一阶微分方程典型例题
典型的一阶微分方程1常微分方程
解:这是一阶线性微分方程
由公式, 可得其通解为
P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dxdx C]
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
y 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次方程
非齐次方程特解
通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
f
ax by c
(ax
by)
c1
作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程
dz dx
a
bf
zc
z c1
例4 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
1
1 2 0,
11
方程组hh
k k
1 0 3 0,
h
1, k
2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
四节一阶微分方程应用举例-文档资料
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
可分离变量方程求解
( 4 )y 2 ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y 2 ) d y 0 变方程为 y2xdxdy3y2(ydxxdy)0
两边乘积分因子 y2
x d x y 2 d y 3 ( y d x x d y ) 0
用凑微分法得通解:
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
例1. 求下列方程的通解 (1)yy12ey3x 0;
(3) y2x1y2 ;
(2 )xyx2y2y; (4) y36xx23y3x2yy23.
提示: (1) 因 ey3xey3ex,故为分离变量方程:
y2ey3dyexdx
(ba),且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 .
y
A
h b
Pa
提示: 如图所示建立坐标系. 则
a(a,0)
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
bbPO0b
x, x2y2
y
x2y2
y A
鸭子的实际运动速度为 v dx, dy ,
dt dt
用线性方程通解公式求解 .
(4) y36xx23y3x2yy23 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
(整理)一阶常微分方程习题(一).
一阶常微分方程习题（一）1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）2） y(1+x 2y 2)dx=xdy 3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
高数一阶微分方程(可分离变量型)
【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
一阶微分方程求解例题
一阶微分方程求解例题今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。
因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。
接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。
先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。
一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。
因为常数 c越大，方程的解就越难求解。
但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。
这里就需要把 c值降低到0或1。
此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。
所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。
再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。
那么这个最大值问题解决了吗？二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。
由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。
注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。
于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。
我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。
但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。
一阶线性微分方程例题与习题
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
高等数学 上、下册6_4 一阶线性微分方程的应用举例
在空中下落时，同时受到重力 P
与阻力 R 的作用（图 6-5）.重力
大小为 mg 方向与 v 一致，阻力大 小为 kv（k 为比例系数），方向与 v
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（ 其 中 a 为 加 速 度 ）， 得 函 数v(t ) 应 满 足 的 方 程 为
(2)分 辨 所 建 立 的 微 分 方 程 的 类 型 ， 运 用 相 应 解 法 求 出 其通解；
(3)利 用 初 始 条 件 ， 定 出 通 解 中 的 任 意 常 数 ， 求 得 满 足 初始条件的特解；
(4)根 据 某 些 实 际 问 题 的 需 要 ， 利 用 所 求 得 的 特 解 来 解 释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果.
Y y 1 (X x) y
如图 6-4 所示,令 Y=0，得法 线在 x 轴上的截距为
X yy x，
y
P(x,y)
QO
x
图6-4
由题设条件得
x yy x 0 2
即得曲线 y=y(x)应满足微分方程 yy 2x 0
（1）
由于曲线通过点（2，3），故得初始条件
ⅲ ） 确 定 任 意 常 数 以 求 得 特 解 将 初 始 条 件 （ 6） 带 入 通 解 ， 解 得C=9,则 所 求 曲 线
方 程 为
y x2y29.
* 例4容器内有100L的盐水,含10kg的盐， 先以3L/min 的均匀速率，往容器内注入（定净水与盐水立刻混合） ，
又以2L/min的均匀速率从容器中抽出盐水，问60min后 容器内盐水中盐的含量是多少？
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一阶微分方程典型例题
例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .
解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有
)(x N kx dt
dx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNt
kNt
ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0
0x N x c −= 例2 求2
sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02
sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22
sin −=, 积分之，得通积分 2
sin 44tan ln x c y −=. 对应于02
sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin
≠y ，故所求通解中可能会失去使 02
sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y
的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x
y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠
∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x
e x x y x 11+−=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx
d =)(，积分后，得c
e x xy x +−=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x
e x x y x 11+−=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=−+−dx x xy dy x 满足初始条件 10
==x y 之特解. 解 将原方程改写为1
cos 1222−=−+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫−∫=∫−−−
c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2−+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =−，故特解为2sin 11
x y x −=−. 例5 求方程 4y
x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程
31y x y dx dy =−. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫=∫−c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
例6 求方程22y xy y x =+′满足初始条件11==x y 的特解. 解法1 将原方程写成对称形式0)(22=+−dy x dx y xy 记 22)(,),(x x q y xy y x p =−=.由于),(),(),,(),(22y x q t ty tx q y x p t ty tx p ==，因此原方程是齐次方程. 令xu y =则u x u y ′+=′，代入原方程，得u u u x 22−=′ 分离变量后，有
x dx u u du =−22 积分得22cx u u =−，即22cx y x y =−.再由 11==x y ，得1−=c ，故特解为212x x y +=
. 解法2 将原方程改写为 122=+′y x y y
x ，这是伯努利方程. 因为 111222=+′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=+′y x y x y x y y x ，故令 z y =1，于是有211x z x z −=−′ 解之，得cx x c dx x x z +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫2113，即2212cx x y +=.再由 11==x y ，得 21=c ，于是 2
12x x y +=. 例7 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧p OA
对于上任一点(,)P x y ，曲线弧p OP 与有向线段OP 所围图形的面积为 ，求曲线弧p OA 的方程. 解：设曲线弧p OA 的方程为)(x y y =，p OA
上任一点改写为),(00y x P ，则p OP 与OP 所围图形的面积可表为00 000 0 001()()2x x y y t t dt y t dt y x ⎡⎤−=−⎢⎥⎣
⎦∫∫. 然后再将00,y x 换为 y x ,.据题意得)0(,2
1)(20>=−∫x x xy dt t y x
两端对x 求导，得x y x y y 22121=′−−，即41−=−′y x
y ，其通解为)(ln 4c x x y +=−. 由初始条件 11==x y 得1=c 得出，故所求曲线弧p OA
的方程为 ⎩
⎨⎧=≤<+=−0010)1(ln 4x x x x y。