工科高数05-07试卷答案
高等数学工专试题及答案
高等数学工专试题及答案-卷面总分：60分答题时间：40分钟试卷题量：20题一、单选题（共20题，共40分）1.函数f(x，y)=x2+xy+y2+x-y+1的驻点为A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)正确答案：C您的答案：本题解析：本题考查驻点的概念。
对x的偏导数为2x+y+1，对y的偏导数为x+2y-1，由于求驻点，也就是偏导数为0的点，所以2x+y+1=0，x+2y-1=0，得到x=-1，y=1。
2.如果A2=10E，则(A+3E)-1=A..A-2EB.A+2EC.A+3ED.A-3E正确答案：D您的答案：本题解析：本题考查矩阵逆的求法。
A2-9E=E，(A+3E)(A-3E)=E，(A+3E)-1=A-3E3.连续的概念A.f(x)在(-∞，1)上连续B.f(x)在(-1，+∞)上连续C.f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上连续D.f(x)在(-∞，+∞)上连续正确答案：C您的答案：本题解析：本题考查连续的概念。
4.设A是k×l阶矩阵，B是m×n阶矩阵，如果A·CT·B有意义，则C是()矩阵。
A.k×nB.k×mC.l×mD.m×l正确答案：D您的答案：本题解析：本题考查矩阵的计算性质。
首先我们判断CT是l×m阶矩阵，所以C是m×l阶矩阵。
5.试确定k的值，使f(x)在x=1处连续，其中A.k=-2B.k=-1C.k=0D.k=2正确答案：D您的答案：本题解析：本题考查连续的定义。
6.关于矩阵的乘法的说法，正确的是A.单位矩阵与任意一个同阶方阵必不可交换。
B.一般情形下，矩阵乘法满足交换律。
C.如果AB=O，则A=O。
D.数量矩阵与任意一个同阶方阵必可交换。
正确答案：D您的答案：本题解析：暂无解析7.矩阵的计算A.2x=7B.y=x+1C.2y=xD.y=x-1正确答案：B您的答案：本题解析：本题考查矩阵的计算。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答
2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分,满分50分。
1．Ｃ2．Ｂ3．Ａ4．Ｄ5．Ｃ6．Ｄ7．Ｂ8．Ｂ9．Ａ10．Ａ二、填空题:本题考查基本知识和基本运算．每小题4分,满分24分．11．212．14π13．314．30x y +=15．83-16．390三、解答题17．（本小题满分12分）本小题考查三角函数中地诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+地性质等基础知识,考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解:π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此,函数()f x 地最小正周期为π．（Ⅱ）解法一:因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数,在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数,又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,最小值为1-．解法二:作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期地区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上地图象如下:由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．18．（本小题满分12分）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量地分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题地能力．满分12分．（Ⅰ）解:设"从甲盒内取出地2个球均为黑球"为事件A ,"从乙盒内取出地2个球均为黑球"为事件B ．由于事件A B ，相互独立,且23241()2C P A C ==,24262()5C P B C ==．故取出地4个球均为黑球地概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··．（Ⅱ）解:设"从甲盒内取出地2个球均为黑球；从乙盒内取出地2个球中,1个是红球,1个是黑球"为事件C ,"从甲盒内取出地2个球中,1个是红球,1个是黑球；从乙盒内取出地2个球均为黑球"为事件D ．由于事件C D ，互斥,且21132422464()15C C C P C C C ==··,123422461()5C C PD C C ==·．故取出地4个球中恰有1个红球地概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=．（Ⅲ）解:ξ可能地取值为0123，，，．由（Ⅰ）,（Ⅱ）得1(0)5P ξ==,7(1)15P ξ==,13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ地分布列为ξ0123P157********ξ地数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,故PA CD ⊥．AC CD PA AC A ⊥= ，∵,CD ⊥∴平面PAC ．而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴．（Ⅱ）证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =．E ∵是PC 地中点,AE PC ⊥∴．由（Ⅰ）知,AE CD ⊥,且PC CD C = ,所以AE ⊥平面PCD ．而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴．PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内地射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴．又AB AE A = ∵,综上得PD ⊥平面ABE ．（Ⅲ）解法一:过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM ．则（Ⅱ）知,AE ⊥ 平面PCD ,AM 在平面PCD 内地射影是EM ,则EM PD ⊥．因此AME ∠是二面角A PD C --地平面角．由已知,得30CAD ∠=°．设AC a =,可得PA a AD PD AE a ====，，，．在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AM PD PA AD =∴··,则PA ADAM PD===·．在AEM Rt △中,sin AE AME AM ==所以二面角A PD C --地大小是．解法二:由题设PA ⊥底面ABCD ,PA ⊂平面PAD ,则平面PAD ⊥平面ACD ,交线为AD ．过点C 作CF AD ⊥,垂足为F ,故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥,垂足为M ,连结CM ,故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --地平面角．ABCDPEM由已知,可得30CAD ∠=°,设AC a =,可得12PA a AD PD CF a FD =====，，，，．FMD PAD ∵△∽△,FM FDPA PD=∴．于是,FD PA FM PD ===·．在CMF Rt △中,tan CFCMF FM ===．所以二面角A PD C --地大小是．20．（本小题满分12分）本小题考查导数地几何意义,两个函数地和、差、积、商地导数,利用导数研究函数地单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论地思想方法．满分12分．（Ⅰ）解:当1a =时,22()1x f x x =+,4(2)5f =,又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6(2)25f '=-．所以,曲线()y f x =在点(2(2))f ，处地切线方程为46(2)525y x -=--,即62320x y +-=．（Ⅱ）解:2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．由于0a ≠,以下分两种情况讨论．（1）当0a >时,令()0f x '=,得到11x a=-,2x a =．当x 变化时,()()f x f x '，地变化情况如下表:x1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞1a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭a()a +，∞()f x '-0+0-()f x +极小值极大值所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞,()a +，∞内为减函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数．ABCDP EFM函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ,且()1f a =．（2）当0a <时,令()0f x '=,得到121x a x a==-，,当x 变化时,()()f x f x '，地变化情况如下表:x()a -，∞a1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1a-1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞()f x '+0-+()f x极大值极小值所以()f x 在区间()a -，∞,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭，+∞内为增函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为减函数．函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =．函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分14分）本小题以数列地递推关系式为载体,主要考查等比数列地前n 项和公式、数列求和、不等式地证明等基础知识与基本方法,考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题地能力．满分14分．（Ⅰ）解法一:22222(2)22a λλλλ=++-=+,2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+,3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 地通项公式为(1)2nnn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时,12a =,等式成立．（2）假设当n k =时等式成立,即(1)2kkk a k λ=-+,那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说,当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知,等式(1)2nnn a n λ=-+ 对任何n *∈N 都成立．解法二:由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ,0λ>,可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列,其公差为1,首项为0,故21nn n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以数列{}n a 地通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）解:设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+- , ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+- ②当1λ≠时,①式减去②式,得212311(1)(1)(1)1n nn n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=--- ,21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．这时数列{}n a 地前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--．当1λ=时,(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 地前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-．（Ⅲ）证明:通过分析,推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭地第一项21a a 最大,下面证明:21214,22n n a a n a a λ++<=≥． ③由0λ>知0n a >,要使③式成立,只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥,因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．所以③式成立．因此,存在1k =,使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．22．（本小题满分14分）本小题主要考查椭圆地标准方程和几何性质、直线方程、求曲线地方程等基础知识,考查曲线和方程地关系等解析几何地基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一:由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -，,2(0)F c ，,不妨设点()A c y ，,其中0y >．由于点A 在椭圆上,有22221c y a b +=,即222221a b y a b-+=．解得2b y a =,从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 地方程为2()2b y x c ac=+,整理得2220b x acy b c -+=．由题设,原点O 到直线1AF 地距离为113OF ,即3c =,将222c a b =-代入上式并化简得222a b =,即a =．证法二:同证法一,得到点A 地坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥,垂足为B ,易知1F BO △∽12F F A △,故211BO F AOF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =,所以2212132F AF A F A a F A==-,解得22aF A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =．（Ⅱ）解法一:设点D 地坐标为00()x y ，．当00y ≠时,由12OD Q Q ⊥知,直线12Q Q 地斜率为0x y -,所以直线12Q Q 地方程为0000()x y x x y y =--+,或y kx m =+,其中00x k y =-,200x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，地坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式,得2222()2x kx m b ++=,整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=,于是122412kmx x k+=-+,21222212m b x x k -=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k=++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+,22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+代入上式,整理得2220023x y b +=．当00y =时,直线12Q Q 地方程为0x x =,111222()()Q x y Q x y ，，，地坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==,12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=,即2220202b x x --=,解得22023x b =．这时,点D 地坐标仍满足2220023x y b +=．综上,点D 地轨迹方程为 22223x y b +=．解法二:设点D 地坐标为00()x y ，,直线OD 地方程为000y x x y -=,由12OD Q Q ⊥,垂足为D ,可知直线12Q Q 地方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠）,点111222()()Q x y Q x y ，，，地坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，①．②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=,于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=,整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=,于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++,22220032()0m b x y -+=将2200m x y =+代入上式,得2220023x y b +=所以,点D 地轨迹方程为22223x y b +=。
2005年高考.浙江卷.理科数学试题精析详解
浙江省2005年高考试题数学(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．limn →∞2123nn++++L ＝( ) (A) 2 (B) 4 (C) 21(D)0解：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 2．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C)解：点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离2=,选(D) 3．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x--≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 2541解：f[f(12)]=f[|12-1|-2]=f[-32]=2114313131()24==+-,选(B)4．在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限解：1i i ++(1＋3i )2=12i --i=32-i,故在复平面内，复数1ii+＋(1＋3i )2对应的点为(32-故选(B)5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121解：(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)x x x x x x------=--,(1-x)5中x 4的系数为455C =,-(1-x)9中x 4的系数为-49126C =-,-126+5=-121,故选(D)6．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)7．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x y x y y x >⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )8．已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1解：y ＝cos2x ＋k (cos x －1)=2cos 2x+ k (cos x －1)-1,当cosx=1时,y=1,当cosx ≠1时,cosx-1<0,则y>2cos 2x-4(cos x －1)-1=2(cosx-1)2+1≥1,故y 的最小值为1,选(A)9．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) (A) {0，3} (B){1，2} (C){3，4，5} (D){1，2，6，7}解：^P ={0,1,2},N ð^P ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},N ðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},选(A)10．已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|，则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )解：由|a r －t e r |≥|a r －e r |得|a r －t e r |2≥|a r －e r|2展开并整理得222210,,(2)480t aet ae t R ae ae -+-≥∈=-+-≤r r r r r r r r V 由得,得()0e a e -=r r r ,即()a a e ⊥-r r r,选(C)第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高等数学工科类教材答案
高等数学工科类教材答案一、导数和微分1. 基本概念和性质1.1 导数的定义和解释1.2 导数的性质1.3 微分的定义和计算方法2. 常用基本函数的导数2.1 幂函数2.2 指数函数2.3 对数函数2.4 三角函数2.5 反三角函数3. 高阶导数与高阶微分3.1 高阶导数的定义和计算方法3.2 高阶微分的应用二、积分与不定积分1. 不定积分的基本概念1.1 不定积分的定义与性质1.2 基本积分公式与常规积分计算方法2. 定积分的基本概念2.1 定积分的定义与性质2.2 定积分的计算方法2.3 定积分的应用：面积、弧长、物理问题等3. 反常积分3.1 反常积分的定义与性质3.2 收敛性与发散性3.3 反常积分的计算方法三、级数和幂级数1. 数项级数1.1 数项级数的定义与性质1.2 数项级数的敛散性判别法2. 幂级数的基本概念2.1 幂级数的收敛半径和收敛域2.2 幂级数的求和与收敛域的求取2.3 幂级数的应用：泰勒级数与函数展开四、多元函数与偏导数1. 多元函数的基本概念1.1 多元函数的定义与性质1.2 多元函数的极限与连续性2. 偏导数的概念与计算方法2.1 偏导数的定义与性质2.2 偏导数的计算方法与几何意义3. 高阶偏导数与混合偏导数3.1 高阶偏导数的定义与计算方法3.2 混合偏导数的计算方法与应用五、多元函数的微分与全微分1. 多元函数的微分1.1 多元函数的全微分定义与计算方法1.2 多元函数微分的应用2. 隐函数与参数方程的微分2.1 隐函数的微分法与几何意义2.2 参数方程的微分法与几何意义六、多元函数的积分和曲线积分1. 二重积分的基本概念1.1 二重积分的定义与性质1.2 二重积分的计算方法与应用2. 三重积分的基本概念2.1 三重积分的定义与性质2.2 三重积分的计算方法与应用3. 曲线积分的基本概念3.1 第一类曲线积分的定义与性质 3.2 第二类曲线积分的定义与性质3.3 曲线积分的计算方法与应用七、向量场和曲面积分1. 向量场的基本概念与性质1.1 向量场的定义与表示1.2 向量场的运算与性质2. 曲面的参数方程与切向量场2.1 曲面的参数方程与性质2.2 曲面的切向量场与法向量3. 曲面积分的基本概念3.1 曲面积分的定义与性质3.2 曲面积分的计算方法与应用八、无穷级数1. 数项级数的收敛性判定1.1 正项级数的比较判别法1.2 正项级数的比值判别法1.3 正项级数的根值判别法1.4 交错级数的收敛性判别法2. 无穷级数的运算与性质2.1 无穷级数的加法与乘法2.2 绝对收敛级数与条件收敛级数2.3 级数的收敛域与收敛半径九、常微分方程1. 一阶常微分方程1.1 可分离变量的方程1.2 首次线性的方程1.3 齐次的方程1.4 Bernoulli方程和Ricatti方程2. 二阶常系数线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程2.3 常系数齐次线性微分方程的特解3. 高阶常系数线性微分方程3.1 齐次线性微分方程3.2 非齐次线性微分方程3.3 常系数齐次线性微分方程的特解以上为《高等数学工科类教材答案》的大致目录。
05高数(上)试题及答案
华东交通大学2005—2006学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
专业 班级 学号 学生签名：试卷编号： （ A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科05级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2006.1.9题号 一 二三四五 总分计分人签名1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3题分 10 10 6 6 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 100得分考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、填空题(每题2分，共10分)3 )1(1.310lim-==-→a e ax xx 则，2 4 32 .22-=⎩⎨⎧-=-=t dx dyt t y t x 则，设21 ]2 1[12 .32=-+-=ξ理的上满足拉格朗日中值定，在区间函数x x y1.4 0=⎰∞+-dx e x113211 1342)1 2 1( .5+=-=--⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-=-z y x tz t y t x 为平行的直线对称式方程且与直线，，过点二、选择题(每题 2分，共10分). )( )( )( )( )(11 1 1.2低阶无穷小高阶无穷小，同阶不等价无穷小，等价无穷小，的是时，当D C B A B x x x --→.tan )( tan )( sec )( sec )( )( cos ln 2.22x D x C x B x A A y x y ，，，则，设--=''=得分 评阅人得分评阅人).1 1( )( )1 0( )( ) 1( )( ) ( )( )( 3.22，，，，，，，的单调增区间是函数-∞+∞+-∞=-D C B A D xe y x.ln )( ln )( 1 )( 1 )( ) ()(ln )( .4222C x D C x C C x B C x A A dx xx f e x f x +-++-+='=⎰-，，，则，设.1 )( 1 )( 1 )( 1 )( )( 01 .5222222222222222222222222=-+=-+=+-=+-⎪⎩⎪⎨⎧==-c z a z x D c z a y x C c z x a x B c z y a x A C oz y c z a x ，，，面方程为轴旋转所形成的旋转曲绕双曲线三、计算题(每题 6分，共48分))ln 11(.1lim1xx x x --→)1(6 21)2(4 1ln ln)1(5 111 2 ln )1(1ln limlimlim1211'='-+='+=-+-=→→→分分分分原式解：x x x x xx x xx x x x x x xn n n n 2arcsin)11sin 1(.22lim-+∞→)2(6 41)2(4 )11sin 1(21 2 )11sin 1(2arcsin1sin 2222limlim'='++⋅=++=∞→∞→分分分原式解：nn n n n n nn n n 或用第一个重要极限得分 评阅人得分 评阅人dy x y y x y xy 求，确定设方程 )(cos .33=-=)2(6 sin 34 3sin )1(6 sin 3 )1(5 )1(4 sin 3 3 3sin 22222'++-=--=+'++-='''='++-='⇒-'⋅-='+分解出分或两边取微分得分分所以分分求导得两边对解：dx y x yx dy dx x ydy xdy ydx dx yx yx dx y dy yx yx y x y y y x y x 处的连续与可导在点，，讨论00 001sin )( 4.2=⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f)4(6 )0( )1(2 0)( 1 )0(01sin )0( )2(6 0)( )1(4 0)( )1(3 0 )1(2 1sin 1 0)0()()0( 2000limlim limlim'''=⇒==='=⇒'=∴'='=--='→→→→分下面解题同分处连续在分或分处连续在分处可导在分分分解：f x x f f x x f x x f x x f x x x f x f f x x x xdxx x ⎰2cot 5.)2(6 2sin ln cot )2(4 2cot cot )1(2 cot 1 )1(csc cot 2222'+-+-='-+-='--=-=⎰⎰⎰⎰⎰分分分分解：C x x x x xdx x x x xdx x d x dx x x dx x x注：缺C 扣1分得分评阅人得分 评阅人得分 评阅人dxx x )cos 2(.631+-⎰)1(6 3sin 1sin 3 )2(5 sin sin )2(21)2(21)2(3 cos cos )2()2( 1 cos 2 32213222123 221322 13 1 31 '--='-+-+--='-++-+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分分分原式解：ππππx xx x xdx xdx dxx dx x dx x dx x.)( )2( )( )1( 2 3 32 .7c b a a c b j i c k j i b k j i a ⨯+⋅-=+-=+-=；求，，，设)1(6 }2 4 ,8{ )1(6 248 )1(5 021443)( )1(4 443 )2( )1(3 }3 9 6,{ )1(3 396)( 2 303)2()1(11 )1( '-='-+='--=⨯+∴'+-=+'-='+-=⋅∴=⨯+-⨯-+⨯=⋅分，或分分分分，或分分解：k j i kj i c b a k j i b a k j i a c b c b.0101)2 1 3( .8方程的平面且通过直线，，求过点⎩⎨⎧=++-=--+-z y x z y x)2(6 03332 )1(4 5 )1(3 0)1213(1213 )2 1 3( 2 0)1(1'=++-'-=⇒'=+--+-++-=++-+--+分故所求平面方程为分分得：，，由平面过点分设所求平面方程为：解：z y x z y x z y x λλλ )2(6 03332 0)0(6)1(6)0(4 )2(4 }6 6 4{}2 0 3{}2 2 0{ 2 22100 '=++-=-+---'-=-⨯--=--=--=-分即，故所求平面方程为分，，，，，，所求平面的法向量为：分为：所给直线的对称式方程或z y x z y x n z y x四、综合应用题(每题 8分，共24分)1500 1.3，设仓库容积是的平顶仓库，欲建一座底面是正方形m 得分 评阅人得分 评阅人得分 评阅人得分评阅人。
05年《高等数学》试题及答案
2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x解： ⇒-x e x~12~12x ex -,应选B.4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 得分 评卷人6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ）A. 1)]([+n x f nB. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='',⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C. 12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ） A.t a b 2sin B.ta b32sin -C.t a b 2cos D.t t a b22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰adx x f 0)(2 C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaa aa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21 解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰a x dt t f )(是)(x f -的一个原函数D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰ba dx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln-=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ） A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dyC.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θc o s 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1 解：L ：,2⎩⎨⎧==xy x x x 从0变到1 ,14222104131332===+=+⎰⎰⎰xdx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n nnC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ． 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n n v都收敛解：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222n n n n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。
2005年湖北高考数学理试题(含答案)
2005年高考理科数学湖北卷试题及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的）1．设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是A ．9B ．8C ．7D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件； ②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件 其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．ii i ++-1)21)(1(=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4． 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）A B C D5．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为A ．163 B ．83 C ．316 D ．386．在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．若)20(tan cos sin παααα<<=+，则∈αA ．（0，6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2π）8．若1)11(lim 21=---→xbx a x ，则常数a ，b 的值为A ．a=-2，b=4B ．a=2，b=-4C ．a=-2，b=-4D ．a=2，b=49．若20π<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系：A ．2x>3sinxB ．2x<3sinxC ．2x=3sinxD ．与x 的取值有关10．如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 A ．K B ．H C ．G D ．B '11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④305784111138165192219246270 关于上述样本的下列结论中，正确的是 A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样12．以平行六面体D C B A ABCD ''''-的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367 B ．385376 C ．385192 D ．38518二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上）13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k |a+b|不超过5，则k 的取值范围是14．5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项等于15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费 元三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知向量a =(2x ，x+1)，b = (1-x ，t)若函数)(x f =a ·b 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围18．（本小题满分12分）在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA 的值19．（本小题满分12分）某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离21．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由22．（本小题满分14分）已知不等式][log 21131212n n >+++ ，其中n 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log {n a }的各项为正，且满足111,)0(--+≤>=n n n a n na a b b a ，,4,3,2=n（Ⅰ）证明：][log 222n b ba n +<， ,5,4,3=n ；（Ⅱ）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有5<n a2005年高考理科数学湖北卷试题及答案参考答案1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A13．[-6，2] 14．2263 15．-2 16．50017．解法一：依定义ttx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(则t x x x f ++-='23)(2，若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∴)(x f '≥0x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立考虑函数x x x g 23)(2-=，由于)(x g 的图象是对称轴为31=x ，开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即t ≥5而当t ≥5时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥5解法二：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(，t x x x f ++-='23)(2若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线，∴当且仅当01)1(≥-='t f ，且05)1(≥-=-'t f 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥518．解法一：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC又630sin =B ，故6303212sin 2=A ，1470sin =A解法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象限由630sin =B ，则)354,34()s i n 364,c o s 364(==B B BA ，设=（x ，0），则)352,634(x +=由条件得)352()634(||22=++=x BD从而x=2，314-=x （舍去）故354,32(-=CA于是141439809498091698098cos =+⋅++-==A∴1470cos 1sin 2=-=A A解法三：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BP=DP ，连接AP 、PC过窗PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则354,34c o s ===AH B AB HB ，310)354()52(222222=-=-=-=AH BP PN BP BN ，而34==HB CN ，∴BC=BN=CN=2，32=HC ，321222=+=HC AH AC故由正弦定理得6303212sin 2=A ，∴1470sin =A19．解：ξ的取值分别为1，2，3，4ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （ξ=1）=0.6ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P （ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P （ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故P （ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544李明在一年内领到驾照的概第为 1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.997620．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），B （3，0，0），C （3，1，0），D （0，1，0），P （0，0，2），E （0，21，2）从而AC =（3，1，0），PB =（3，0，-2）设与的夹角为θ，则1473723cos ===θ，∴AC 与PB 1473（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ），则1,21,(z x --=由NE ⊥面PAC 可得：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(z x z x化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.1,63.0213,01z x x z即N 点的坐标为（63，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为163解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角在ΔAOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，∴14173127245471cos =⨯⨯-+=EOA即AC 与PB 14173（Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6=∠AD F连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=33tan ,332cos ===ADF AD AF ADF AD设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC 从而NE ⊥面PAC∴N 点到AB 的距离=21AP=1，N 点到AP 的距离=2163 21．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB 的方程为y=k （x-1）+3，代入λ=+223y x ，整理得：)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设A （11,y x ），B （22,y x ），则1x ，2x 是方程①的两个不同的根，∴0])3(3)3([422>--+=∆k k λ，②且3221+=+k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得21x x +=2，∴)3(2+=-k k k 解得k =-1，代入②得12>λ，即λ的取值范围是（12，+∞）于是直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即04=-+y x解法二：设A （11,y x ），B （22,y x ），则有)())((3.3,321212122222121=-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y x x x x y x y x λλ 依题意，212121,y y k x x AB +=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，∴21x x +=2，21y y +=6，从而1-=AB k又由N （1，3）在椭圆内，∴1231322=+⨯>λ，∴λ的取值范围是（12，+∞）直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即4=-+y x（Ⅱ）解法一：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得04442=-++λx x ③又设C （33,y x ），D （44,y x ），CD 的中点为M （00,y x ），则3x ，4x 是方程③的两根，∴3x +4x =-1，且232,200210=+==+=x y x x x ，即M （21-，23）于是由弦长公式可得)3(2||)1(||432-=-⋅-+==λx x kCD ④将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程得16842=-+-λx x ⑤同理可得)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，)3(2-λ>)12(2-λ，∴|AB|<|CD|假设存在12>λ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心点M 到直线AB 的距离为222|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得2222|2|2321229|2|||||CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2CD|为半径的圆上（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔ACD 为直角三角形，A 为直角||||||2DN CN AN ⋅=，即)2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+=⑧由⑥式知，⑧式左边=212-λ，由④⑦知，⑧式右边==--=--+-2923)2232)3(2)(2232)3(2(λλλ2∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆）解法二：由（Ⅱ）解法一知12>λ，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得04442=-++λx x ③将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程整理得16842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得21222,1-±=λx ，2314,3-±-=λx ，不妨设A （12211-+λ，12213--λ），C （231---λ，233--λ），D （231-+-λ，233-+λ）∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+---+-+=23123,23123λλλλ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------+=23123,23123λλλλ，计算可得0=⋅，∴A 在以CD 为直径的圆上又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）22．（Ⅰ）证法一：∵当n ≥2时，110--+≤<n n n a n na a ，∴na a n a n a n n n n 111111+=++≥---，即n a a n n 1111≥--，于是有211112≥-a a ，311123≥-a a ，…，na a n n 1111≥--，所有不等式两边相加可得na a n 3121111+++≥-由已知不等式知，当n ≥3时有[log 211121n a a n ≥-∵b a <1，∴bn b a n 2][log 211122=+>∴][log 22n b a n +<证法二：设nn f 13121)(+++=，首先利用数学归纳法证不等式,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n（ⅰ）当n=3时，由b f ba a a a a a )3(11223313333112223+=++⋅≤+=+≤，知不等式成立（ⅱ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即bk f ba k )(1+≤，则,)1(1)11)((1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(1bk f bb k k f bbb k f k k bk b b k f k k a k k a k a k a k kk k ++=+++=+++++=++⋅++≤+++=+++≤+即当n=k+1时，不等式也成立由（ⅰ）（ⅱ）知，,5,4,3,)(1=+≤n bn f ba n又由已知不等式得,5,4,3,][log 22][log 21122=+=+≤n n b bb n b a n（Ⅱ）有极限，且lim =∞→n n a（Ⅲ）∵][log 2][log 2222n n b b <+，令51][log 22<n ，则有1024210][log log 1022=>⇒>≥n n n ，故取N=1024，可使沁n>N 时，都有5<n a。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(计数原理、二项式定理)
解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；
四面体的四条高的四个中垂面，选(D)
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,
在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的
5
放入④两种放法。综上所述:共有 A44 2 48 种放法.故选 B.
P
1
4
A 5
23 8
D 7
B6 C
9．(2005 江西文)将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数
为
（）
A．70
B．140
C．280
D．840
【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.
【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的 7 人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一
B．96
C．72
D．144
解：本题主要关键是抓连续编号的 2 张电影票的情况,可分四种情况：
情况一：连续的编号的电影票为 1,2;3,4;5,6,这时分法种数为 C42P32P22
情况二：连续的编号的电影票为 1,2；4,5,这时分法种数为 C42P22P22
情况三：连续的编号的电影票为 2,3;4,5;这时分法种数为 C42P22P22
D．1 项
【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
【正确解答】 (
x 3 x )12 的展开式为 C1t2 (
x )t ( 3
x )12t
Байду номын сангаас
C1t2
x
t 2
12t 3
C1t2
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河南农业大学2005-2006学年第二学期 《高等数学》（工科）考试试卷（A ）参考答案一、判断题（每题2分，共计20分）1、⨯2、⨯3、√4、√5、√6、⨯7、√8、⨯9、√ 10、√二、填空题（每题2分，共计20分）1、1(3,1,2)14- 2、111123x y z ---==- 3、1- 4、21122003x dx x y dy -⎰⎰5、22x y6、[)1,37、2π8、(cos cos cos )P Q R dS αβγ∑++⎰⎰ 9、4π 10、32三、计算题（每题10分，共计60分）一、解：::01;:D y x o y →→ ---------------2分1220yDy xydxdy dy y xydx -=-⎰⎰⎰⎰-----------------4分3122021()03y y xy dy y=--⎰ ----------------6分12023y dy =⎰ ----------------8分 29= ---------------10分二、22,x y +证明：令u=则22()z x f u x x y ∂'=∂+，22()z y f u y x y∂'=∂+---2分 222222222222()()x x y x y z xx f u f u x x yx y x y+-+∂'''=+∂+++32222222()()()x y f u f u x yx y '''=+++ -----------6分同理 22zy ∂=∂32222222()()()y x f u f u x y x y '''+++ -----------8分 代入 22220z zx y∂∂+=∂∂得：()()0f u f u u '''+= -----------10分 三、2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+--解： --------2分 比较两边系数可得：21,33A B ==-即：121111()()()3213112f x x x x x=-=--++- -----------4分而：01(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑，01(),(2,2)212n n x x x ∞==∈-+∑ ---------6分故，2()2xf x x x =+----------8分101111((1))(1),(1,1)3232nn n n n n n x x x x n ∞+=⎡⎤=--+=-+∈-⎢⎥⎣⎦∑∑∑ ---------10分四、解：将∑分为1∑和2∑两部分，其中2∑，1∑在0z =的下方1∑：221z x y=---，2∑：221z x y =-- ---------2分2222221(1)21Dxy DxyDxyxyzdxdy xyx y dxdy xy x y dxdyxy x y dxdy∑=------=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ---------4分其中：xy D 是12∑∑、在xoy 平面的投影区域，即()22x y 1,x 0,y 0+≤≥≥ ---------6分 利用极坐标法计算之，可得:222213220212sin cos 1sin 2d 1d DxyDxyxy x y dxdy d d πρθθρρρθθθρρρ--=-=⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ---------8分=2211515⋅= - --------10分 五、解：()0OA OB L DpPdx Qdy dxdy x y θ-++∂∂+=-=∂∂⎰⎰⎰ --------2分 LO AA B⇒=+⎰⎰⎰3222(2cos )(12sin 3)OA ABxy y x dx y x x y dy +=-+-+⎰---------4分O A :,:2A B :x ,y :12y o x o o ππ=→=→ ---------6分2212232002130(12)()0444dx y y dy y y y ππππ+-+=-+=⎰⎰ ---------10分 六、解：记点A(6,3,2)-，平面428x y z -+=的法向量为1(4,1,2)n =----------2分由题意，所求平面的法向量121,OA n n n ⊥⊥且 ---------4分所以：11OA 412(4,4,6)632i j kn n =⨯=-=-----------6分由点法式方程，所求平面为：4(0)4(0)(0)0,x y z -+-+-=2230x y z +-=即: ---------10分河南农业大学2005-2006学年第二学期 《高等数学》（工科）考试试卷（B ）参考答案一、判断题（每题2分，共计20分） 1 √ 2⨯ 3 ⨯ 4 √ 5 √6 ⨯7 √ 8√ 9√ 10 ⨯二、填空题（每题2分，共计20分）1、3π 2、3 3、⎰⎰22120),(y y dx y x f dy 4、),(+∞-∞ 5、0 6、π 7、dv z Ry Q x P )(∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰Ω8、23 9、1 10、21三、计算题（每题10分，共计60分）一、解：2D:y :12;x :y y 2-→→+ ……………………2分222225111y x (2)2y yDxydxdy d xyd y y y dy +--⎡⎤==+-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ ……………………6分 243261114145224368y y y y -⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦ ……………………10分二、解：将所给方程的两边对x 求导并移项，得uu x y u xx u u y x vy y ∂∂⎧-=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=-∂∂⎪⎩……………………4分 利用克莱姆法则，可得：22u yv x u xu yvx y x x y y x---∂+==--∂+ ……………………6分 22x uy v u yu xvx y y x yy x --∂-==-∂+ ……………………10分 三、解：设()121(1)(21)n n n x u x n n -+-=-则 ……………………2分()()()2321121(1)1(21)lim lim(1)(21)n n n n n x x nx u x n n x x u x n n ++-+→∞→∞-++==-- ……………………4分即，当21x <时，原级数收敛 ……………………6分当1x =时级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑收敛，当1x =-时级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑收敛.…………8分均为交错级数，根据莱布尼茨判别法级数收敛.故级数的收敛域为[]1,1-. ……………………10分四、解：0,0,00x y z x y z ∑===++=在及上的部分依次为1234∑∑∑∑，，，，1234=+++∑∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰……………………2分由于在1234∑∑∑∑，，，上，()f ,,x y z xyz =均为零所以：1230===∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ……………………4分在4∑上1z x y =--()()222211113x y z z ⇒++=+-+-=…………6分()431Dxyxy x y dxdy ==--∑∑⎰⎰⎰⎰⎰，:0,0,1Dxy x y x y ==+=及 所围x y z d s ∑⎰⎰ ()()211-x 13001xy 13x 13x 1x y dx 023dx y x y dy -⎡⎤=--=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰3120=……………………10分 五、解：l:x=rcos ,y=rsin ;:02θθθπ→。
在以L 和l 为边界的闭区域r D 上利用格林公式得()rL l D Q P dxdy Pdx Qdy x y -+∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ ……………………2分 而()222222P x y Q y x x y ∂+∂==∂∂+ ……………………4分 LlPdx Qdy Pdx Qdy ⇒+=+⎰⎰ ……………………6分()()220sin cos cos sin 2r r r r d rπθθθθθπ''-==-⎰ …………………10分 六、解：曲面22z x y =+的切平面的法向量为()2,2,1x y - ……………………2分平面240x y z +-=的法向量为()2,4,1- ……………………4分 只需：22,24x y == ………………6分 即1,2;z 5x y ===此时 ………………8分 故，所求的切平面方程为：()()()2x 14y 2z 50-+---=即2x 4y z 50+--= ………………10分河南农业大学2006-2007学年第二学 《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）参考答案与评分标准一、判断题（每小题2分，共计20分）1-10 √ √ × √ × × √ × √ √ 二、填空题（每空2分，共计20分）1、x z y 522=+2、312111--=-+=-z y x 3、414、⎰⎰--21011),(x dy y x f dx 5、22-6、)3,1[- 7、42π 8、dS R Q P )cos cos cos (⎰⎰∑++γβα 9、μ10536810、1三、计算题（每题10分，共计60分）计算三重积分d x d y d z z⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++c zb y a x 所围成的空间闭区域．解：空Ω表示为c z c c z b y a x z y x ≤≤--≤+⎩⎨⎧,1),,(222222，――――――３分 dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2=⎰⎰⎰-c c D z dxdy dz z 2 （6分） =dz z cz ab c c 222)1(⎰--π （８分) =3154abc π (１０分） 2、设⎩⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z 求 dx dzdx dy ,．解：方程组两边同时对x 求导，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz， ―――――５分解上述方程组可以得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=13)13(2)16(z x dx dz z y z x dx dy――――１０分3、求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域．解：21limx u u nn n =+∞→ （５分）当2x 1<时绝对收敛，当1-=x 和1=x 时都收敛（８分）所以收敛域为]1,1[-．（１０分）4、解：∑的方程为 )(3222y x z +=，在平面xOy 面上的投影为圆3)(22≤+y x ，（２分）又2122=++y x z z （４分） ⎰⎰∑+dS y x)(22dxdy y xxyD 2)(22⎰⎰+=（６分）⎰⎰==ππρρθ203392d d１０分5、解：设D 是由L 围成的闭区域，由题意知：x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+= ，x ye x x Q 2sin 2-= ――２分则x ye x x x x x Q 2cos sin 22-+=∂∂，x ye x x x x yP2cos sin 22-+=∂∂， ――４分 院、系 班级则由格林公式有⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222 dxdy y P x Q D )(⎰⎰∂∂-∂∂= (８分)＝dxdy D⎰⎰00= ―１０分 6、解：因为垂直，所以 ⎩⎨⎧=-∙-=-∙+0)27()4(0)57()3(b a b a b a b a ， ―――３分则有 b a = ―――６分则21),cos(=∙=b a b a b a ―――９分所以，夹角为3π． ―――１０分河南农业大学2006-2007学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（B ）参考答案一、判断题（每小题2分，共计20分） √ √ × × √ × √ √ × √二、填空题（每空2分，共计20分） 1、 x z y 522=+ 2、2 3、dy x y x dx x y xy 2csc 22csc 22+-4、15、 ⎰⎰-1102223x dy y xdx 6、⎰⎰+2202)sin (cos πθθθρρd d7、dS R Q P )cos cos cos (⎰⎰∑++γβα 8、π4 9、)3,1[- 10、23三、计算题（每题8分，共计40分） 1、计算dxdy y x D)(22⎰⎰+，其中D 为由圆y y x 222=+，y y x 422=+及直线y x 3-0=，03=-x y 所围成的平面闭区域.解 积分区域如图 ，由 03=-x y 得 32πθ=；由y y x 422=+得θsin 4=r由03=-y x 得61πθ=；由y y x 222=+得θsin 2=r因此，dxdy y x D)(22⎰⎰+=⎰⎰⋅36sin 4sin 22ππθθθrdr r d =)32(15-π2、计算⎰+++=dy y x dx xy x I )()2(422,其中L 为由点)0,0(O 到点)1,1(A 的曲线x y 2sinπ=。