求解一类高阶奇摄动线性边值问题
奇异摄动理论中的高维多点非线性边值问题的开题报告
奇异摄动理论中的高维多点非线性边值问题的开题报告题目：奇异摄动理论中的高维多点非线性边值问题一、研究背景和意义奇异摄动理论是一种求解微分方程的特殊方法，它通过将微分方程中的小系数项视为扰动，将微分方程化为一个带扰动项的常微分方程，然后利用常微分方程的解析方法得到微分方程的解。
奇异摄动理论已经成功地用于解决大量的微分方程问题，包括非线性问题、奇异问题等。
在奇异摄动理论中，高维多点非线性边值问题是一个经典的研究问题。
这种问题通常包括一个多维微分方程系统和多个边界条件，每个边界条件都包含多个点。
它在应用领域中广泛存在，如固体力学、电路设计和流体动力学等，因此对于这种问题的研究具有重要的理论和应用意义。
二、研究内容和方法本研究将利用奇异摄动理论，研究高维多点非线性边值问题的数学模型和解析解。
具体来说，我们将首先推导出这种问题的一般数学模型，然后将其化为常微分方程带扰动项的形式。
接着，我们将利用常微分方程的分析方法，分析扰动项对方程解的影响，以得到微分方程的解析解。
针对研究对象的特殊性质，我们将采用如下研究方法：1.建立高维多点非线性边值问题的数学模型，明确研究对象。
2.采用奇异摄动理论将微分方程化为带扰动项的常微分方程。
3.利用常微分方程的分析方法研究扰动项对方程解的影响。
4.利用计算机仿真验证结果的正确性。
三、预期成果和意义本研究的预期成果如下：1.提出高维多点非线性边值问题的常微分方程带扰动项计算公式。
2.分析扰动项对常微分方程的解的影响。
3.推导高维多点非线性边值问题的解析解，以及扰动项对解的影响。
4.仿真计算验证解析解的正确性和有效性。
本研究对于奇异摄动理论的发展和应用具有重要意义。
其解析解的求解方法和成果可为相关领域的数学建模和应用提供有效的参考，促进相关领域的科技进步和发展。
一类三阶奇异微分方程边值问题正解的存在性
一类三阶奇异微分方程边值问题正解的存在性一类三阶奇异微分方程边值问题，指的是形如：$$y'''=f(x,y,y',y''),\quad x\in [a,b],\quady(a)=y_0,\quad y'(a)=y_1,\quad y''(b)=y_2$$ 的三阶常系数微分方程的边值问题。
它的存在性，即要证明这个问题有正解，可以通过压缩映射原理来证明。
假设$[a,b]$上存在正解，那么映射$\varphi:[a,b]\rightarrow [0,1]$，将$y(x)$映射到$u(\xi)=\varphi(y(x))$，其中$\varphi(x)=\frac{x-a}{b-a}$。
使用压缩映射原理，根据微分方程的连续性，可以证明$y(x)$的正解$u(\xi)$的存在性：$$u'''+p(\xi)u'+q(\xi)u=r(\xi)$$其中$p(\xi)=\frac{3f(\varphi^{-1}(\xi),u,u',u'')}{\varphi^{-1}(\xi)}$,$q(\xi)=\frac{3f(\varphi^{-1}(\xi),u,u',u'')}{(\varphi^{-1}(\xi))^2}$,$r(\xi)=\frac{f(\varphi^{-1}(\xi),u,u',u'')}{(\varphi^{-1}(\xi))^3}$。
因为$p(\xi)$、$q(\xi)$、$r(\xi)$都是连续函数，所以有：$$u(0)=\varphi(y_0),\quadu'(0)=\varphi'(y_0)y_1,\quadu''(1)=\varphi''(y_2)y_2$$根据Cauchy条件，可以证明$u(\xi)$的存在性。
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题近年来，随着科学家们对数学和物理理论的研究以及精细的数值解析技术的运用，学者们开始注意到一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题（QEP）。
QEP是一种具有无穷边界值的二次非线性方程组，其中参数具有某种统一性。
QEP具有丰富的理论和实际意义，它们是众多物理大会和其他专业交流会议的热点话题，也是各种研究、设计及其应用的重要基础。
QEP的定义及其表达式如下：假定给定矩阵AB，们的特征方程如下：Au=λBu其中，u 为AB特征向量，λ为AB特征值，则矩阵AB足QEP 的充分条件为：Au=λBu+σu其中，γ为AB共轭特征向量，σ为AB特征值的偏移量，即AB有无穷边界值。
QEP的实际应用十分广泛，它可以用于数学建模、密码学、无线传感器、网络服务等各个领域。
例如，在网络服务领域，通过控制不同的传输延迟，可以使网络服务的质量更优，从而节省网络资源，从而减少网络负载。
此外，在数学建模中，QEP可以用于解一些复杂的量子力学问题，以及其他复杂的动力学系统。
在解决QEP问题时，人们有多种算法可以供选择。
常见的算法包括：矩阵平方法（MSF）、反方形拟合方法（RFF）、插值非线性迭代方法（INIM）、线性矩阵迭代方法（LMI）和Karmarkar方法（KM）等。
于某些问题，这些方法在计算量上有很大的优势，而且可以较快地获得较为满意的精度。
QEP的研究也被广泛应用于优化技术的研究。
优化技术可以帮助我们在一定范围内计算最佳的参数或系统状态，这可以应用于工程技术、生物学、无线传感器网络、金融分析等领域。
于QEP有无穷多的解决方案，使用优化技术可以有效地找到最优解，从而实现更好的应用效果。
当前，围绕QEP问题的研究也有很多，其中包括对不同求解方法的分析，以及对具体应用的探索。
从四个维度，即定解法、数值方法、运算优化和应用研究，对QEP的研究可以得出如下结论：1.定解法方面，近年来，人们提出了许多新的数学理论，如基于有限元法的方法，可用于求解QEP问题；2.数值方法方面，学者们利用计算机技术，研究了一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题；3.运算优化方面，学者们研究了QEP问题的求解算法，例如MSF、RFF、INIM、LMI和KM等，以及它们的复杂性分析；4.应用研究方面，学者们利用QEP的研究成果，将其应用到计算机网络，信息加密，量子力学等领域。
一类具有转点的右端不连续奇摄动边值问题
一类具有转点的右端不连续奇摄动边值问题
帅欣;倪明康
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2024(45)4
【摘要】研究了一类具有转点的右端不连续二阶半线性奇摄动边值问题解的渐近性.首先,在间断处将原问题分为左右两个问题,通过修正左问题退化问题的正则化方程,提高了左问题渐近解的精度,并利用Nagumo定理证明了左问题光滑解的存在性.其次,证明了右问题具有空间对照结构的解,并通过在间断点的光滑缝接,得到了原问题的渐近解.最后,通过一个算例验证了结果的正确性.
【总页数】20页(P470-489)
【作者】帅欣;倪明康
【作者单位】华东师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类具有高阶转点的奇摄动边值问题与共振
2.一类具有不连续源的奇摄动半线性微分方程组边值问题
3.一类非线性具有转点的三阶奇摄动边值问题
4.一类右端不连续的奇异摄动拟线性Robin边值问题的内部层解
5.一类具有转点的二阶半线性奇摄动边值问题
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类线性内部奇点边值问题的区间分段求解
一类线性内部奇点边值问题的区间分段求解
阮宗利;李维国
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2010(010)032
【摘要】对一类线性的、具有单个内部奇点的奇异边值问题采用区间分段处理,从而较好地刻画解的奇异行为.给出的数值例子说明了求解该类问题的具体方法与步骤,其计算结果表明,该方法是有效的.
【总页数】3页(P7986-7988)
【作者】阮宗利;李维国
【作者单位】中国石油大学(华东)数学与计算科学学院,东营,257061;中国石油大学(华东)数学与计算科学学院,东营,257061
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.用两种再生核方法求解一类线性常微分方程初边值问题 [J], 刘杨;王玉兰
2.一类半无穷区间上分数阶非线性微分方程边值问题多个正解的存在性 [J], 张海斌;贾梅;陈强
3.一类线性奇异边值问题的区间分段求解 [J], 阮宗利;李维国
4.应用奇点理论研究一类非线性边值问题的分支 [J], 欧阳志宏;贺文青;李兵
5.一类无穷区间上的非线性三阶奇异边值问题的可解性 [J], 包永东;玉琳琨;裴明鹤
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类具有两个转向点的奇摄动边值问题
安庆 师 范学院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｄｕ ｏ ｍ￣ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｍ Ｃ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
一＝ ＋ ・ １ ｆ
，别 退 分是化
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０ １— ６— ３ 基金项 目：安徽高校省级 自然科学基金 （ Ｊ０ ０ １３，．０ ０ ３０ 资助 。 Ｋ ２ １ Ａ ５ Ｋ２ １Ｂ ６ ） １
作者简介 ：魏小欧， ， 男 安徽芜湖人 ， 安徽师范大学数学计算 机科学学 院硕士研究生 ， 从事应用微分方程研究 。
ＮＯ ２ ｌ Ｖ． ０１ Ｖｏ１１ ． ７ Ｎ０． ４
一
类具有两个转向点的奇摄动边值问题
魏 小欧 ，刘树 德
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４０ ０
摘
要： 考虑一类具有两个 转向点 的奇摄动二阶线性边值 问题 ， 在一阶导数的系数具有两个 零点 ， 即转 向点 的情 形
比较０ ÷） （ 的系数得 ＋（ 一 ）１ ２） ＝ ， １ 口（ — ａ 。 ０又由边界条件Ｙ１ （）＝２得 Ｙ（）＝２由此解得 ， ｏ０ 。
ｒ ＝ ２ 一 ｌ ＋ ｃ ｅ （一） ） ｏ ｌ 一 。（一
其中 ｃ 为任意常数。 从而
ｙ ＝２一ｃ （ １＋ｃｅ‘。 孙 ＋… ｌ一 一 （） ６
在 ＝ａ 和 ＝１ 处构造角层和边界层展开式 ， 并利用改进 的匹配渐近展开法将其与外展开式进行匹配 ， 从而得到在区间［ ，］ ０ １ 上一致有效的复合展开式。当然 ， 也可 以用类似的方法讨论具有 ， ≥２ 个转向 ｔ （ ） 点的奇摄动边值问题。 １ 外展 开式 设 外 展开式 具有形 式 Ｙ ＝Ｙ（ ｏ ）＋８ 。 ）＋… ， 它代 人 （ ）式 有 ｙ（ 将 １
一类非线性奇摄动Dirichlet边值问题的匹配解法
一类非线性奇摄动Dirichlet边值问题的匹配解法
吴超;欧阳成
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2010(13)4
【摘要】利用匹配渐近展开法,讨论一类形如εy"+(x"-k)(y'+ym)=0的非线性奇摄动方程的Dirichlet边值问题,并且通过对参数k的五种不同取值的分类探讨,得到了该问题必有左边界层、右边界层或内部层之一的结论(其中左、右边界层又各分为两种类型).进而给出该问题解的零次渐近展开式,推广并改进了已有的结果.【总页数】4页(P29-32)
【作者】吴超;欧阳成
【作者单位】湖州师范学院数学系,浙江湖州,313000;湖州师范学院数学系,浙江湖州,313000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类高次非线性奇摄动问题的匹配解法 [J], 郭云霞;唐荣荣
2.一类非线性奇摄动边值问题的匹配解法 [J], 余静;唐荣荣
3.一类奇摄动非线性边值问题激波解的间接匹配 [J], 吴钦宽
4.一类四阶非线性奇摄动问题的匹配解法 [J], 王莉婕
5.一类非线性奇摄动方程的匹配解法和解的精度估计 [J], 裘叶芳;唐荣荣
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题近年来，愈发重视数学建模在解决实际问题中的重要作用，数学家们也把越来越多的精力投入到研究边界值问题上，以争取更多有效的解决方案。
而本文所要探讨的一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题，可以说正是属于数学建模的一种“小众”但又十分重要的研究领域。
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题，即是指在某一区间上的函数的极限值的求解问题，这类函数的定义域可以是有限的，也可以是无限的。
其中，所讨论的函数均可以表示为a(x)，其中a(x)是包含有二次项和奇摄动项的无穷级数拟合函数，而且其中所拟合的数据集中函数的极限形式也未定义。
在求解这类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题时，我们可以先考虑极限形式，并从不同的角度去探究其本质：首先，研究者要分析函数a(x)的限界形式，从而推断它的奇摄动项的极限形式；然后，研究者要考察函数a(x)的二次项的极限形式，以及这些奇摄动项的极限形式的具体表示；最后，研究者还要研究函数a(x)的整体极限形式，探讨它对于求解这类问题时的准确性和可靠性有多大影响。
此外，研究者在求解这类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题时，还要考虑到数学模型的构建和参数的估计问题。
首先，研究者要根据边值的定义域和函数表达式，构建出一个适当的数学模型；而对于数学模型而言，已知的参数为函数a(x)中二次项和奇摄动项的系数，而未知参数则包括x的边界值等等；其次，研究者还要根据数学模型，借助一定的优化算法等工具，进行估计参数，以准确地求解这类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题。
当然，研究者在求解这类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题时，也可以使用一些数值计算的方法，其中最常用的数值计算方式是梯度下降法和最优化方法，用这些方法，研究者可以将函数a(x)分解为一个个有限的函数，进而对函数进行求解，而求出的极限值也可以作为整体极限值的一个参考。
总之，一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题是一个相对比较小众的研究领域，但其中涉及的问题却十分重要，补充证明和推导的时候，研究者也需要运用一定的技巧来帮助加快求解的过程，最终期待能够得到准确而又有效的解决方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
时
和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
０． ２
阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：
（ ） Ｈ 如果 ａ（ （一１ … ， ） ， ＋１ 及 ， ｚ 都 是 区间 ［ ， ］ 的充 分光 滑 的连 续 可微 函数 ， 对 于任 一 。 ） （） Ｏ １上 则
∈［ ，］ 任 意 的 ｕ ｘ ） ｕ ｘ ） … ， （ Ｏ １及 （ 。 ，（ ： ， “ ｚ
第 １ Ｏ卷
第 ３期
太 原 师 范 学 院 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ） Ｎ（ＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄｔｏ ） Ｉ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥ ｉｉｎ Ｓ
Ｖｏ． ０ Ｎ ． １１ ｏ ３
Ｓ ｐ ． ２ １ ｅ ｔ ０ １
０ 引 言
奇 异摄 动微 分 系统是 应用 数字 的一 个重 要分 支 ， 用 于动力 系统 、 应 化学 反应 、 制理论 等各 个方 面 ， 控 因此 分 析 和解决 奇异 摄动 问题 引起 了众 多学 者极 大 的关 注 ． 中文献 Ｅ ３ 用 零 阶渐 近 展 开解 在 再 生核 空 间 其 １利
情形 一 ： 当 一１ ＂ １ —１时 ．
数 一 一
隋
（ ）一 Ｕｏ３ ）， ．（
形 一
作 同
ｏ，
１
（ ｚ）＝ ０ （ ） ＝ ． Ｉ ， ＝ ｚ
卅 １
样
的
（） ７
￣ ＋ １ ） ＋∑ 口 ｚ“ ） （） ｉ 口（ ｉ ｚ ） 一ｚ 一厂ｚ ， （ 。 （
“ ＋∑ 口 ） （） ， （ ； ｚ 一０
；
（） ４
（） ５
ｉ ＋∑ｎ “ （） ， ） （ ｚ 一０
收 稿 日期 ： ０ 卜０ — ７ ２ １ ４ １ 作 者简 介 ： 丽 娟 （９ ５） 女 ， 西 长 治 人 ， 卫 １８ 一 ， 山 中北 大学 理 学 院在 读 研 究 生 。 要 从 事 应 用 数 学 研 究 主
Ｕ ， ， 的表 达 式 ， 代入 （ ） 。… “ 再 ２ 式可 以求 得 ｕ ｘ，） 即系统 （ ） （ ｅ， １ 的解．
形 二 为 当
１ 系统 降 阶
一
般 的 高阶奇 异摄 动 问题直 接求 解是 困难 的 ， 文我们 引人 降 阶利 用 变换 将 高 阶 的求 解 问题 转 化 为 低 本
（） １
【 “ （ ）一 ｂ， （ ）一 ｂ， “ ０ “ １ ，０≤ ｉ 忌一 １ ０≤ Ｊ≤ ／ 一 是一 １ ≤ ， Ｔ ｔ ，
其 中 ，＜ｅ ｌ ｍ＞ｎ Ⅲ， ∈Ｎ ， ｚ （一１ … ， ＋１ 为充分 光 滑 的连续 函数 ，ｉ 一１ … ， 一１ ， ０ ￣ ， ， ７ ＂ ／ 口（ ） ， ｎ ） ｂ（ ， 是 ） ｂ（
足条 件 （ ｏ 一“ Ｘ） ， 一“ ， ， ，…
） 系 统 （ ） 在 定义 于 区间 Ｏ ≤ １上 的唯 一解 “＝ ） 且满 ， １存 ≤ｚ ＝ ： （ ，
一 ） ；
（ ） Ｈ。 如果 “ （ ） 式 （ ） 忌个 渐近 解 ， 么渐 近展 开式 （ ） 是 系统 （ ） ． 是 ｚ １的 那 ２也 １ 的解 ．
ｕ（ ￡ ｘ。 ）一 “ ０＋ ｌ＋ ｅ Ｕ 。 ２＋ ｏ（ 。 ｓ） （） ２
当 ｅ Ｏ时 ， （ ） — 将 ２ 式代 入 （ ） １ 式并 令 ￡的 同次幂相 等 ， 得到
∑ 口 “ （） （） ）计 ｚ 一， ， （
（） ３
“ ＋∑口 “ （） ， ）科 ｚ 一０ （ ；
＝２
处 理
并
令 ∑
庇ｏ
，
（ ０）一 ａ， ， １）一 ， ｏ （
上 分析 了三 阶奇 异摄 动边 值 问题 ， 文献 ［ ］ 用零 阶渐 近解 分 析 和 四阶奇 异 摄 动边 值 问题 ， ２利 而对 于 高 阶奇 异 边值 问题还很 少 进行研 究 ． 文主要 研究 了高阶奇 异摄 动 系统 的近似解 ． 本
考 虑如 下 高阶线 性奇 摄动 问题
） ＋ Ｏ≤ ｚ≤