非线性奇异三阶两点边值问题的一个正解存在定理
关于非线性奇异三阶两点边值问题的正解
和一个 积分算 子 ： —ｃ ０ １ ［ ， ］
由引理 １ １ ，Ｖ （ ． ） ． 知 Ｂ Ｐ １ １ 有一解 ｕ ｔ等价 于 ｕ是 的一个不动点． （）
我们 作以下假设 ： （ ） Ｈ１ ａ∈Ｃ （ １ ，０ ） 且 ０＜ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｄ ＜ ， （ ０，） ［ ， ） （ ，） （） ｓ （ ２，ＥＣ ［ ，］ ［ ， ） ． Ｈ ） （ ０ １ ，０ ） 由（ ） ＨＩ 知存 在 ｔ∈（ １ 使得 ａ ｔ）＞ ． ０ ０，） （。 ０ 引理 １ ３ 假设 （ ） Ｈ ） ． ＨＩ （ ２ 都成立 ， 则 ：
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第２ ３卷 第 ５期 ２０ ０ ７年 １ ０月
忻 州 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ ＸＩ Ｈ０Ｕ Ｔ ＡＣＨＥＲ ＵＮＩ ＲＳＴ ＮＺ Ｅ Ｓ ＶＥ Ｉ Ｙ
Ｖｏ ． ３ Ｎ ． １２ ｏ ５ ０ｔ ０７ ｃ ．２ Ｏ
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一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理
一类三阶三点边值问题正解新的存在性定理武晨;王全祥【摘要】考虑了一个三阶三点边值问题正解的存在性,通过利用Leray-Schauder 不动点定理得到了一个新的正解存在性结果.方法进一步改进和推广了已有的结果.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)002【总页数】5页(P95-99)【关键词】Leray-Schauder不动点定理;三阶三点边值问题;正解【作者】武晨;王全祥【作者单位】江苏联合职业技术学院南京分院,基础课程教学部,江苏南京 210019;南京农业大学工学院,江苏南京 210095【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言由于非线性三阶边值问题在生物工程、物理等领域的广泛的应用,对非线性三阶边值问题的研究一直是众多学者关注的热点,由此得到了许多三阶边值问题正解的存在性结果[1-10]．其中文[4]研究了如下的一个三阶三点边值问题(1)其中假设函数f满足条件:(C1) f∈C([0,+∞),[0,+∞));(C2) a(t)∈C([0,1],[0,+∞)),且在[τ,1]上a(t)不恒为0,其中τ为区间[0,1]上的任意实数.记假设：(i) f0=0且f∞=∞(超线性)；(ii) f0=∞且f∞=0(次线性)成立;则边值问题(1)至少存在一个正解．本文将利用Leray-Schauder不动点定理,在弱化文[4]中的条件下,得到边值问题(1)正解的存在性．1 预备知识引理1[4] 设边值问题(1)有唯一解其中引理2[4] 对任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.引理3[4] 令则对任意的(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中为任意常数．由引理3易得引理4[11](Leray-Schauder不动点定理) 假设X是Banach空间,T:X→X是全连续算子,如果存在R>0,对于λ∈(0,1),满足u=λTu,都有‖u‖≤R恒成立,则T有一个不动点．2 主要结果考虑Banach空间X=C[0,1],赋予范数定义算子定理1 假设 (C1),(C2)成立,若f0=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f0=0可知存在常数R1>0,使得当0<u(t)≤R1时,有f(u)≤εu(t)成立．令则K1是X中的凸子集,对于任意的u∈K1,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R1.因此TK1⊂K1,容易验证T:K1→K1是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R1,所以‖u‖≤R1．从而根据引理4可知,T在K1中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注1 定理1相比文[4]中弱去了条件f∞=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理2 假设 (C1),(C2)成立,若f∞=0,则边值问题(1)至少存在一个正解．证明任取ε>0,且由f∞=0可知存在常数N>0,使得当u(t)>N时,有f(u)≤εu(t)成立．取令则K2是X中的凸子集,对于任意的u∈K2,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知≤从而‖Tu‖≤R2.因此TK2⊂K2,容易验证T:K2→K2是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R2,所以‖u‖≤R2．从而根据引理4可知,T在K2中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．注2 定理2相比文[4]中弱去了条件f0=∞,因此该结论推广了文[4]中的结果．定理3 假设(C1),(C2)成立,若存在常数R3>0,使得当0<u≤R3时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明令则K3是X中的凸子集,对于任意的u∈K3,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且由引理2可知从而‖Tu‖≤R3.因此TK3⊂K3,容易验证T:K3→K3是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤R3,所以‖u‖≤R3．从而根据引理4可知,T在K3中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．定理4 假设 (C1),(C2)成立,若存在常数N>0,R4>0,使得当u≥N时,有则边值问题(1)至少存在一个正解．证明取令则K4是X中的凸子集,对于任意的u∈K4,由引理2和引理3可知Tu(t)≥0,且令J1={s∈[0,1]|u(s)>N},J2={s∈[0,1]|u(s)≤N}.由引理2可知从而‖Tu‖≤d,因此TK4⊂K4,容易验证T:K4→K4是全连续的,对于任意0<λ<1,‖u‖=‖λTu‖<‖Tu‖≤d,所以‖u‖≤d.从而根据引理4可知,T在K4中至少有一个不动点,即边值问题(1)至少存在一个正解．3 应用示例例1 考虑非线性三阶边值问题(2)易得所以根据定理1可知上述边值问题(2)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f∞=∞的情况,因此根据文[4]的结论并不能得出边值问题(2)正解的存在性结果．例2 考虑非线性三阶边值问题(3)易得所以根据定理2可知上述边值问题(3)至少存在一个正解．注不满足文[4]中f0=∞的情况,根据文[4]的结论并不能得出边值问题(3)正解的存在性结果,因此本文的结论更具一般性．参考文献：【相关文献】[1] Du Z J, Ge W G, Lin X J. Existence of solutions for a class of third-order nonlinear boundary problems[J]. J Math Anal Appl, 2004, 294(1):104-112.[2] Feng Y Q, Liu S Y. Solvability of a third-order two-point boundary value problems[J].Appl Math Lett, 2005,18(9):1034-1040.[3] Yao Q L, Feng Y Q. The existence of solutions for a third-order two-point boundary problems[J]. Appl Math Lett, 2002, 15(2):227-232.[4] 郭丽君. 三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 兰州文理学院学报(自然科学版),2016,30(1):1-5.[5] Feng X F, Feng H, Bai D L. Eigenvalue for a singular third-order three-point boundary value problem[J]. Appl Math Comp, 2013,219(18): 9783-9790.[6] 刘瑞宽. 一类奇异三阶两点边值问题正解的存在[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):482-486.[7] 高婷,韩晓玲. 三阶无穷多点边值问题正解的存在性[J]. 四川大学学报(自然科学版),2016,53(1):35-41.[8] 武晨. 非线性二阶三点边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 淮阴师范学院学报(自然科学版),2015,14(4):1-4.[9] 武晨. 一类三阶边值问题正解的存在性和唯一性[J]. 南通大学学报(自然科学版),2017,16(2):87-89.[10] 程德胜,武晨. 一类三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 华侨大学学报(自然科学版),2017,38(1):127-130.[11] 武晨. 限区间上p-Laplacian方程解的存在性[J]. 长春师范大学学报(自然科学版),2015,34(10)1-4.。
非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性
第15卷第3期2013年9月应用泛函分析学报A C TA A N A L _ySI S FU N C T I O N A L I S A PPL I C A T A V 01．15．N O ．3Sep ．，2013D O I ：10．3724／SP ．J ．1160．2013．00265文章编号：1009-1327(2013)03—0265-07非线性二阶三点边值问题系统正解的存在性王静，何明霞甘肃联合大学师范学院，兰州730000摘要：考虑二阶三点边值问题系统一u Ⅳ=f (t ，u)，t ∈(0，1)，--V ”=g(t ，u)，t ∈(0，1)，u(0)=Q 札(叩)，u(1)=p 札(叩)，v(O )=n"(叩)，v(1)=pu(叼)，其中，，g ∈c (【o ，1】×冗+，R +)，g(t ，0)三0，叩∈(0，1)且0<卢≤Q <1．首先给出了线性边值问题的G r een 函数；其次，给出了G r een 函数的一些很好的性质；最后，运用锥上拉伸与压缩不动点定理研究了上述边值问题系统至少一个或多个正解的存在性．关键词：系统；二阶三点边值问题；正解；不动点；锥中图分类号：0175文献标志码：A二阶微分方程在应用数学与物理领域中有着极为广泛的应用背景，特别是在经典力学、化学及电学中更为普遍【1】．近来，二阶边值问题系统受到了广泛的关注[2--6]．文【2]利用G uo —K r as nosel ’s ki i 不动点定理讨论了二阶三点边值问题J 乱Ⅳ(t )+A q(t )f (t ，u(t ))=0，0<t <1，I u(o)=Q u(?7)，乱(1)=pu(叩)正解的存在性，其中0<叩<1，0≤p ≤a<1，A >0为参数，q ：(0，1)一[0，。
)，f ：【0，1]X (0，∞)一[0，∞)是连续的．本文讨论了如下常微分方程系统边值问题f —u Ⅳ=，(t ，u)，t ∈(0，1)，㈦-v"…=g(㈤t,u ，匕：豸竺‰㈣u(o)=Q u(叩)，u(1)=p “(叼)，、‘7【u(o)=(Y u(叼)，v(1)=p"(?7)正解的存在性，其中f ，g ∈C ([o ，1]×R +，R +)，g(t ，0)兰0，0<叼<1，0<p ≤O t <1．为了便于讨论，我们做如下记号：护一lim 垤in 【。
一类三阶两点边值问题解的存在性
一类三阶两点边值问题解的存在性一类三阶两点边值问题是指具有以下形式的微分方程：y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))在区间[a, b]上，同时满足以下边界条件：y(a) = y_0, \quad y(b) = y_1y_0, y_1是已知常数。
我们需要关注方程的连续性和可导性。
根据连续性理论，如果f在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一的解y(x)在该区间上存在。
对于三阶微分方程，我们需要更高级的连续性条件来保证解的存在性。
这里我们引入分析学中的一个重要概念：Lipschitz条件。
如果函数f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意(x,y,y',y'')和(x,z,z',z'')，有|f(x,y,y',y'') - f(x,z,z',z'')| \leq L(|y-z| + |y'-z'| + |y''-z''|)那么我们可以得到Peano存在性定理和Picard-Lindelöf存在唯一性定理。
根据Peano存在性定理，对于三阶微分方程y'''(x) = f(x,y(x),y'(x),y''(x))，如果f(x,y,y',y'')在闭区间[a, b]上连续，则存在至少一个解y(x)在该区间上存在。
Peano 存在性定理不能保证解的唯一性。
Picard-Lindelöf存在唯一性定理则给出了解的唯一性的条件。
如果f(x,y,y',y'')满足Lipschitz条件，并且在闭区间[a, b]上连续，则对于给定的初值y_0, y_1，存在唯一解y(x)在该区间上存在。
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。
如y'=2xy。
2.非线性，就是除了线性的。
如y'=2xy^2。
若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。
线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。
这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。
可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。
比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。
如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。
可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。
奇异非线性二阶三点边值问题正解的存在性
定 理 ｌ 设 Ｅ 是 Ｂａ ａ ｈ空 间 ， 是 一 个 ｎｃ Ｋ ｃＥ 锥 ， 和 Ｑ２ Ｅ 中满 足 ０ Ｑ１ 为 ∈Ｑｌ ， ｃ Ｑ２的有 界 开 １ 子 集 ， Ｔ： 设 Ｋｎ（ ＼ ） Ｋ 是 一 个 全 连 续 算 子 ． ２ Ｑｔ 如 果下 列条 件之 一成 立 ：
：，
近 年 来， 常微 分 方 程 多 点边 值 问题 的研 究 受 到 了人们 的广 泛关 注．线 性微 分 方程 的 多点边 值 问题 的研 究起 源于 Ｉ’ 和 Ｍｏｓｅ ［］ Ｉｎ ｉ ｉ ｖ２， ｅ 其后 Ｃ ｐａ４研 究 ｕ ｔ［］ 了非 线 性三 点边 值 问题 ．此 后， 多 作者 借 助 于不 许 动 点理论 、迭 合度 理论 及非 线性 抉择 等研 究 了更一 般 的非 线 性 多 点边 值 问题 ，取得 了许 多研 究成 果 ． 但 这 些 结果 大 多 是建 立 在 非 线性 项 非 负 的基础 上 ，
上（ ＜，边 问 ｙ） ｏ 值 题 ｏ 则
＜
究 尚不 多见．本 文考虑 以下边值 问题
Ｉｕ Ｏ 一 （ ＝０ （ ＋ ，） ｕｑ （ ０ ｕ １ （ ： （ ａ ） ） ， Ｚ ） １＝ ｂ ）
有 唯一 解．
Ｉ （ ＋ ｈ）（ ＝ ， ＜ ＜． ｆ Ａ（ｆｕ ０ ０ ｔ １ Ｍ ） ｔ ） 一 Ｉｕ ） ｐ ） ０ （ ＋ ＇（ ＝ ｕ １ 一 （ 一 ｕ ０ ＝ ， １ ｂ ，） ｂ （） ａ０ （ ） ｕ１ ｒ
二 阶 三 点 边值 问题
ｒ
Ｉ ） ｈｔ （） ， ＜ｔ ； “（ ＋Ａ （ｆ ｕ ＝０ ０ ＜ｌ ）
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三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性
三阶非线性微分方程边值问题正解的存在性达举霞;韩晓玲【摘要】本文应用锥上的不动点定理研究了三阶四点边值问题{u(")(t)+f(t,u(t))=0,t∈[0,1],u'(0)=αu(ξ),u'(1)+βu(η)=0,u"(0)=0正解的存在性,其中α和β是正的参数,0≤ξ≤η≤1.在f满足适当的增长条件下,本文通过对核函数的上下界估计获得了该问题正解的存在性.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(053)006【总页数】6页(P1177-1182)【关键词】边值问题;正解;不动点定理;锥【作者】达举霞;韩晓玲【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程起源于数学和物理应用.由于这类问题的普遍性和重要性, 三阶多点边值问题深受学者关注, 相关研究也得到了许多深刻的结.2014年, 文献中运用有序Banach空间的新不动点定理获得了三阶两点边值问题-u‴,u(0)=u′(0)=u′(1)=0(p(t)x′)″=f(t,x,p(t)x′,(p(t)x′)′),t∈(0,1)u‴u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0我们给出假设条件:.定理2.1 设E是一个Banach空间, 并且设P⊂E是一个锥. 假定Ω1,Ω2是E的两个开子集且⊂Ω2,设是全连续算子，使得:且且,引理 2.2 设α，β 是正的参数,A=α(1+βη)+β(1-αξ),则对,问题u‴(t)+y(t)=0，t∈(0，1)u′(0)=αu(ξ),u′(1)+βu(η)=0,u″(0)=0,β(1-aξ+at)Hη(s)+α(1+βη-βt)Hξ(s)]-Ht(s)证明可以通过两边积分得到.引理 2.3 设条件成立, 则K(t,s)在上是正的, 并且满足如下的性质：存在一个可测函数, 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.证明很容易证得在满足条件,(H2)下K(t,s)在上是正的. 现在我们来证明K(t,s)满足性质. 我们需要得到Φ(s), 一个子区间⊂和一个常数, 使得,.上界估计.我们取).情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t则.情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 则..下界估计.我们取⊂.情形1.s≤η.如果s≤ξ,s≤t, 则(s).(s).情形2.s>η.如果s>ξ,s≤t, 这种情况不可能发生.如果s>ξ,s>t, 则).我们设是连续的.定义锥如下：记.引理3.1 算子A:P→P是全连续的.证明取u∈P.则s.s..现在我们假设D⊂P是有界集. 则存在一个常数M1>0, 对于任意的u∈D, 有≤M1.综上, 我们证得A(D)是相对紧的. 令,s..另一的方面, 对ε>0, 由于G(t,s)在上连续, 从而在上一致连续.由一致连续的定义, 存在δ>0, 使得对任意当时,有，,最后我们证明A是连续的. 假设um(m=1,2，...),则存在M3>0使得对任意的.令..定理3.2 设(H1),(H2)成立,且在的任意子区间f(t,u)≠0. 则问题(3)-(4)在如下情况下有一个正解:且且证明超线性情形.由于,可以取H1>0, 当0<u≤H1时有f(t,u)≤εu, 其中ε>0并满足....其次, 由于，故存在,使得当时有f(t，u)≥μu，其中u>0且.取,...从而，由定理2.1和引理2.3,A在上有一个不动的点, 使得≤H2和,超线性部分的证明完成.次线性情形.由于，.....情形(1).f是有界的. 即对所有的有f(t,u)≤N. 在这种情况下选取则当时, 有.情形(2).f是无界的.选取使得..因此无论那种情形,u∈P∩∂Ω2,都有. 定理2.1的第二部分说明问题(1)-(2)在有一个正解. 这就完成了整个定理的证明.【相关文献】[1] Lin X L, Zhao Z Q. Sign-changing solution for a third-order boundary value problem in ordered Banach space with lattice structure [J]. Natural Science, 2014, 132: 1.[2] Cheng M. Nagumo theorems of third-order singular nonlinear value problems [J]. J Math Anal Appl, 2015, 135: 1.[3] Li Y K, Wang L Y. Multiple positive solutions of nonlinear third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Adv Diff Equ, 2015, 90: 1.[4] Fan H X, Ma R Y. Loss of positivity in a nonlinear second order ordinary differentialequations [J]. Nonlinear Analysis, 2009, 71: 437.[5] Tokmak F, Karaca I Y. Existence of positive solutions for third-order boundary value problems with integral boundary conditions on time scales [J]. Inequal Appl, 2013, 498: 1.[6] Infante G. Eigenvalues of some non-local boundary value problems [J]. Proc Edinb Math Soc, 2003, 46: 75.[7] Webb J R L. Positive solutions of some three point boundary value problems via fixed point index theory [J]. Nonlinear Analysis, 2001, 47: 4319.[8] Guo Y P, Liu Y J, Liang Y C. Positive solutions for the third-order boundary value problems with the second derivatives [J]. Bound Value Probl, 2012, 34: 1.[9] Sergey S. Nonlocal third order boundary value problems with solutions that change sign [J]. Mathematical and Analysis, 2014, 19: 145.[10] Rochdi J. Positive solution of system of third-order boundary value problem with three-point and integral boundary conditions [J]. J Bull Math Anal Appl, 2014, 6: 60.。
非线性奇异半正二阶三点边值问题的正解
（１ １） ．
由于奇 异边值 问题 广泛 的数学 与物 理应用 背景 ，近年来 对 它 的研 究 非 常活 跃 ， 许 多实 际 问题 中我们 在 往往 只关心 正解 的存在性 ，参见 文献 ［— ，— ］ 随后 的参 考文 献．文 献 ［ ］ ＆ ￡ 一６ ￡ 一０ 一１非线 性 １２ ４７ 及 ３ 在 （） （） ， 项非负 的情况 下 ，利用 Ｋｒｓ ｏｅｓ ｉ锥拉 伸与 锥压缩 不动 点定 理 ，考察 了正 解 的存 在性 ，非存 在性 及 多解 ａ ｎ ｓｌｋｉ
』０）一 ＆ １）一＋（ （＋，，一 ，＜ ＜ ， ｌ￡ ０，“（． ａ６） ￡ （ ） ０ ￡ “ （ （ “（力“ ，＋ ￡ ｆ ￡ ） ￡ ） ） “ ０ “（
正解 的存在 性 ， 中 ａ 其 ＞Ｏ是 参数 ， ＜ ７ ， ０ ７ ａ是正 常数 ， （ ， ）允许 在 ￡ ，一１处奇 异． ＜１ ｆ ｔ“ 一０ ￡
蒋继 强①， 吕志伟 ②， 刘 立 山①
（ 曲 阜 师范 大 学 数 学 科 学 学 院 ，２ ３ ６ ，山东 省 曲阜 市 ；② 安 阳工 学 院 理 学 部 ， ５ ０ ０ ① ７１５ ４ ５ ０ ，河南 省 安 阳 市 ）
摘要 ： 运用锥拉伸与压缩 不动点定理研究非线性奇异半正 二阶三点边值 问题正解 的存 在性 ， 推广 了一
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曲阜 师范 大学 学报 （ 自然科 学版）
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（ ） ｎ ［ ，］ ｂ （ ０ １ ， 一ｏ ， ） ． Ｈ２ ∈ｃ ０ １ ，ＥＣ ［ ，］ （ ｏ ０ ）
引理 ２ Ｉ ．嘲 设 条件 （ ）成立 ．若 与 分别 是线性 问题 Ｈ
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收稿 日期 ： ０ １—１ ２１ ０—２ ０
基 金 项 目 ： 家 自然科 学 基 金 资 助 项 目（ １ ７ １ ９ 国 １０ １ ０ ） 作者简介 ： 庆六（９６ ）男 ， 姚 １ ４ 一 ， 上海 人 ， 授 ， 要 从 事 非 线 性 常 微 分 方 程 研 究 ， － ｉ ｙ ｏｉｇｉ２ ０ ＠ ｈ ｔ ｉ ｃｒ 教 主 Ｅ ｍａ ：ａｑｎ ｌ ０２ ｏｍａ ．ｏ ｌ ｕ ｔ ｎ
２
滨 州 学 院 学 报
第 ２ ７卷
数 ｙＥ Ｃ（ ，）及连续 函数 ｇ：０ ＋ ｏ ） ［ ， Ｑ ） 得 Ｏ１ ［， ｏ 一 Ｏ ＋ ｏ 使
ｌ ｕ ｇ（ ） ｕ＜＋ ∞ ｉ ｓｐ ｕ ／ ａ ｒ
并 且 ｆ（ ， ｔ ）≤ Ｍｕ ＋ ｙ ￡ ｇ（ ， ￡“ 一 （） “） （ ， ）Ｅ （ １ ０， ）× （ ＋ Ｏ３ ． ０， ＜）
则 问 题 （ ） 少 有 一 个 正 解 Ｕ Ｅ Ｋ． Ｐ 至
本 文将证 明下列 存在 定理 ， 一定理 改 进 了定 理 １ 这 ． 定理 ２ 假设（１ Ｂ ）ｆ：Ｏ １ × （ ， 。 ） ［ ， 。 ） （ ，） ０ ４ 。 一 ０ ４ 。 连续 并且存 在 正数 Ｍ ＞ ０ ０＜ ｄ＜ １ 非 负函 － － ， ，
解存在 定 理．
关键 词 ： 非线性 常微 分 方程 ； 奇异 边值 问题 ； 解 ； 正 存在 性
中 图分 类 号 ： ７ ． ０ １ ５８ 文献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ３—２ １ （ ０ １ ０ —０ ０ —０ １７ ６８ ２１ ）６ ０ １ ５
本 文 考察 下列 非线性 三 阶两 点边 值 问题 的正解 ，
则 问题 （ ）至少有 一个 正解 “ Ｅ Ｋ． Ｐ
定理 ２ 的改 进体 现在允 许 函数 ｆ ｔ 在 ｔ ０ ｔ １ “一 ０处奇 异． 个 简单 的例 子是 在 （ ）中设 （， ） 一 ，一 及 一 Ｐ
一
姑 庆 六 ＆
（ 南京 财经 大学 应用 数学 系 ， 江苏 南京 ２ ０ ０ ） １ ０ ３
摘 要 ： 究 了一 类非 线性 三 阶两点 边值 问题 的正 解． 这个 问题 中非线 性项具 有 时间和状 研 在
态 的奇异 性． 通过 构造 适 当的锥 并且 考察 非线 性项 在 无 穷远 处 的增 长速 度 的极 限获得 了一 个 正
ｄｉｅ ｌｗ） ｒ ｎｆ ｖ ｏ 等口 ． 流体 力学 中 ， 阶方 程 出现在 耗散 流 （ ｒｉｉｇｆ ｗ）与附 面流 （ｏ ｔ ｇｆ ｗ） ］在 三 ｄａｎｎ ｌ ｏ ｃ ａｉ ｌ ｎ ｏ 的研究
中 ． 年来非 线 性三 阶两 点边 值 问题 的研 究 比较 活跃 ． 近 卜 涉及 问题 （ Ｐ）的结 论亦 有不 少 ， ． ｓ ． 利 用常 规方 法容 易获 得 问题 （ ）的下 列次 线性 增长 型 的正解存 在定 理 ］ Ｐ 。 ． 定 理 １ 假 设 （ ）ｆ：０ １ Ａ１ ［ ，］× ［ ， 。 ） ［ ， 。 ） ０ ４ 。 一 ０ ４ 。 连续 ． － －
’ Ｂ ） ：０ １ 一 ［ ， 。 ） 续并且 （ ２ｈ （ ，） Ｏ＋ 。 连
ｏ ｊ（一）≤０￡ａｄ —。０￡ ￡ ＜ 。 ＜ ｄ （－）＜ 。 （，ｄ — ． Ｊ ）（￡Ｊ ）（￡卜 ， ） ） 卜 ’ ｑ￡ ｑ￡ ￡ Ｊ （ 』 ）￡ 。
（ ３ ｉ ｆ ｉｆ ｔ“ ＞ ０ Ｉ （ ［ ｉ ｕ ｆ ｔ“ ／ ］￡ ：２ Ｂ ）ｌ ｉ ｎ （，） ａ ｒ ｎｍ ， ＾ １ ｓｐ （，） ｄ ＜ ． ） ｍ
因 而 总 是 假 设 ｌ ｆｍ ｎ ｔ ｉ ｉ ｉｆ（， ｍ ｎ ）＞ ０ 这 里 ０＜ ａ ． ＜ ＜ １在 实 际 问题 中 可 以 根 据 非 线 性 项 ｈ ｔｆ ｔ“ ． （） （，）的性
质选 择 ａ 例如 ａ一 １ ４ 一 ３ ４ ， ／， ／．
文中 ｃ ｏ１ 为赋予范数 Ｉ ｊ—ｏＧ ≤ｘＩ （ 的 Ｂｎｃ 空１， ｑ￡ 一 去 ２ ， Ｋ是 ｃｏ１ ［， ］ Ｉ “ｌ ｍ ｌ “ ａ ）ｌ ａａ ｈ ９ 函数 （ ） 厶 （一 ）而 ［， ］ ｒ
第 ２ 卷 第 ６期 ７
Ｖｏ１ ２７， ．６ ． Ｎｏ
滨州 学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｕＵ ｎｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆＢｉｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ
２１ Ｏ １年 １ ２月
Ｄ ｅ ．， Ｏ１ ｃ ２ １
【 分 方 程 与 动 力 系 统 研 究】 微
非 线 性 奇 异 三 阶 两 点 边 值 问题 的 个 正解 存 在 定 理
（ ） － ｔ ｆ（ ， ）一 ０， ＜ １． ４ ｈ（） ｔ （） ０＜ ｒ ｐ、
１ （）一 （） ｔ１ 一０ “０ ０ 一ａ（） ．
这里 问题 （ ） Ｐ 的正解 是指 （ ） Ｐ 满足 Ｕ ＞ ００ ｔ １ （） ， ＜ ≤ 的解 ． 本文致 力于 函数 ｆ ｔ“ 在 Ｕ一 ０ 奇异的情况 ， （， ） 处
中的如 下非 负 函数锥 ：
பைடு நூலகம்
Ｋ 一 ｛ ［ ， ］ “ ￡ ≥ ｌ ｑ ￡ ， ＵＥ ｃ ｏ １ ： （） ｌ ｌ ｌ （） ０≤ ｔ １ ． Ｕ ≤ ｝
三 阶 微 分 方 程 有 着 广 泛 的 应 用 ． 如 在 物 理 学 中 可 以 利 用 它 研 究 电 磁 波 或 者 重 力 驱 动 流 （ ｒｖｔ 例 ｇａ ｉ ｙ
ｒＲ
（ ２ ｈ ［ ，］ ［ ， 。］ Ａ ） ：０ １ 一 ０ ４ 。 连续并且√Ｉ （）ｔ ０ － ｄ＞ ． ｈ
（ ） ｌ ｉｆｒ ｉ ｆ（ ， ）＞ ０， ｉ ｍａ （ ， ） ｕ 一 ０ Ａ３ ｉ ｎ ｎ ｔ “ ｍ ａ ｌ ａ ｒ ｘ厂 ｔ “ ．
“ ＋０ 一 口 ｆ ≤ ≤口 “ ＋。 ≤ ｆ １ 一 。Ｏ ≤