二阶奇异Sturm-Liouville边值问题m(λ)函数比较
sturm-liouville问题特征值间的不等式
sturm-liouville问题特征值间的不等式Sturm-Liouville问题是一个常见的线性偏微分方程边值问题。
它的特征值间的不等式是指这些特征值之间存在一些关系或限制。
在本文中，我们将探讨Sturm-Liouville问题特征值间的不等式。
首先，我们回顾一下Sturm-Liouville问题的一般形式：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda \rho(x)y = 0$$其中，$p(x)$、$q(x)$和$\rho(x)$是已知函数，$\lambda$是待确定的常数，我们将其称为特征值。
对于一个给定的Sturm-Liouville问题，我们可以求解其特征值和特征函数。
特征函数满足边界条件和正交归一条件。
考虑两个相邻的特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$，我们将利用正交归一条件来推导它们之间的不等式。
假设$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$分别是特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$对应的特征函数。
由正交归一性可得：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = 0$$其中，$a$和$b$是所考虑的区间的端点。
我们可以将这个积分写成另一种形式：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = \int_a^b\rho(x)y_n(x)[c_ny_{n+1}(x) + c_{n+1}y_n(x)]dx$$其中，$c_n$和$c_{n+1}$是未知常数。
再次应用正交归一性条件：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_n\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$$$\int_a^b \rho(x)y_{n+1}^2(x)dx = c_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$将这两个方程代入上一式，我们得到：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_nc_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$由于特征函数$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$不同时为零，我们可以得到：$$c_nc_{n+1} = \frac{1}{\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx}$$现在我们引入一个新的函数：$$z_n(x) = y_n(x) - \frac{c_{n+1}}{c_n}y_{n+1}(x)$$通过代入上面的表达式并稍作变换，我们可以得到：$$\int_a^b \rho(x)z_n^2(x)dx = \left(1 -\frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$$由于$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$是一个正数，我们知道系数$\left(1 - \frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)$也是一个正数。
一类二阶奇异半正Sturm-Liouville边值问题的正解
１ ０・
王艳兵 ： 一类二 阶奇异半正 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ Ｕ ｅ边值 问题 的正解
定理 １ 若 （ Ａ ， ） 一 （ Ａ ３ ） 满足 ， 那 么 奇 异 半 正 边值 问题 （ １ ） 至 少有 一个 Ｃ（ ， ） 正解 存在 ． 定理 ２ 在 定 理 １的条 件下 ， 再 假设 （ Ａ ） 满 足， 则定 理 １中的解 为 ｃ （ ， ） 正解 ． 为证 明主要 结果 成立 ， 我们 引入 下 面引理 ：
第３ ５卷
第 ６期
曲 靖 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｑ Ｕ Ｊ Ｉ Ｎ Ｇ Ｎ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｌ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ０ Ｌ ３ ５ Ｎｏ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ６
２ ０ １ ６年 １ １月
一
类 二 阶奇 异 半 正 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ—Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 边 值 问题 的 正 解
王 艳 兵
（ 山西师范大 学临汾学 院 数计 系， 山西 临汾 ０ ４ １ ０ ０ ０ ）
摘
要： 通过构造格林 函数及锥 ， 利用 范数 形式的锥 拉伸 不动点定理 ， 研 究具 有 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ —Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ边
界条件 的一类二阶奇异 半正微分 方程的正解 问题 ， 得 到 了其 正解存在 的判定 方法． 关键词 ： Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ边值 问题 ； 正解 ； 锥； 不 动点定理 中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． ８ 文献标识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ９— ８ ８ ７ ９ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６— ０ ０ １ ０— ４ ０
《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文
《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类重要的数学物理问题，它在微分方程、积分方程、谱理论等领域有着广泛的应用。
该问题涉及到在特定边界条件下求解线性微分方程的谱问题，包括特征值和特征函数的计算。
本文旨在分析Sturm-Liouville问题的谱性质，并探讨其数值计算方法。
二、Sturm-Liouville问题的谱分析Sturm-Liouville问题通常描述为在特定边界条件下求解二阶线性微分方程的特征值和特征函数。
对于形如L[y] = λN[y]的微分方程，其中L和N是线性微分算子，λ是特征值，y是特征函数。
谱分析主要关注该问题的可解性、特征值的性质以及特征函数的正交性等。
（一）可解性分析通过适当的选择边界条件，Sturm-Liouville问题通常可以转化为自伴算子的问题，此时谱分析是可行的。
在这种情况下，存在可数的离散特征值以及与之相关的正交归一化特征函数族。
（二）特征值性质特征值λ具有离散性、实数性和可数性等性质。
此外，特征值之间的大小关系可以通过比较相应的特征函数在边界条件下的行为来推断。
（三）特征函数的正交性在满足一定条件下，Sturm-Liouville问题的特征函数族构成一个正交函数系。
这种正交性在许多物理问题中具有重要意义，如量子力学中的波函数等。
三、数值计算方法对于Sturm-Liouville问题的数值计算，常用的方法包括有限差分法、有限元法、谱方法和打靶法等。
这些方法通过将微分方程转化为代数方程组来求解特征值和特征函数。
（一）有限差分法有限差分法通过将微分方程的导数用差商近似，将微分方程转化为代数方程组进行求解。
该方法简单易行，但精度受网格划分的影响较大。
（二）有限元法有限元法通过将求解区域划分为有限个单元，在每个单元上构造插值函数来逼近真实解。
该方法具有较高的精度和灵活性，适用于复杂边界条件的问题。
（三）谱方法谱方法利用正交函数系来逼近真实解，具有高精度和快速收敛的特点。
《2024年具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》范文
《具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》篇一一、引言Sturm-Liouville问题，是微分方程领域中的一个重要问题，它在量子力学、振动理论、谱分析等众多领域有着广泛的应用。
该问题主要研究的是具有特定边界条件的二阶线性微分方程的解及其性质。
其中，当该问题具有周期系数时，其解的性质及特征值的不等式关系尤为重要。
本文将详细探讨具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式。
二、左定Sturm-Liouville问题及周期系数左定Sturm-Liouville问题是指二阶线性微分方程在左端点处具有确定性的边界条件的问题。
当该问题的系数具有周期性时，我们称之为具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题。
这种问题的解在物理上对应着周期性或准周期性的现象，如波动方程的解等。
三、特征值与特征函数对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值和特征函数具有特殊的性质。
特征值是微分方程的解的频率，而特征函数则是与这些解相对应的函数。
在具有周期系数的情况下，特征值和特征函数都表现出周期性或准周期性的特点。
四、特征值不等式对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值之间存在着一定的不等式关系。
这种关系主要由问题的边界条件和微分方程的性质决定。
在左定的情况下，由于微分方程在左端点处具有确定性的边界条件，因此特征值之间会形成一种特定的不等式关系。
这种关系可以通过分析微分方程的解及其性质来得到。
五、特征值不等式的应用特征值不等式在物理、工程、数学等领域有着广泛的应用。
在物理中，它可以用来描述周期性或准周期性现象的频率关系；在工程中，它可以用来分析结构的振动特性；在数学中，它可以用来研究函数的性质和分类等。
对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值不等式可以用来分析该类问题的解的性质及其在各种应用中的表现。
Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数
Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数王帅;杨恩孝【摘要】This paper uses the research methods of a second order tensor and the differential operator eigenval -ue and eigenvector (functions) to study Sturm-Liouville boundary value problem .We can find that differential op-erator of Sturm-Liouville system eigenvalue problem is self-adjoint and its unit-orthogonal characteristic function sys-tem ( base ) constitutes a complete orthogonal system ( base ) .%本文采用二阶张量和常微分算子的特征值与特征向量（函数）的研究方法，研究了Sturm－Liouville边值问题。
通过这些研究得到， Sturm－Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的，并且其单位正交特征函数系（基）构成完备正交系（基）。
【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】3页(P25-27)【关键词】Sturm-Liouville方程;特征值问题;完备正交系【作者】王帅;杨恩孝【作者单位】长春光华学院基础教研部，吉林长春130033;长春光华学院基础教研部，吉林长春130033【正文语种】中文【中图分类】O175方程称为Sturm-Liouville方程.其中p(x),ρ(x),q(x)在a≤x≤b上均是x的实函数,且p(x)>0,ρ(x)>0,q(x)≥0,而p′(x),ρ(x),q(x)在a<x<b上连续.对Sturm-Liouville方程提出的齐边界条件主要有：或Sturm-Liouville方程与齐边界条件①-③相结合,求其非零解,这就是Sturm-Liouville系统的特征值问题. Sturm-Liouville方程是用分离变量法解数学物理方程得到的一类方程.它的主要特点:1)方程中有参数λ;2) U(x)的一阶导数与二阶导数可以合起来,表达为形式.对Sturm-Liouville方程的边值问题讨论的主要问题是:参数λ取何值时,方程才有非零解.历史上已有过许多有价值的方程都归类于Sturm-Liouville系统.(1) Euler压杆稳定问题与Fourier一维热传导问题所得到的方程(2) Legengre方程(3) Bessel方程(4) Hermite方程对这些方程结合某些齐边界条件的本征值问题的讨论,得到许多非常有用的正交完备的基函数系.这些基函数系在数学物理方程研究中起到重要作用.我们就边值问题为例,讨论Sturm-Liouville系统的特征值问题.(2)与(1)中的λ相差一负号,我们约定 Sturm-Liouville系统的特征值是指各个Sturm-Liouville方程变成 (2)形式中的λ.(2)式中称为Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子.定义1 若U(x)≠0,U(x)满足边值问题(2),则称U(x)是Sturm-Liouville系统的特征函数,与U(x)对应的λ称为特征值.定义2 若(v,Lu)=(u,Lv),则称Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子L是自伴的，并且(u,Lv)≡x.定理1 Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的.证明显然(v,Lu)=(u,Lv)⟺ .计算x.由齐边界条件① u(a)=u(b)=0,v(a)=v(b)=0,有；② u′(a)=u′(b)=0,v′(a)=v′(b)=0,有Δ=0;③ u(a)=u′(b),v(a)=v′(b)=0,有Δ=0.无论①,②,③的哪一种齐边界条件,都有(v,Lu)=(u,Lv).定理2 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征值有无穷多,均是实数,且是分离的,又λn≤0,(n=1,2,…).定义3 任意两个Riemann可积函数u(x),v(x)(a≤x≤b)称为函数u(x),v(x)的内积.积分称为函数u(x)的模(或范数,长度), 若则称两函数正交.定理3 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征函数是正交的,即：若特征值λn≠λm(n≠m),对应的特征函数为un(x),um(x),则有证明因为Lun=λnρun, Lum=λmρum， (un,Lum)=(um,Lun)(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),于是有因为λn≠λm,(n≠m),必有 .Gram—Schmidt正交化方法.对重特征值,例如λ1=λ2=λ3对应的3个线性无关特征函数u1,u2,u3未必正交,但可由u1,u2,u3构造出与λ1=λ2=λ3对应的正交的3个特征函数v1,v2,v3.取v1=u1，设v2=u2+ku1=u2+kv1,使得,则可算出k,则得到v2,且v1,v2正交.再设v3=u3+k1v1+k2v2,使得 .由此二式又可算出k1,k2,则得到v3,且v3与v1,v2正交.对更高重特征值,如上作法也可构造出与重特征值对应的一组正交的特征函数.这种方法称为Gram—Schmidt正交化方法.如上所述, Sturm-Liouville系统特征值问题(2)有一正交的特征函数系(基){Ui(x)}(n=1,2,…).将其单位化,,则有单位正交特征函数系(基): {Ui(x)}(n=1,2,…).定理4 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的单位正交特征函数系(基):{Ui(x)}(n=1,2,…)在[a,b]上构成完备正交系(基).所谓“完备系”,即是在[a,b]上不存在不恒为零的连续函数f(x),使得.或者说[a,b]上的具有一阶连续导数或具有二阶分段连续导数的任意函数f(x),只要满足Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的边界条件,则可以依单位正交特征函数系{Ui(x)}(n=1,2,…)展成绝对、一致收敛的广义Fourier级数其中(n=1,2,…) .【相关文献】[1] Garvey S D, Prells U,Friswell M I, Zheng Chen.General isospectral flows for linear dynamic systems[J].Linear Algebra and its Applications, 2004，45(3):365-368.[2] Chu M T, Fasma Diele, Ivonne Sgura. Gradient flow methods for matrix completion with prescribed eigenvalues[J]. Linear Algebra and its Applications, 2004，58(2)：35-112.[3] Friswell M I, Prells U, Garvey S D.Low-rank damping modifications and defective systems[J]. Journal of Sound and Vibration,2005，42(5):757-774.[4] Houlston P R, Garvey S D, Popov A A.Modal control of vibration in rotating machines and other generally damped systems[J].Journal of Sound and Vibration, 2007，45(7):104-116.[5] Houlston P R， Garvey S D， Popov A A. Optimal Controller Designs for Rotating Machines - Penalising the Rate of Change of Control Forcing[C].7th IFToMM-Conference on Rotor Dynamics, Vienna, Austria, 2006，32(8)：75-78.[6] Khattak A R, Garvey S D,Popov A A. Repeated resonances in folded-back beam structures[J]. Journal of Sound and Vibration,2006,30(9):309-320.。
sturm-liouville问题的m-函数与谱
sturm-liouville问题的m-函数与谱Sturm-Liouville问题是一个重要的微分方程问题，它出现在物理学、工程学和数学领域中。
它的求解方法涉及到m-函数和谱的概念。
Sturm-Liouville问题的一般形式为：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda w(x) y = 0$$在上述方程中，p(x)，q(x)，w(x)是已知函数，y(x)是未知函数，而λ是待求的常数。
该方程是一个边值问题，通常在一个区间[a, b]上求解。
边界条件可以是Dirichlet边界条件、Neumann边界条件或混合边界条件。
为了解决Sturm-Liouville问题，我们首先需要引入m-函数和谱的概念。
m-函数是解决Sturm-Liouville问题的关键步骤之一、m-函数定义为：$$m(x, t) = \begin{cases} 0, & x \leq t \\\frac{1}{w(t)}\left[\frac{y_1(t)y(x)}{y(x_1)y_1(x)} -\frac{y_2(t)y(x)}{y(x_2)y_2(x)}\right], & t < x < x_2 \\ 1, & x\geq x_2 \end{cases}$$在上述定义中，y1(x)和y2(x)是Sturm-Liouville问题的两个线性独立解，满足相同的边界条件。
x1和x2分别是区间[a, b]上的两个点，使得y1(x1)=0且y2(x2)=0。
m(x, t)既是一个关于x和t的函数，也是关于t的隐函数。
它在x=t时为0，在x=x1和x=x2时分别为1通过求解m(x, t)的零点，我们可以得到Sturm-Liouville问题的特征值。
事实上，当m(x, t)为0时，意味着存在一个特征值λ。
这些特征值将是Sturm-Liouville问题的解的集合。
《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》范文
《几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究》篇一一、引言在微分方程理论中，Sturm-Liouville问题作为基础而又重要的问题类型，历来都是学术研究的热点。
随着研究的深入和数学理论的扩展，分数阶微分方程开始进入人们的视野，与传统的整数阶微分方程一起，构成了现代微分方程理论的重要部分。
本篇论文旨在探讨几类分数阶Sturm-Liouville问题，并对其进行深入研究。
二、分数阶Sturm-Liouville问题的基本理论分数阶Sturm-Liouville问题是指对带有分数阶导数的微分方程进行研究的问题。
它的一般形式为：L_D(u) = λu(x) ，其中L_D 是一个关于u(x)的分数阶微分算子，λ是特征值，u(x)是特征函数。
这类问题具有广泛的物理背景和实际应用价值，例如在量子力学、振动理论、信号处理等领域都有重要的应用。
三、几类分数阶Sturm-Liouville问题的研究1. 线性分数阶Sturm-Liouville问题：主要针对具有线性算子的分数阶Sturm-Liouville问题进行研究，如基于常系数的微分方程问题。
此类问题常通过特定的变换，如Laplace变换、Fourier 变换等，将其转化为更容易求解的形式。
2. 非线性分数阶Sturm-Liouville问题：与线性问题相比，非线性问题更为复杂。
我们主要研究具有非线性算子的分数阶Sturm-Liouville问题，这类问题往往涉及到复杂的微分方程求解和数值分析方法。
3. 边界条件变化的分数阶Sturm-Liouville问题：当问题的边界条件发生变化时，问题的解将如何变化是我们关注的一个重点。
我们将研究在不同边界条件下，分数阶Sturm-Liouville问题的解的性质和变化规律。
4. 参数变化对问题的影响：我们将研究参数变化对分数阶Sturm-Liouville问题的影响，如改变算子中的参数值、增加新的约束条件等，探究这些变化如何影响问题的解及其性质。
《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文
《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一摘要：本文介绍了Sturm-Liouville问题的基本理论，通过对其谱的详细分析，以及探讨了谱计算的数值方法。
主要探讨了问题的重要性，并对求解策略进行了一系列数值计算，同时将得出的结论进行展示与评估。
本文的目的在于对Sturm-Liouville问题的深入研究提供一种系统的、科学的解决方案。
一、引言Sturm-Liouville问题是一种在微分方程领域中常见的特征值问题，广泛应用于量子力学、热传导等众多领域。
通过对其进行谱分析，可以获得一系列的特解，从而为相关领域的研究提供重要依据。
本文将详细介绍Sturm-Liouville问题的基本理论，并探讨其谱的详细分析以及数值计算方法。
二、Sturm-Liouville问题的基本理论Sturm-Liouville问题通常可以表述为二阶线性微分方程的定解问题。
这类问题的一般形式包括一阶和零阶微分项以及附加的条件如连续性和其他物理上的边界条件等。
针对此问题的解析研究为我们提供了一整套方法来分析和计算线性常微分方程和广义Sturm-Liouville系统的一些属性，例如，本征值和本征函数等。
三、谱的详细分析谱分析是解决Sturm-Liouville问题的重要步骤。
本部分详细介绍了如何通过求解微分方程来获得其特征值和特征函数。
通过使用特定的边界条件和连续性条件，我们可以得到一系列的特解，这些特解构成了问题的谱。
此外，还探讨了谱的稳定性及性质，对进一步研究该问题的性质和特征具有重要意义。
四、数值计算方法为了解决复杂的Sturm-Liouville问题，本文介绍了若干有效的数值计算方法。
其中包括差分法、有限元法、数值逼近等几种常用方法。
每一种方法都详述了其计算过程及注意事项，并给出了具体的计算实例。
同时，对各种方法的优缺点进行了比较和评价，为实际应用提供了参考依据。
五、数值计算实例与结论本部分通过具体的数值计算实例展示了各种数值计算方法在解决Sturm-Liouville问题中的应用。
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其 中 ｇｆ ｒｔ是 定义 在 ［，。） 的局 部 可 积 函 数 ， （，（ ） ） ０斗。上
称 ｑｔ为势函数 ，，ｆ为权函数．当权 函数 ｒ ） （ ） （ ） （＞ ｔ ０ａ ．∈０＋ ） 称方程（） ， ．ｔ ［， 时， ｅ ∞ １ 是右定的． 早在 １１ 年， ｙ Ｈ把奇异的 Ｓ ｒ ．ｉ ｖｌ ９０ Ｗｅｌ ｔ ｍ Ｌｏ ｉ ｕ ｕｌ ｅ 方程分成 ２ 类： 极限点型和极限圆型． 极限圆型是 指对任 意的 ∈ Ｊ， Ｃ／ 方程（） Ｒ １ 的所有解都是平方
由 Ｔｔ ｍ ｒ — ｙ 理论知， ｉ ｈ ａ ｈＷｅｌ ） ｃ ｓ （ 当方程（） １ 是
收 稿 日期 ：２０ －９１． ０９０－８ 宁 波大 学学报 （ 工版 ）网址： ｔ ：３ｂｎ ｕ ｄ ． 理 ｈｔ ／ ｘ ｂ ． ｕｃ ｐ／ ｅ ｎ 作者 简介 ： 震林 （ ９ １ ）， ， 江杭 州人 ， 戴 １８ 一 男 浙 助理 实验 师 ， 要研究 方 向： 分 方程 ． — ｉ ｄｉ ｅｌ ＠ｎｕｅｕ ｎ 主 微 Ｅｍａｌ ａｚ ｎｉ ｂ ． ． ： ｈ ｎ ｄｃ
一
为 Ｐｏｑ ， ｒ （） 方程（ 记为 （ 下面给 出主要结论． １ ） １． ）
（） １
Ｙ （ ＋ （ ｆ＝２ （ ｙ ｔ ｔ ０＋ ， ｆ ｇ ｆ （ ） ） ） ｒｔ （ ， ∈［，∞） ） ）
定理 １ 考虑 ＝ ／ 时的 ２ 兀２ 个奇异的边值问
题 Ｐｏ ｇ ， ｒ （ ） 当它们是右定且为极限点型 ｒ （ Ｐｏｑ ， ） ： 的 ，并 记它 们所 对 应 （） 函数 分 别 为 ｍ（） 和
０时，这 里 ， 。 。 为 — ， 都 ∞，则 在 （ 有：
ｍ１ ） （ ≥ｍ （ ） ２ ．
础上行成了一套有效 的处理工具，即 Ｔｔ ｍ ｒ ． ｉｈ ａ ｈ ｃ ｓ Ｗｅｌｚ ） ｙ， 理论， ， （ 并且通过 （ ） 函数的性质来讨论
奇 异 的 Ｓｕｍ—ｉｕｉｅ 问题 的谱 问题 【．所 以 对 ｔｒ Ｌｏｖｌ ｌ 】 ］
可积 的 ；极限 点型 是指 对任 意 的 ∈Ｃ／ ， 程 （） 并 且 （ 方 １
） ２时 ，当 ｋ ≠（ ｊ ＝ ） 必 上
有且仅有一个解 （ 在线性相关的意义 下） 是平方可
积的． 随后 ， ｉｈ ｒ 、 ｄｉ 、Ｅ ｅｒ 等在 此基 Ｔｔ ｍａｓ Ｋｏａｒ ｖｒｔ ｃ ｈ ａ ｉ
注：由引理 １ 可得， 若有 ， 使得 ） ｚ， （ ， ＝ｋ ｃ
贝 对 Ｖ ＞ （ ） 冗． ９ ｆ ， ｆ ＞ ，
引理 ２
当 ｔ ， ∈ 时 ，有 ｑｘｔ ＞０ ＞ａ Ｒ Ｙ（ ） ． ，
对 于 正常 的 Ｓｕｍ— ｉｕ ｉｅ 问题 ，即 方 程 （） ｔｒ Ｌｏ ｖｌ ｌ １
第２ 期
戴震林 ： 二阶奇异 Ｓ ｒ —ｉ ｖｌ边值 问题 ） ｔ ｍ Ｌ ｕｉｅ ｕ ｏ ｌ 函数比较
４ ３
极限点型时， 对任意的 ∈ ／ 存在唯一的 （， Ｒ， ） 得： ，使
Ｙ： １ ， ＋，（ ， ）２ｔ ∈ （ ， ） ＝Ｙ（ ） ” ａ ｙ （ ） ｏ ． ， ｏ
ｍ （） －Ｄ ＜ ＜… ＜ ＜… 为 ｍ（） 一 列 ２ ．－ ＜ Ｏ １ 的 极 点 ； — ＜Ｐ ＜Ｐ ＜… ＜ ＜… 为 ｍ （） 一 列 ∞ ｏ ｌ ２ 的 极点． 若 ｑ（ ≤ｑ（，． ｔ 口∞ ， １） ２ｆ ａ ．∈（， ） ｆ ） ｅ ） （ ． ）（ ｎ ．， ＝ （） ３
定条件 下不 同势函数 ｇｆ所 对应 的 （） （ ） 函数 的 比较 定理 ．
关键词 ： ｔｒ Ｌ ｏ ｖｌ Ｓｕｍ— ｉｕ ｉｅ边值 问题 ； （ ） ｌ 函数 ；势 函数；特征 值 中图分 类号 ： ７ Ｏ１５ 文 献标识 码 ： Ａ
考虑奇异 Ｓ ｒ ．ｉ ｖｌ 方程： ｔ ｍ Ｌｏ ｉ ｕ ｕ ｌ ｅ
二阶奇异 Ｓ ｒ —ｉ ｖ ｌ边值 问题 ） ｔ ｍ Ｌｏ ｉｅ ｕ ｕｌ 函数比较
戴 震 林
（ 宁波大学 理学院， 浙江 宁波 ３ ５ １ ） １２ １
摘要： 讨论 了 二阶奇异 Ｓ ｒ —ｉ ｖ ｌ 边值 问题， ｔ ｍ Ｌｏ ｉｅ ｕ ｕｌ 通过 Ｗｅ１ ｉ ｈ ａ ｈ 理论，得到 了在一 ｙ． ｔ ｍ ｒ （） Ｔｃ ｓ
（） ２
丁／ ≤ 兀／ ． ｃ ２＜ ２
无关解， 满足不同的初始条件：
Ｙ（， ＝ｓ ｃ Ｙ１ ， ＝一 Ｏ ｔ ｌ ） ｉ ￣ ０ ０ ｎ ， （ ） Ｃ Ｓ２ ＂ ， Ｙ （， ＝Ｃ Ｓ ￣ ２ ， ＝ｓ ｃ ２０ ） Ｏ Ｏ （ ） ｉ ｔ ， ０ ｎ ．
这样（ 式和（） １ ） ２ 式构成了奇异的 Ｓ ｒ —ｉ ｖｌ ｔ ｍ Ｌｏ ｉ ｕ ｕ ｌ ｅ 边值 问题． 进而讨论不同势函数 ｑｆ下 （） （ ） 函数 的比较定理 ． 为了方便，记边值问题 （） １ 式和（） ２式
１ 预 备 知 识
首 先介 绍 （） 数 的定义 ， 于 边值 问题 （） 函 对 １
（） 函数的研究具有重大意义．
笔 者在 ｔ 点 附加边 值条 件 ： ＝０
ｙ０ ｓ ａ—Ｙ（）ｏ ａ＝０ （）ｉ ｎ ｃｓ Ｏ ，
一
式和（ 式， Ｙ（ ） ，） ２ ） 令 ， ， （ 是方程（） ２个线性 ｆ Ｙｆ １ 的
第２ ３卷第 ２期 ２ １ ４月 ００年
宁 波 大 学 学 报 （理 工 版 ）
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬＯ Ｉ Ｇ Ｏ Ｕ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ（ Ｅ ＦＮ Ｎ Ｂ ＮＩ Ｅ ＳＴ ＮＳ Ｅ）
、 １ ３ ＮＯ ２ ， ． ． ０ ２ Ａｐ ． ０１ ｒ２ ０
文章 编号 ： ０ — １２（ ０ ０） ２０ ４ —５ １ １ ３ ２ １ ０ ．０ ２０ ０ ５