小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 三角形等高模型与鸟头模型(一).教师版

【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】（法 1）特殊点法．由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 1 和 1 ，所以阴影部 46
分的面积为 62 (1 1) 15 平方厘米． 46
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A
E
B
D
C
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】3 个，△ AEC、△ BED、△ DEC． 【解析】【答案】3 个，△ AEC、△ BED、△ DEC．
【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
A
D
O
B
C
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 △ ABD 与△ ACD，△ ABC 与△ DBC，△ ABO 与△ DCO．
【答案】△ ABD 与△ ACD，△ ABC 与△ DBC，△ ABO 与△ DCO
【例 8】 如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE 3AB ， BD 2BC ，三角形 BDE 的面积是多少？
4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底 高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
∵ AE EB ，
∴ S△AEH S△BEH ．
同理， S△BFH S△CFH ， SACGH =SA DGH ，
∴
S阴影
1 2
S长方形ABCD
1 2
56
28 (平方厘米)．
【答案】28
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【巩固】图中的 E 、 F 、 G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部
一共有哪几个三角形？
A
FD
E
B
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【解析】 △ AEC、△ AFC、△ ABF． 【答案】△ AEC、△ AFC、△ ABF．
C 【题型】解答
【巩固】如图，在△ ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与△ ABE 等积的三角形一 共有哪几个三角形？
【例 5】 长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是 多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】（法 1）特殊点法．由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如左上图），
1 2 SAHB
、 SFHB
1 2
SCHB
、 SDHG
1 2 SDHC
，而 SABCD
SAHB
SCHB
SCHD
36 ，
即 SEHB
SBHF
SDHG
1 2 (SAHB
SCHB
SCHD )
1 36 2
18 ；
而 SEHB
SBHF
SDHG
S阴影
SEBF
， SEBF
1 BE BF 2
1 (1 22
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形；⑵ 4 个面积相等的三角形；⑶6
个面积相等的三角形． 【考点】三角形的等高模型 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】⑴ 如下图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：
A
A
A
F
G
B DE C B D
那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD
面积的 1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 1 3 ，为 36 3 13.5 ．
84
848
8
（法 2）寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如右上图．
可得： SEHB
AB
S1 S2
ab
CD
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 S△ACD S△BCD ；
反之，如果 S△ACD S△BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【巩固】如下图，长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则
它内部阴影部分的面积是
．
A
B
F
E
D
C
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 20 12 120 ． 2
是三角形 EBC 的高，
于是：三角形 ABC 的面积 BC 12 2 BC 6
三角形 EBC 的面积 BC 3 2 BC 1.5
所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍．
【答案】4
【例 7】 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与△ BEC 等积的三角形
5 1 30 (三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米， D 是 BC 的中点， AD 的长是 AE 长的 3 倍， EF 的长是 BF 长的 3 倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？
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【答案】 4 、3 3
【例 3】 如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的
面积是
平方厘米．
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A
B
E
F
D
C
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即 4 3 2 6 (平方厘米)． 【答案】6
CB D
C
⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
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（ 1（
（ 2（
（ 3（
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
（ 4（
（ 5（
【答案】⑴答案不唯一：
A
A
F B DE C B D
⑵ 答案不唯一：
A G
CB D
C
（ 1（
⑶答案不唯一：
（ 2（
（法 2）连接 PA 、 PC ．
由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
之和等于正方形 ABCD 面积的 1 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面 4
积的
1
，所以阴影部分的面积为
62
1 (
1 )
15
平方厘米．
分的面积是
．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3 个边就都被分成了相等的三段．把 H 和这些分点以及正
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9 个形状各不相同的三角形．这 9 个三角形的底边分别是 在正方形的 3 个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了 3 个三角形，右 边三角形的面积和第1第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第 3 第 4 个三角形相等；左边三角形 的面积和第 5 个第 6 个三角形相等． 因此这 3 个阴影三角形的面积分别是 ABH 、 BCH 和 CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等 于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144 ，阴影部分的面积就是 48 ． 【答案】48
点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形 ABD 的面积 12 高 2 6 高 三角形 ABC 的面积 （12 4） 高 2 8 高 三角形 ADC 的面积 4 高 2 2 高
所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 4 倍； 3
三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍．
【答案】120
【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E 、 F 、 G 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接 BH 、 CH ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】2008 年，四中考题
【解析】连接 CD ．根据题意可知， DEF 的面积为 DAC 面积的 1 ， DAC 的面积为 ABC 面积的 1 ，所
3
2
以 DEF 的面积为 ABC 面积的 1 1 1 ．而 DEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ABC 的面积为 23 6