任意角的三角函数ppt
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任意角的三角函数-课件1PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
m5
m5
m ________．
（4）若角 旳终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
（5）角 旳终边在直线 y 2x上，求 旳六个三
角函数值．
正弦上为正， 余弦右为正， 正切余切一三正， 其他为负不为正
例２:
1、判断下列各三角函数旳符号 A.260 B. 4 C. 672 10 D.11 3
2、若sin 0且 tan 0，那么是第几象限角？
3、已知是第三象限角，试判定： sin( cos ) cos(sin )的符号
练习:
（1）若角 终边上有一点P 3，0，则下列函数值不
§1.2.1 任意角旳三角函数
设 是任意角， 旳终边上任意一点 P旳坐标是x，y，
当角 在第一、二、三、四象限时旳情形，它与原点
旳距离为 r ，则 r x 2 y 2 x2 y2 0 ．
任意角旳三角函数
1、定义：
①比值 y 叫做 旳正弦，记作sin ，即 sin y ．
r
r
x
②比值
叫做
旳余弦，记作cos ，即cos
Байду номын сангаас
x
．
r
r
③比值 y 叫做 旳正切，记作tan，即 tan y ．
x
x
④比值 x 叫做 旳余切，记作cot ，则 cot x ．
y
y
⑤比值 r 叫做 旳正割，记作sec ，则 sec r ．
x
x
⑥比值 r 叫做 旳余割，记作csc ，则csc r ．
y
y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都 看成是以角为自变量，以比值为函数值旳函数，以上 六种函数统称三角函数．
任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
于第一或第三象限。 因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
任意角的三角函数 课件
10m 10
当m<0时,|OP|=10 m ＝－ 10m， 则sinα= m ＝－ 10 .
－ 10m 10
【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常 用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用 三角函数的定义求出相应的三角函数值.
任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,α是任意一个角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),如图所示:
则有sinα=_y_;cosα=_x_;tanα=__xy__.
2.三角函数值的符号 如图所示:
正弦_一__、__二__正,_三__、__四__负;余弦_一__、__四__正, _二__、__三__负;正切_一__、__三__正,_二__、__四__负.
【解析】1.tanα>0,则α为第一或第三象限 角,sinα<0,则α为第三或第四象限角或终边落在y轴 的负半轴上,所以α为第三象限角. 答案:三
2.(1)因为125°角是第二象限角,所以tan125°<0; 因为273°是第四象限角,所以sin273°<0, 所以tan125°·sin273°>0,式子符号为正.
所以sinα= 4.
5
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行 分类讨论.实际上本题中要分x=0和x≠0两种情况讨论.
【自我纠正】点P(x,4)到原点的距离 r x2 16， (1)当x=0时,cosα=0,r=4. 由三角函数的定义,有 sin＝4 1.
(2)因为 5是第三象限角, 是4第二象限角, 是11
4
5
6
第四象限角,所以sin 5< 0,cos 4<0,tan <110,
当m<0时,|OP|=10 m ＝－ 10m， 则sinα= m ＝－ 10 .
－ 10m 10
【方法技巧】利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常 用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用 三角函数的定义求出相应的三角函数值.
任意角的三角函数
1.任意角的三角函数的定义 在单位圆中,α是任意一个角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y),如图所示:
则有sinα=_y_;cosα=_x_;tanα=__xy__.
2.三角函数值的符号 如图所示:
正弦_一__、__二__正,_三__、__四__负;余弦_一__、__四__正, _二__、__三__负;正切_一__、__三__正,_二__、__四__负.
【解析】1.tanα>0,则α为第一或第三象限 角,sinα<0,则α为第三或第四象限角或终边落在y轴 的负半轴上,所以α为第三象限角. 答案:三
2.(1)因为125°角是第二象限角,所以tan125°<0; 因为273°是第四象限角,所以sin273°<0, 所以tan125°·sin273°>0,式子符号为正.
所以sinα= 4.
5
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行 分类讨论.实际上本题中要分x=0和x≠0两种情况讨论.
【自我纠正】点P(x,4)到原点的距离 r x2 16， (1)当x=0时,cosα=0,r=4. 由三角函数的定义,有 sin＝4 1.
(2)因为 5是第三象限角, 是4第二象限角, 是11
4
5
6
第四象限角,所以sin 5< 0,cos 4<0,tan <110,
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
1.2.1任意角的三角函数课件人教新课标
C. sinα = 3 13 13
D. tanα = 3 2
4.若角α的终边在直线y = 2x上，则sinα等于( C )
A.
1
B. 5
5
5
C.
2
5
D.
1
5
2
5.α的终边经过P(-b,4)，且cosα = - 3，则 5
b的值为__3___。
6.已知角α的终边在y = x上，则 sinα + cosα = ±__2_____。
tanα
0
90° π/2
1 0 不存在
180° π 0 -1 0
270° 3π/2
-1 0 不存在
360° 2π 0 1 0
例2：已知α的终边经过点P0 （－4，－3），求 α角的正弦,余弦,正切的值。
y
M0
M o
P
P0(-4,-3)
分析：由
△OMP∽△OM0P0，
x
可求出相应的三角函数 值。
解： sina = y = y = - MP = - MP0 = - 3
x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
o
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值；
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值. x
y
y
y
o
xo
xo
x
sin
cos
tan
规律：
“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.
例4：确定下列三角函数值的符号。
1
cos
260°
r OP
OP0 5
cosα = x = x = - OM = - OM0 = - 4
任意角的三角函数PPT优秀课件
2.确定下列三角函 符数 号值 ：的
(1)sin256;
(2)cos(406);
23
(3)tan .
3
3.角 的终边 P (上 m ,5)且 ,有 co 一 sm (点 m 0),
13
求 sin co 值 s.
小结： 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域； 3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．
1．2．1任意角的三角函数（1）
问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦, 余弦,正切)的定义吗?
在RtPO中 M
如何 将POM 放到平面直角 坐标系中？
sin PM
P
OP
co sOM OP
tanPM OM
O
M
锐角三角函数
问题2：将POM 放到平面直角坐， 标系中
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(1)cos 7 ; (2)sin4(6)5; (3)tan11 .
12
3
解： (1) 7 是第二象限角 co， s7所 0.以
12
12
(2) 因为 4652360225,即465是第三象限角，所 sin(465)0.
(3) 因为 1125,即11 是第四象 ,所限 以角
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
任意角的三角函数ppt
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
c os OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
o
﹒
Mx
如果改变点Ｐ在终边上的位置， 这三个比值会改变吗？
M
﹒
P
O
x
P(a,b)
M
∽ OMP
y 探究
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OPr1，则
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
r
tan yx0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与P点 在
角的终边上的位置无关.
练习 1、已知角 的终边过P12,5
点
，
求
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
rx2y212 25213
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
x 12
c os x 12
r 13
2 、 已 知 角 的 终 边 上 一 点 P 1 5 a , 8 a a R 且 a 0 ，
的正弦、余弦和正切值 .
，求角
解:由已知可得 O0P (3)2(4)25
设角
的终边与单位圆交于 P(x, y)
y
，
分别过点
、P P0作 x 轴的垂线MPM 0 P、0
M0 M O
x
M0P0 4
OMx
Px, y
OM0 3
MPy
OMP∽ OM0P0
P03,4
于是， s in yy|M| P M 0P 04;
（2） 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 y轴上时，点P 的
横坐标等于0， tan y 无意义，此时 k(kz).
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任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
练习 1、已知角 求
的终边过点
P 12,5 ，
的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
3、已知角的终边在直线y 2x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
解： 1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2 ，则r= 12 22 5 2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
① ②
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的横坐标，正切就是交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0，tan
y 无意义，此时 k (k z ). x 2
的终边在 y 轴上时，点P 的
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
cos tan
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
M 0 P0 4
OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
OM x MP y
O
P x, y
x
P0 3,4
4 0 于是， sin y y | MP | M 0 P ; 1 OP OP 5 0 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
2当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2 ，则r
1 2 5
2 2
2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 定义域 （弧度制） 三角函数 R sin
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
x
x
y
﹒ Px, y
O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
19 tan 3
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos
3
sin
6
tan
Hale Waihona Puke 31 1 3 1 3 2 2
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点， 点 P 与原点的距离 r
x2 y2 0
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x
sin cos 250（2）tan( 672)（3） （ 1） 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4 17 16
cos
5
sin(
3
)
tan(
8
)
例5 求下列三角函数值：
9 （1） cos 4
11 ) （2） tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解：（1） 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
攸县一中
汤庆平
1.2任意角的三角函数
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP b sin OM a OP r MP b OM a cos 2 2 OP r a b OP r
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan48， 而 48 是第一象限角，所以 tan(672) 0 ； sin （3）因为 是第四象限角，所以 4 0 . 4
y
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
﹒
M
O
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.
证明： 因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
sin 0 tan 0
1 若a 0则r 17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OP r 1 ，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(a, b)
1
MP sin OP
x
b
o
M
OM cos OP
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
导学案 习题1.2 A组 1、2、6、
x 12 cos r 13
2、已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0，
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a 17 a a 0
2 2
任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
单位圆中定义锐角三角函数
b sin b, cos a, tan a
y sin y, cos x , tan x
单位圆中定义任意角的三角函数
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例1 的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
，
5 3 所以 sin 3 2 y
5 3
o