'→∆→∆)()(lim)()(lim )(00 )()()(lim 0x f x f x x f x '-=∆--∆--=→∆∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：)()()(])([x f x x f x f f '-='-⋅+'='-='∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数例4．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。