必修4任意角的三角函数PPT课件
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2019-2020人教A版数学必修4目录课件PPT
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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例 阶段复习课 章末综合测评( 二 )
1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 1.1.2 弧度制
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第1课时 任意角的三角函数的定义 第2课时 三角函数线及其应用 1.2.2 同角三角函数的基本关系
1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式三和公式四 第2课时 公式五和公式六 阶段复习课 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值 1.4.3 正切函数的性质与图象 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.6 三角函数模型的简单应用 阶段复基本概念 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
高中数学 必修四 课件：1-2-0-1 任意角的三角函数的定义
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相 等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在 者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个 角与之对应．
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口 诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限 只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限 只有余弦值为正．
第一章 1.2 第1课时
第一章 1.2 第1课时
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(1)判断下列各式的符号．
①sin3·cos4·tan5；
②α 是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则θ2是第(
A．一
B．三
C．一或三
D．任意象限角
)象限角．
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有( )
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
[答案] A
第一章 1.2 第1课时
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3．公式一(k∈Z) sin(α＋2kπ)＝ sinα ， cos(α＋2kπ)＝ cosα ， tan(α＋2kπ)＝ tanα .
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
[小结]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相 等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在 者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个 角与之对应．
第一章 1.2 第1课时
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第一章 1.2 第1课时
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[小结]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口 诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限 只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限 只有余弦值为正．
第一章 1.2 第1课时
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(1)判断下列各式的符号．
①sin3·cos4·tan5；
②α 是第二象限角，sinα·cosα.
(2)若 cosθ<0 且 sinθ>0，则θ2是第(
A．一
B．三
C．一或三
D．任意象限角
)象限角．
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有( )
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
[答案] A
第一章 1.2 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
3．公式一(k∈Z) sin(α＋2kπ)＝ sinα ， cos(α＋2kπ)＝ cosα ， tan(α＋2kπ)＝ tanα .
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件1.2.1 任意角的三角函数
������ 12 α= =- ,cos ������ 13 ������ α= ������ ������ ������ ������ 5 12 5 12 5
=
5 , 13
sin α+cos α=-
12 5 7 + =- . 13 13 13
问题导学
当堂检测
已知角的终边上一点,求该角的三角函数值,一般是先求出该点到 原点的距离 r,再由三角函数的定义,求出三角函数值.若点的坐标有字 母时,由于字母符号未知,所以点所在象限不确定,因此要根据情况进行 分类讨论,避免漏解.
目标导航
预习导引
2.三角函数值在各象限的符号
正弦函数值的符号与 y 的符号相同,余弦函数值的符号与 x 的符号 相同. 此符号规律可用口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆 (只记函数值为正的情况,“一、二、三、四”指象限).
目标导航
预习导引
预习交流 2
各象限角的三角函数值的符号由什么来确定? 提示:由三角函数的定义可知,三角函数值在各象限的符号由角 α 终边上任意一点 P 的坐标 x,y 的正负来确定.
问题导学
当堂检测
二、三角函数值的符号的应用
活动与探究 判断下列各式的符号: (1)tan 120° · sin 269° ;(2)cos 4· tan 23π 4
.
思路分析:利用角的终边所在的象限,确定三角函数值的符号.
问题导学
当堂检测
解:(1)∵ 120° 是第二象限角,∴ tan 120° <0; ∵ 269° 是第三象限角,∴ sin 269° <0, ∴ tan 120° ·sin 269° >0. (2)∵ π<4< ,∴ 4 弧度角是第三象限角, ∴ cos 4<0;∵ ∴ 23π π =-6π+ , 4 4 3π 2目标导航Fra bibliotek预习导引
=
5 , 13
sin α+cos α=-
12 5 7 + =- . 13 13 13
问题导学
当堂检测
已知角的终边上一点,求该角的三角函数值,一般是先求出该点到 原点的距离 r,再由三角函数的定义,求出三角函数值.若点的坐标有字 母时,由于字母符号未知,所以点所在象限不确定,因此要根据情况进行 分类讨论,避免漏解.
目标导航
预习导引
2.三角函数值在各象限的符号
正弦函数值的符号与 y 的符号相同,余弦函数值的符号与 x 的符号 相同. 此符号规律可用口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆 (只记函数值为正的情况,“一、二、三、四”指象限).
目标导航
预习导引
预习交流 2
各象限角的三角函数值的符号由什么来确定? 提示:由三角函数的定义可知,三角函数值在各象限的符号由角 α 终边上任意一点 P 的坐标 x,y 的正负来确定.
问题导学
当堂检测
二、三角函数值的符号的应用
活动与探究 判断下列各式的符号: (1)tan 120° · sin 269° ;(2)cos 4· tan 23π 4
.
思路分析:利用角的终边所在的象限,确定三角函数值的符号.
问题导学
当堂检测
解:(1)∵ 120° 是第二象限角,∴ tan 120° <0; ∵ 269° 是第三象限角,∴ sin 269° <0, ∴ tan 120° ·sin 269° >0. (2)∵ π<4< ,∴ 4 弧度角是第三象限角, ∴ cos 4<0;∵ ∴ 23π π =-6π+ , 4 4 3π 2目标导航Fra bibliotek预习导引
高中数学人教版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(共27张PPT)
2
2
cos x
1
1
2
3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=
2 2
;(2) sin 10
=
3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征， 会初步运用诱导公式求三角函数的值， 并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。
人教A版高中数学必修四课件1.2.1任意角的三角函数.ppt
cos
2
3 2
6， 4
tan
3
15 3
.
(3) 当 y 5 时，P（ 3 ， 5），r 2 2 ，
cos 6 ，tan 15 .
4
3
综上所述：
(1) 当 y 0 时，cP（os 3，1， 0）ta，nr 03.
(2) 当 y 5 时 ，coP（s 3 ，6 ，5 ）tan，r2 125，.
sin 5 3 ,
3
2
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 的终边与单位圆的交点坐标为 P(1, 0).
sin 0, cos 1, tan 0.
y
(1)正弦:sinα=y ;
P(x,y)
α
(2)余弦:cosα=x ;
0
A(1,0) x (3)正切:tanα= (yx≠0).
x
三角函数 sinα cosα tanα
定义域
正弦、余弦、正切都是以角(弧度)为自变量，以单位圆 上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们 统称为三角函数。
三角函数的定义域、值域
|
OP0
|5
P0(-3,-4)
x cos 3
三角函数的坐标定义 ：(见教材13页)
一般地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)的距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值.
新人教版必修4第1章第1节任意角的三角函数(第二课时)
sin y cos x y tan x 0
x
问题 2:角的概念推广以后，我们应该如何推广到 任意角呢？ 新知：任意角三角函数的定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么：
（1）y叫做的正弦，记作sinα
（2）x叫做的余弦，记作cosα y （3） 叫做的正切，记作tanα x
思考：对于确定的角α ，上述三个比值是否随 点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？为 什么？
二、新课导学 探究任务一：任意角的三角函数的定义.
问题1 能否通过取适当点而将表达式简化?
新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度 为半径的圆叫做单位圆.
y r
O
P (x,y)
M 1x
变式练习
(其中r x y )
2 2
已知角的终边过点 P(12,5), 求角的三角函数值。
如果角的终边落在坐标轴呢？请完成下表。
角Байду номын сангаас 角的弧度数
sin cos tan
0。
90。
π 2
180。 270。
3π 2
360。
2
0 0 1 0
1
0
1
0
不存在
1 0
不存在
0
1 0
0
三、总结提升
§1.2.1任意角的三角函数（第一课时）
y
o
x
一、复习引入 锐角的三角函数如何定义？ A
P (x,y)
y r
O
y 对边 MP sin r 斜边 OP
M
B
x
邻边 OM x cos 斜边 OP r 对边 MP y x 0 tan 邻边 OM x
1.2.1 任意角的三角函数2ppt
P(x,y)
y
rห้องสมุดไป่ตู้
P 1
O
x
复习巩固
2.三个三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin
cos
tan
{ | k , k Z } 2
R R
复习巩固
3.三角函数值的符号问题
y
正弦为正 正切为正
三角函数全为正
x
o
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
新知探究 终边相同的角的三角函数
9 ; （5）cos 4
11 tan( ;（6） ) 6
.
3.写出角的终边在图中阴影区域内 的角的集合(不包括边界).
作业：
P20-21：4，7，
9：（1）（2）
《学海导航》第三课时
3.在求任意角的三角函数值时，上述公 式有何功能作用？
例1. 求证：当且仅当不等式组
sin 0 成立时，角θ 为第三象限角. tan 0
例2.确定下列三角函数值的符号. （1）cos 250 ;（2）sin( ) ;（3）tan(672 ) ;
4
（4） tan3
1.终边相同的角的同名三角函数值相等.
k Z
sin( 2k ) sin
公式一：
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
k Z
2p
新知探究
1.若sinα =sinβ ，则角α 与β 一定相 同吗？
2p
2.函数的对应形式有一对一和多对一两 种，三角函数是哪一种对应形式？
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 1.2.1 任意角的三角函数 2（新人教A版）
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汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
20
三角函数的几何表示课件
2020年10月2日
8
当角的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ，MP都看
成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正
弦、余弦、正切函数的定义有：
sinyyyMP
r1
cosxxxOM
r1
tanyM PAT AT
x OMOA
2020年10月2日
9
这几条与单位圆有关的有向线段 M、 PO、 M AT
2020年10月2日
19
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
任意角的三角函数
2020年10月2日
1
角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐
角一样定义其四种三角函数呢？
我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为
自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正 切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意
角时，其三角函数的定义及其几何表示．
15
课堂练习
（1）角的终边在直线 y 2x上，求的六个三角函数值． （2）角的终边经过点 P 4 a ， 3 aa0 ，求 sin ，
cos，tan ，cot 的值．
（3）说明 si2 n k sin 的理由kΖ ．
2020年10月2日
16
反馈训练
（1）若角终边上有一点P3， 0，则下列函数值不存在
x
意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟
一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么
得到另外三个定义．
2020年10月2日
5
④比值 x 叫做的余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做的正割，记作sec，则 sec r ．
xx⑥比值 r源自叫做的余割，记作csc，则csc r ．
的是（ ）．
A．sin B．cos C．tan D．cot
（2）函数 ytaxncoxt的定义域是（ ）．
A．xxR， x2， x B． xxR， xk2， kZ
C．xx R ， x k ， k Z D． xxR ， xk2， kZ
2020年10月2日
17
（3）若 sin m3 ，cos 42m 都有意义，则
叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x轴上时，正弦线、正切线分别
变成一个点；
当角 的终边在 y轴上时，弦线变成一个点，正
切线不存在．
2020年10月2日
10
例1
已知角的终边经过P2， 3，求的六个三角函数值．
2020年10月2日
11
提问：
若将P2， 3改为P2a， 3aa0 ，如何 求的六个三角函数值呢？
2020年10月2日
2
任意角的三角函数定义
设是任意角，的终边上任意一点P的坐标是x，y ， 当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距
离为 r，则 r x2y2 x2y20 ．
2020年10月2日
3
任意角的三角函数所在象限的课件
定义：
①比值 y 叫做的正弦，记作sin ，即 sin y ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看
成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种
函数统20称20年三10月角2日函数．
6
三角函数是以实数为自变量的函数
2020年10月2日
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
7
三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线， 正切线．
m5
m5
m______．__
（4）若角 的终边过点 Pa， 8，且 cos 3 ， 5 则 a______．__
2020年10月2日
18
本课小结
利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐 标系，角α顶点和始边要按既定的位置设 置．角的三角函数定义式，其实是比例的化 身，它的背后是相似形在支称着，不过这个 定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如 果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是 很容易．
分 a0 ，a0 两种情形讨论．
2020年10月2日
12
例2
求下列各角的六个三角函数值
（1）
3
；（2）
；（3）2 ．
2
2020年10月2日
13
例3
作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
2020年10月2日
14
例4
求证：当为锐角时，sintan．
2020年10月2日
r
r
②比值 x 叫做的余弦，记作cos，即cos x ．
r
r
③比值 y 叫做的正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
2020年10月2日
4
提问：
对于确定的角，这三个比值的大小和 P点在角的
终边上的位置是否有关呢？
观察当 kkΖ 时，的终边在 y轴上，此
2
时终边上任一点P的横坐标 x都等于0，所以 tan y 无
20
三角函数的几何表示课件
2020年10月2日
8
当角的终边不在坐标轴上时，我们把 OM ，MP都看
成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正
弦、余弦、正切函数的定义有：
sinyyyMP
r1
cosxxxOM
r1
tanyM PAT AT
x OMOA
2020年10月2日
9
这几条与单位圆有关的有向线段 M、 PO、 M AT
2020年10月2日
19
演讲完毕，谢谢观看！
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任意角的三角函数
2020年10月2日
1
角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐
角一样定义其四种三角函数呢？
我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为
自变量，以比值为函数值，定义了角 的正弦、余弦、正 切、余切的三角函数，本节课我们研究当角 是一个任意
角时，其三角函数的定义及其几何表示．
15
课堂练习
（1）角的终边在直线 y 2x上，求的六个三角函数值． （2）角的终边经过点 P 4 a ， 3 aa0 ，求 sin ，
cos，tan ，cot 的值．
（3）说明 si2 n k sin 的理由kΖ ．
2020年10月2日
16
反馈训练
（1）若角终边上有一点P3， 0，则下列函数值不存在
x
意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟
一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么
得到另外三个定义．
2020年10月2日
5
④比值 x 叫做的余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做的正割，记作sec，则 sec r ．
xx⑥比值 r源自叫做的余割，记作csc，则csc r ．
的是（ ）．
A．sin B．cos C．tan D．cot
（2）函数 ytaxncoxt的定义域是（ ）．
A．xxR， x2， x B． xxR， xk2， kZ
C．xx R ， x k ， k Z D． xxR ， xk2， kZ
2020年10月2日
17
（3）若 sin m3 ，cos 42m 都有意义，则
叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x轴上时，正弦线、正切线分别
变成一个点；
当角 的终边在 y轴上时，弦线变成一个点，正
切线不存在．
2020年10月2日
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例1
已知角的终边经过P2， 3，求的六个三角函数值．
2020年10月2日
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提问：
若将P2， 3改为P2a， 3aa0 ，如何 求的六个三角函数值呢？
2020年10月2日
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任意角的三角函数定义
设是任意角，的终边上任意一点P的坐标是x，y ， 当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距
离为 r，则 r x2y2 x2y20 ．
2020年10月2日
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任意角的三角函数所在象限的课件
定义：
①比值 y 叫做的正弦，记作sin ，即 sin y ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看
成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种
函数统20称20年三10月角2日函数．
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三角函数是以实数为自变量的函数
2020年10月2日
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
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三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线， 正切线．
m5
m5
m______．__
（4）若角 的终边过点 Pa， 8，且 cos 3 ， 5 则 a______．__
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本课小结
利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐 标系，角α顶点和始边要按既定的位置设 置．角的三角函数定义式，其实是比例的化 身，它的背后是相似形在支称着，不过这个 定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如 果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是 很容易．
分 a0 ，a0 两种情形讨论．
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例2
求下列各角的六个三角函数值
（1）
3
；（2）
；（3）2 ．
2
2020年10月2日
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例3
作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
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例4
求证：当为锐角时，sintan．
2020年10月2日
r
r
②比值 x 叫做的余弦，记作cos，即cos x ．
r
r
③比值 y 叫做的正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
2020年10月2日
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提问：
对于确定的角，这三个比值的大小和 P点在角的
终边上的位置是否有关呢？
观察当 kkΖ 时，的终边在 y轴上，此
2
时终边上任一点P的横坐标 x都等于0，所以 tan y 无