一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程)()(x q y x p dxdy +=解的存在唯一性定理的证明摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:b y y a x x ≤-≤-00,上的连续函数.函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对于所有的R y x y x ∈),(),,(21 都成立,L 称为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程)()(x q y x p dxdy+=(1)解的存在唯一性定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件:00)(y x =ϕ 这里 ),min(Mba h = ),(max y x f M = R y x ∈),( 我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间h x x x +≤≤00来讨论,对于00x x h x ≤≤-的讨论完全一样.现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程[]⎰++=xx dx x q y x p y y 0)()(0的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来替代,因此也就等价于求积分方程 ⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 的连续解,然后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数)(0x ϕ 代入上面的积分方程右端的y 就得到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然)(1x ϕ也是连续解,如果)(1x ϕ≡)(0x ϕ那么)(0x ϕ就是积分方程的解.否则,我们又把)(1x ϕ代入积分方程右端的y 得到dx x x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ≡)(2x ϕ)(1x ϕ,那么)(1x ϕ就是积分方程的解,否则我们继续这个步骤.一般地做函数 dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ(2)这样就得到连续函数序列)(0x ϕ ,)(1x ϕ…)(x n ϕ…如果≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ那么)(x n ϕ就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(x ϕ即)()(lim x x n n ϕϕ=∞→ 存在因此对(2)取极限就得到dx x x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ=dx x x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ=dx x x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说)(x ϕ是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数)(x n ϕ称为问题(1)的n 次近似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设)(x y ϕ=是一阶线形微分方程(1)的定义于区间h x x x +≤≤00上的,且满足初始条件00)(y x =ϕ的解,则)(x y ϕ=是积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0(h x x x +≤≤00)的定义于h x x x +≤≤00上的连续解,反之亦然.因为)(x y ϕ=是一阶线形微分方程(1)的解故有))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 两边从0x 到x 取定积分得到dx x x f x x xx ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕ h x x x +≤≤00把00)(y x =ϕ代上式,即有dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ h x x x +≤≤00因此, )(x y ϕ=是积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0定义于h x x x +≤≤00上的连续解反之如果)(x y ϕ=是积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0的连续解,则有dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ h x x x +≤≤00 (3)微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 又把0x x =代入(3)得到00)(y x =ϕ因此)(x y ϕ=是方程(1)的定义于 h x x x +≤≤00上且满足初始条件00)(y x =ϕ的解.命题1证毕.现在取00)(y x =ϕ,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕ h x x x +≤≤00 (n=1,2,…)(4)命题2 函数序列{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上是一致收敛的 证明:我们考虑级数[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕ h x x x +≤≤00(5)它的部分和为[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ=)(x ϕ因此,要证明序列{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上一致收敛,只需证明级数(5)在h x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有)())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ (6)及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕξξd x M L xx ⎰-≤0)(0=20)(!2x x ML- 设对于正整数n,不等式n n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ 成立,则有利普希兹条件,当h x x x +≤≤00时,有⎰-+-≤-xx n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!0+-+=-≤⎰n n xx nn x x n ML d x n ML ξξ 于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ h x x x +≤≤00 (7)从而可知,当h x x x +≤≤00时kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ (8)(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在h x x x +≤≤00上一致收敛,因而序列{})(x n ϕ也在h x x x +≤≤00上一致收敛,命题2证毕.命题3 )(x ϕ是积分方程(2)的定义于h x x x +≤≤00上的连续解. 证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上一致收敛于)(x ϕ,即知序列 {}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在h x x x +≤≤00上一致收敛于{})(,(x x f ϕ.因而对于(4)两边取极限,得到dx x x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ=⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说)(x ϕ是积分方程(2)的定义于h x x x +≤≤00上的连续解.命题3证毕.命题4 设)(x φ是积分方程(2)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解,则)()(x x ϕφ≡ , h x x x +≤≤00证明:我们首先证明)(x φ也是序列{})(x n ϕ的一致收敛极限函数.为此,从00)(y x =ϕ⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ (n=1,2,…)ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ 现设n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ,则有 ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ 故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ (10) 因此,在h x x x +≤≤00上有1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ (11) 1)!1(++n n h n ML 是收敛级数的公项,故0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时因而{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上一致收敛于)(x φ,根据极限的唯一性,即得)()(x x ϕφ≡ h x x x +≤≤00 命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程)()(x q y x p dxdy+=解的存在唯一定理的证明.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

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