§ 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法
解的存在唯一性定理与逐步逼近法习题与解答
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法习题与解答1 求方程dxdy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ϕ 200200121)()(x xdx dx y x y x xx ==++=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++2 求方程dxdy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ϕ则 200200121)()(x xdx dx y x y x xx ==-+=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20121([)(252003--+=⎰ϕ =1185244001160120121x x x x -+-3 题 求初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=41 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤41 令 )(0X ψ=0 ;)(1x ψ=y 0+⎰-xx x 0)0(2dx=31x 3+31; )(2x ψ =y 0+])3131([2132⎰-+-xx x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 yy x f ∂∂),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤322)12(*h L M +=24114 题 讨论方程：3123y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解；解：因为yy x f ∂∂),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而3123y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23又 因为y(0)=0 所以：y =x 23另外 y=0也是方程的解；故 方程的解为：y =⎪⎩⎪⎨⎧≥00023 x x x或 y=0;6题 证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数， 且满足不等式：f(t)≤k+⎰tds s g s f α)()(,βα≤≤t则有：f(t)≤kexp(⎰tds s g α)(),βα≤≤t证明：令R （t ）=⎰tds s g s f α)()(,则R '(T)=f(t)g(t)R '(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) ≤kg(t)R '(T)- R(t)g(t)≤kg(t);两边同乘以exp(-⎰tds s g α)() 则有：R '(T) exp(-⎰tds s g α)()-R(t)g(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤ kg(t) exp(-⎰tds s g α)()两边从α到t 积分：R(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤-⎰t ds s kg α)(exp(-⎰tdr r g α)()ds即 R(t) ≤⎰t ds s kg α)( exp(-⎰tsdr r g )()ds又 f(t) ≤1≤k+R(t) ≤k+k ⎰t s g α)(exp(-⎰tsdr r g )()ds≤k(1-1+ exp(-⎰t s dr r g )()=k exp(⎰stdr r g )()即 f(t) ≤k ⎰tdr r g α)(;7题 假设函数f(x,y)于（x 0,y 0）的领域内是y 的 不增函数，试证方程dxdy = f(x,y)满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多只有一个解； 证明：假设满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧有两个ψ(x),ϕ(x) 则满足：ϕ(x)= y 0+⎰xx x x f 0))(,(ϕdxψ(x)= y 0+⎰xx x x f 0))(,(ψdx不妨假设ϕ(x) ψ(x)，则ϕ(x)- ψ(x)≥0而ϕ(x)- ψ(x)= ⎰x x x x f 0))(,(ϕdx-⎰xx x x f 0))(,(ψdx=⎰-xx x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx又因为 f(x,y)在（x 0,y 0）的领域内是y 的 增函数，则： f(x, ϕ(x))-f(x, ψ(x))≤0则ϕ(x)- ψ(x)= ⎰-xx x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx ≤0则ϕ(x)- ψ(x)≤0所以 ϕ(x)- ψ(x)=0， 即 ϕ(x)= ψ(x) 则原命题方程满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多 只有一个解；。
一阶微分方程的解的存在性定理
y ( x )为积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于x0 x x0 h
x0
上的解。
现在我们先构造积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于 x0 x x0 h上的Picard的逐次逼近函数列 n ( x ) .
结果1：如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )存在且有界，则 f ( x , y )在R上关于y满足Lipschitz条件。
结果2：如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )连续，则f ( x , y ) 在R上关于y满足Lipschitz条件。
下面我们分五个命题来证明定理。为此先给出： 定义2（积分方程）：如果一个数学关系式中含有定积 分符号且在定积分符号下含有未知函数，则称这样的 数学关系式为一个积分方程。
x 例如， y e y(t )dt 0 x
就是一个简单的积分方程。
x
定义3(积分方程的解)对于积分方程 y y0 f ( x , y )dx，
满足初始条件
y( x0 ) y0 ,
y( x0 ) y0.
3. 近似计算和误差估计
存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性,同时还 给出了第n次近似解n(x)和真正解(x)的误差估计
n
ML n ( x) ( x) hn1 (n 1)!
有了误差估计式, 我们就可根据实际要求, 选取适当 的逼近函数 n ( x ).
问题：这样构造函数列是否行的通，即上述的积分是否有 意义？
命题2：对任意的自然数n， n ( x )在x0 x x0 h上有定义、 连续且满足不等式
n ( x) y0 b.
《常微分方程》第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d
MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0
x0 )n d
MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
Word可编辑_常微分方程理论知识与算法 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
第三章一阶微分方程的解的存在定理微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预料未来的可能情况。
对于反映某一运动规律的微分方程,如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它对某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解——“运动”具有所需的性能。
在第二章里，我们已经介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但同时指出，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此，对初值问题的研究被提到了重要的地位。
自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？容易举出解存在而不唯一的例子。
例如方程过点的解就不是唯一的。
事实上，易知是方程的过点的解。
此外，容易验证或更一般地,函数都是方程的过点而定义与区间上的解，这里的满足的任一数。
本章介绍的存在唯一定理完满地回答了上面提出的问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。
另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重大的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。
因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，显然问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。
解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和基础。
此外，我们将看到在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。
由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。
因此我们以它作为初始条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了了解对初始值的连续依赖性问题，即当初始值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去实用的意义，因它可能与实际情况产生很大的误差。
3.1存在性定理
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 教学内容：介绍和证明解的存在唯一性定理；近似解的求解以及误差估计。
教学目标：掌握解的存在唯一性定理及其证明方法----Picard 逼近法问题的提出：我们在第二章介绍了一阶微分方程的几种解法，同时告诉我们大量的一阶微分方程不能用初等解法求其通解，而现实中所需要的恰恰是满足某种初值条件的解（包括数值形式的数值解），我们把主要精力集中在cauchy 问题()00(,),,dyf x y dxx y ϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩的求解上。
与代数方程类似，对于不能用初等解法求解的微分方程，我们往往用数值方法求解（这是以后要学的计算方法的内容之一）。
在用数值方法求解cauchy 问题之前我们必须要解决两个基本问题。
（1）cauchy 问题()00(,)dyf x y dx x y ϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解是否存在？如果解不存在，要去求解就毫无意义。
后面我们将给出cauchy 问题解存在的一般条件。
（2）若已知cauchy 问题的解存在，我们还必须进一步确认这样的解是否唯一？由于解不唯一，却要近似的去求其解，其问题也不明确。
例如 22dyx y dx=+，形式简单，但不能用初等方法求解。
例如 考虑cauchy 问题()00dyy dx y ⎧'==⎪⎨⎪=⎩的解的情况。
易知0y =是方程的解。
此外容易验证，2y x =或更一般地，函数20,0,(),1x c y x c c x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩都是方程的过点（0，0）而定义于区间[0,1]上的解，其中c 是满足01c <<上的任意数。
解决问题的意义：1、 它是常微分方程理论中最基本的定理，具有重大的理论意义；2、 是进行近似计算的前提与基础，具有重大的实际意义；3、 定理的证明中给出了解的求解方法——Picard 逼近法，具有一般的意义，为求近似解提供了理论依据。
一、解的存在唯一性定理（一）首先考虑可从一般形式(,,)0F x y y '=解出 (,)dyf x y dx=的情形。
3.1解的存在唯一性与逐步逼近法
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。
•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
证明
因为 y (x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d (x) f (x, (x))
dx
两边从x0 到 x 积分得到:
x
(x) (x0 )
对所有 (x, y1 ), (x, y2 ) R 都成立。
L 称为利普希兹常数。
二 、存在唯一性定理
dy f (x, y).........(3.1.1) dx
定理1
R : x x0 a, y y0 b
如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件,
则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 y (x)
一阶方程的初值问题
•概念和定义利普希兹条件
定理1
•存在唯一性定理 定理1的证明命 命 命题 题 题132
命题4 命题5
附注
逐步逼近法的思想
定理2
•本节要求/Requirements/
➢ 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 ➢ 掌握逐步逼近方法的本思想
一 、概念与定义/Concept and Definition/
y
(
x0
)
y0 ,
y
'(x0 )
y0
'.............(3.1.4)
2. 利普希兹条件
函数 f (x, y) 称为在矩形域 : R : x x0 a, y y0 b …………(3.1.5)
关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L>0
使得不等式
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一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。
定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。
为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到，如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数(3.1.1.4)这样就得到连续函数序列：，，…，，….如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。
下面我们分五个命题来证明定理1。
命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
反之亦然。
证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到把(3.1.1.3)代入上式，即有因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.2 解的延拓
引例 : 考察 Riccati 方程 dy dx 1 ) 在矩形域 D : 1 x 1 , 1 y 1 上验证其满足解的存在 定理条件 , 并求出初值解存在区间 [ x 0 h , x 0 h ].
?h? 2 ) 若 D : 2 x 2 , 2 y 2, 则相应的结论如何
( 1 ) 命题 1) 原初值问题的解必定等 y y0
1 ( x ) 2 ( x ) (x)
k 1
价于如下积分方程 ( 3 . 2 )的连续解 .
: ( x I [ x 0 , x 0 h ])
明
x
x
f ( x , y ) dx
0
( 2 ) 构照一列 Picard 逐步逼近函数序列如下
注:
(1) 该定理说明若 必然局部存在且唯一 效果在于保证解曲线
b ( x ) , 其中 h min a , , M M
max
f (x, y).
f ( x , y )满足定理条件 , 其中解存在区间
, 则其初值解
y (x)
[ x 0 h , x 0 h ]中的 h 的 D 内部而不出超出 .
解 : 1) 由于 f ( x , y ) x
2
x
2
y , y(0) 0 唯一性
2
2 y 在 D 上连续 , 且 f y 2 y 在 D 上连续 ,
故方程满足解的存在唯
一性条件 .
1 1 又 a 1 , b 1 , M 2 ,因此 h min ,1 . 故解存在区间 2 2 2 1 2) a 2 , b 2 , M 8 , 此时 h min , 2 .故解存在区间 8 4
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x0 x
MLn n!
n ML n n 1 ( x ) d ( x x ) 0 0 x0 (n 1)! x
于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:
MLk 1 k ( x) k 1 ( x) ( x x0 ) k k!
使得不等式
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
对所有 ( x, y1 ), ( x, y2 ) R 都成立。
L 称为利普希兹常数。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
二 、存在唯一性定理 定理1
现在取 0 ( x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 ( x) y 0 x n ( x) y 0 f ( , n 1 ( ))d x0 (3.1.9)
x0 h x x0 h
0 ( x) y0
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
设对于正整数 n , 不等式
MLn1 n ( x) n1 ( x) ( x x0 ) n 成立， n!
x x0
n1 ( x) n ( x) f ( , n ( )) f ( , n1 ( ))d
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
在 x0 x x0 h 上有定义，连续。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
即命题２在 n=k＋１时也成立。 由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立。 命题２证毕
n ( x) 在 x0 x x0 h上是一致收敛的。 命题３ 函数序列
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n ( x) y0 b
当 n =1 时,
(3.1.10)
x
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
1 ( x) y0 f ( , y0 )d
x0
1 ( x) y0
x x0
x
x0
f ( , y 0 )d
f ( , y0 ) d M ( x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 ( x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。 即 当 n=k 时， k ( x)在 x0 x x0 h 上有定义，连续， 也就是满足不等式
k 1
(3.1.14)
hk 的一般项， k!
k 1 ML
由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法), 级数(3.1.11) 在 x0 x x0 h 上一致收敛,
n ( x) 也在 x0 x x0 h 上一致收敛。 因而序列
命题3证毕
考虑级数:
0 ( x) [ k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1
(3.1.11)
0 ( x) 它的部分和为：
[
k 1
n
k
( x) k 1 ( x)] n ( x)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛
命题 4 证明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解 命题 5 证明唯一性
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
定理1的证明
dy f ( x, y)......... (3.1.1) 命题1 设 y ( x) 是初值问题 dx ...(3.1.2) ( x0 ) y 0 ..........
1 ( x) 0 ( x) f ( , 0 ( )) d M ( x x0 )
2 ( x) 1 ( x) f ( ,1 ( )) f ( , 0 ( )) d
x0 x
L 1 ( ) 0 ( ) d
x0
x
ML ( x x0 ) 2 L M ( x0 )d x0 2!
的解的充要条件是 y ( x) 是积分方程
y y0 f ( x, y)dx
x0
x
x0 x x0 h ……(3.1.6)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。 •积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
0 ( x) [k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1
为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:
n ( x) y0 f ( ,n1 ( ))d
x0
x x0
x
x0 h x x0 h
(3.1.12)
一阶方程的初值问题 •概念和定义 利普希兹条件
1 定理 1 命题 命题2 定理 1 的证明 命题3 命题4 命题5 附注 逐步逼近法的思想 定理2
•存在唯一性定理
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
这里 h min( a,
b ) M
M max f ( x, y )
( x , yR )
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
定理1的证明需要证明五个命题：
命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列
k ( x) y0 b
k 1 ( x) y0 f ( , k ( ))d
x0 x
而当 n=k&1 ( x) y0 f ( , k ( )) d M ( x x0 ) Mh b
k 1 ( x)
•本节要求/Requirements/ 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 掌握逐步逼近方法的本思想
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
证明 因为 y ( x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d ( x ) f ( x, ( x)) dx
x x0
两边从x0 到 x 积分得到:
( x) ( x0 ) f ( x, ( x))dx
把(3.1.2)代入上式,即有:
x0 x x0 h
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
x
x0 x x0 h
因此, y ( x) 是积分方程在 x0 x x0 h 上的连续解.
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
反之，如果 y ( x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
x
x0 x x0 h ………(3.1.8)
微分之，得到: 又把
d ( x ) f ( x, ( x)) dx
x x0 代入(3.1.8)，得到: ( x0 ) y0
y
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
x0
x
y0+b
1 ( x)
y0
y0-b
1 ( x)
o x0-a x0-h x0 x0+h x0+a x
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 ( x) y 0 x n ( x) y 0 f ( , n 1 ( ))d x0 x x0 h x0 命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n ( x) 在
§ 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法
/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
内容提要/Constant Abstract/
dy f ( x, y ).................(3.1.1) dx ( x0 ) y0 .....................(3.1.2)