第七章 微分方程经典例题

第七章 微分方程

例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.

解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为

62.0dt

dV

Q ?=＝

孔口截面面积 重力加速度

,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ①

设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-=

,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ②

比较①和②得:

,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g

dt ---

=π

,1000==t h ,1015

14

262.05??

=

∴g

C π

所求规律为 ).310107(265.45335h h g

t +-?=

π

例10 求解微分方程

.2222xy

y dy

y xy x dx -=+-

解 原方程变形为=+--=222

2y xy x xy y dx dy ,1222

?

??

??+--???

??x y x y x y x y 令,x

y u =则,dx du

x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?

?

????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx

du = 两边积分得

,ln ln ln 2

1

)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

整理得

.)2(12

/3Cx u u u =--

所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-

例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面. 解 设旋转轴Ox 轴，光源在),0,0( ),(:x y y L =

设),(y x M 为L 上任一点，MT 为切线，斜率为,y 'MN 为法线，斜率为,1y '

-

,NMR OMN ∠=∠ ,t a n t a n N M R O M N ∠=∠∴

由夹角正切公式得

,11tan y x y x y

y OMN '

--'-

=

∠ ,1

t a n y N M R '=∠ 得微分方程 ,02=-'+'y y x y y ,12

+???

? ??±

-='y x y

x

y 令 ,x y u =方程化为 ,112

u

u dx du x u +±-=+ 分离变量得

,1)1(2

2x

dx

u u udu -

=+±+ 令 ,12

2

t u =+得

,)1(x

dx

t t tdt -=±

积分得 ,ln |1|ln x

C

t =± 即.112±=+x C u

平方化简得

,2222

x C

x

C u += 代回,x

y

u =

得 .222

??

? ??+

=C x C y

所求旋转轴为Ox 轴得旋转抛物面的方程为 .2222??

? ??+

=+C x C z y 例14（E07）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为

a

, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终

朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.

解 设水流速度为),|(|a a a =

鸭子游速为),|(|b b b = 则鸭子实际运动速度为.b a v += 取坐标系如图，设在时刻t 鸭子位于点),,(y x P 则鸭子运动速度},,{},{t t y x y x v v v == 故有

.y

x

t t v v y x dy dx ==现在),0,(a a = 而,be b = 其中e 为与PO 同方向的单位向量. 由},,{y x PO -=故,},{22y x y x e +-=

于是},,{2

2

y x y

x b b +-

=

=+=b a v .,2222?

??? ??+-

+-

y x by

y x bx

a 由此得微分方程

,22y

x by y x a v v dy dx y x

++-== 即 ,12

y x

y x b

a

dy dx ++???

? ??-= 初始条件为.0|==h y x 令

,u y

x =则,yu x =,u dy du y dy dx +=代入上面的方程,得

,12+-=u b

a dy du y

分离变量得

,1

2dy by

a

u du -

=+ 积分得),ln (ln C y b a arshu +-=即b a Cy sh u /)ln(-=],)()[(21

//b a b a Cy Cy -=-

故].)()[(21

])()[(2/1/1//b a b a b a b a Cy Cy C

Cy Cy y x +---=-=

将初始条件代入上式得,/1h C =故所求迹线方程为 2

h x =

,/1/1???

?

??????? ??-??? ??+-b a b a h y h y .0y h ≤≤

一、一阶线性微分方程 形如

)()(x Q y x P dx

dy

=+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当

,0)(≡x Q 方程(3.1)成为

0)(=+y x P dx

dy

(3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.

方程(3.2)的通解

.)(?-=dx x P Ce y (3.3)

其中C 为任意常数.

求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 ,)()(?-=dx

x P e

x u y

一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为

[]

?-?+=?dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)

二、伯努利方程：形如

n y x Q y x P dx

dy

)()(=+ (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .

伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以n

y ，得

),()(1x Q y x P dx

dy

y n n

=+-- 或 ),()()(11

11x Q y x P y n

n n =+'?--- 于是，令n

y

z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程

)()1()()1(x Q n z x P n dx

dz

-=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解

.)1)(()()1()()1(1??

?

??+-=??

?----C dx e n x Q e y dx x P n dx x P n n 例5（E03）求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解.

解 当将y 看作x 的函数时，方程变为

2

3

21xy y dx dy -=

这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x 看作y 的函数，方程改写为

1223

=+x y dy

dx

y 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为

0223=+x y dy dx y 分离变量，并积分得

,2?

?

-=y dy x dx 即211y

C x = 其中1C 为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1

)

(2

y y u x =代入原方程,得y

y u 1

)(=

' 积分得 C y y u +=||ln )(

故原方程的通解为)||(ln 1

2C y y

x +=，其中C 为任意常数.

例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L 的汽油，其中包含100g 的添加剂. 为冬季准备，每升含2g 添加剂的石油以40L/min 的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min 的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？

解 令y 是在时刻t 罐中的添加剂的总量. 易知100)0(=y . 在时刻t 罐中的溶液的总量 ()()t t t V 5800045408000-=-+= 因此，添加剂流出的速率为

()()()()t

t y t t y t V t y 58000454558000-=?-=?溶液流出的速率 添加剂流入的速率80402=?，得到微分方程 t y

dt dy 580004580--= 即

805800045=?-+y t

dt dy 于是，所求通解为

()()95800045

58000451600101600080-+-=???

? ??+???=---

?t C t C dt e e y dt t dt t

由100)0(=y 确定C ，得

()()016000010160009

=-+?-C ，8

1600

10

=

C ，

故初值问题的解是

()()9

8

16001600101016000-+

-=t t y ， 所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是

()()58.15121600201600

10

201016000)20(98

≈-+

?-=y g. 注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：

容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.

例10（E06） 求方程1)()(23=-+-+x y x x y x dx

dy

的通解. 解 令,u x y =-则,1+=dx du dx dy 于是得到伯努利方程.23u x xu dx

du -=+ 令,121u u z =

=-上式即变为一阶线性方程.3x xz dx

dz

=- 其通解为 2

2

x e z =

???

? ??+?

-

C dx e x x 232.2222--=x Ce x 回代原变量，即得到题设方程的通解

.2

1

1

22

2

--+=+

=x Ce x z

x y x

例11（E07）求解微分方程

.)(sin 12

x

y xy x dx dy -= 解 令,xy z =则

,dx

dy x y dx dz += ∴

x y dx

dz

+=???

? ??-x y xy x )(sin 12,sin 12z = 利用分离变量法解得 ,42s i n

2C x z z +=- 将xy z =代回，得所求通解为 .4)(2s i n

2C x xy xy +=- 二、),(y x f y '=''型

这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：

令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，

).,(p x f p ='

设其通解为

),,(1C x p ?=

然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程

).,(1C x dx

dy

?= 对它进行积分，即可得到原方程的通解

.),(21?+=C dx C x y ?

三、),(y y f y '=''型

这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有

.dy

dp p dx dy dy dp dx dp y =?==

'' 这样就将原方程就化为

).,(p y f dy

dp

p

= 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为

),,(1C y p y ?=='

这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解

.),(21C x C y dy

+=??

例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.

解 设绳索的最低点为.A 取y 轴通过点A 铅直向上，并取x 轴水平向右，且||OA 等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为).(x y y =考察绳索上点A 到另一点),(y x M 间的一段弧,AM 设其长为.s 假定绳索的线密度为，ρ则弧AM 的重量为

.gs ρ由于绳索是柔软的，因而在点A 处的张力沿水平的切线方向，其大小设为;H 在点M

处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为,θ其大小为T (如图).因作用于弧段AM 的外力相互平衡，把作用于弧段AM 上的力沿铅直及水平两方向解得

.cos ,

sin H T gs T ==θρθ

两式相除得 .1

t a n ???? ?

?==

g H a s a

ρθ

由于?

'+='=x

dx y s y 0

2,1,tan θ

代入上式即得 .1102

?'+=

'x dx y a

y 将上式两端对x 求导，便得)(x y y =满足得微分方程 .11

2y a

y '+=

'' (1) 取原点O 到点A 的距离为定值,a 即,||a OA =则初始条件为.0,00='===x x y a y

对方程(1)，设,p y ='则,dx

dp

y =

'''代入并分离变量得： a

dx

p dp =

+2

1

.1C a x p arsh +=

由00='=x y 得01=C .a x p arsh =

即a x sh y =' .2C a

x

a c h y += 将条件a y x ==0代入上式，得 .02=C

于是该绳索的曲线方程为 .2???

? ??

+==-a x

a x e e a a x a c h y 这曲线叫做悬链线.

),(y y f y '=''型

二、二阶变系数线性微分方程的一些解法

对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.

对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1?=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式

.1)(21211???

?????+=?-?dx e y C C y y dx x P

三、常数变易法

在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.

设有二阶非齐次线性方程

),()()(2

2x f y x Q dx dy

x P dx y d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程

0)()(2

2=++y x Q dx dy

x P dx

y d

的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.

设非齐次方程(5.10)具有形如

2211*y u y u y += (5.11)

的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数. 降阶法

例2（E01）已知x x

y sin 1=是方程0222=++y dx dy x dx

y d 的一个解, 试求方程的通解. 解 作变换?

=,1zdx y y 则有

dx

dy

?+=,

11zdx dx dy z y 22dx y d ?

++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有

,022111

=??

?

+ ??+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得

x z dx dz

cot 2-=?.sin 21x

C z = 故所求通解为

y ?

=zdx y 1?????

?+=

.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 2

1C x C x x

+-=).cos sin (112x C x C x -= 常数变易法

例3（E02）求方程x dx dy

x dx

y d =-

122的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.由

01

22=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 12

2＝ dx x dx dy d dx

dy 11=??? ??? ，

||ln ||ln ln

C x

dx

dy

+= 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解

.22

1C x C y +=

为求非齐次方程的一个解,*

y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,22

1u x u y +=*

则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组

???='?+'='?+'x u u x u u x 21

2121201.21

,21221

x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6

,213

21x u x u -

== 于是，题设原方程得一个特解为

.3

6213

3322

1x x x u x u y =-=?+?=*

从而题设方程的通解为 .3

3

22

1x C x C y ++= 例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y x

y x x y 的通解. 解 因为,01111=---+

x

x x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解

2y dx e e

e

dx x x

x x

?--?

=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组

????

?-='+'='+'1021

21

x u e u u e u x x x ?,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得

,1

x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x

内容要点

一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

0=+'+''qy y p y (6.1) 特征方程 ,02=++q pr r (6.2) 称特征方程的两个根,1r 2r 为特征根.

)

sin cos ()(,002121212121212121x C x C e y i r i r e x C C y r r e C e C y r r qy y p y q pr r x x

r x

r x r βββ

αβ

αα+=-=+=+==+==+'+''=++有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程 这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.

二、 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n (6.6)

其特征方程为

0111=++++--n n n n p r p r p r (6.7)

根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:

x

k k k k rx

k k e x x D x D D x x C x C C i k e x C x C C r k αβββ

α]sin )(cos )[()(111011101110------+++++++±+++ 复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根

注: n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各

含一个任意常数. 这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解为 .2211n n y C y C y C y +++=

例8（E05）求方程x x y y 2cos =+''的通解.

解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解

x C x C Y sin cos 21+=

作辅助方程.2ix xe y y =+''

i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*

ix e B Ax y +=代入辅助方程得

,034=-B Ai 13=-A ?,3

1-=A i B 94

-=

∴*y =??? ??--i x 9431ix e 2=??? ??--i x 943

1

)2sin 2(cos x i x +

i x x x -+-=2sin 942cos 31??

?

??+x x x 2sin 312cos 94

取实部得到所求非齐次方程的一个特解:

.2sin 9

4

2cos 31x x x y +-=

所求非齐次方程的通解为

.2sin 9

4

2cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=

例11 已知函数x x e x e y )1(2++=是二阶常系数非齐次线性微分方程

x ce by y a y =+'+''的一个特解, 试确定常数b a ,与c 及该方程的通解. 解 将已知方程的特解改写为,2x x x xe e e y ++=

因对应齐次方程的解应是rx e 型的,如x e 2是对应齐次方程的解, x e 也可能是，因原方程的自由项是,x Ce 而x xe 或x e x )1(+是原非齐次方程的解,故x e 也是对应齐次方程的解(即1=r 也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为

,0)1)(2(=--r r 即,0232=+-r r

于是得.2,3=-=b a 将x xe y =*代入方程x Ce y y y =+'-''23得

,2)1(3)2(x x x x Ce xe e x e x =++-+

原方程的通解为 .221x x x xe e C e C y ++=

内容要点

形如

)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++--- 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数.

欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =

将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求

出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解. 如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算

,dt

d

则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，

y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''，

一般地，有

y k D D D y x k k )1()1()(+--= .

例3 设有方程 ,0)0(),0(),1ln(])

1(2[)1(0

2

='≥+-''++=

+?y x x dx y x y y x x

求由此方程所确定的函数).(x y 解 将方程两边对x 求导，整理后得

y y x y x +'+-''+)1()1(2,11

x

+=

且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程

,22

2t e y dt dy

dt

y d -=+- 其通解为,4

1

)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为

,)

1(41

)1)](1ln([21x x x C C y ++

+++=

由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得

,4

11-=C ,212=C

故由题设方程确定的函数为

.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++??

?

???++-=

例1（E01）求解微分方程组 ?????=++=+++

)

2(035)

1(02y x dt

y x dt

dy

dt dx 解 由(2)得

,5

351y dt dy x --=,535122dt dy dt y d dt dx --= (3) 把(3)代入(1),得.022=+y dt

y

d 这是一个二阶常系数线性微分方程,易求出它的通解为

.sin cos 21t C t C y += (4)

将上式代入(3),得

.cos )3(5

1

sin )3(512121t C C t C C x +--= (5)

联立(4),(5)即得所求方程组的通解.

例3（E03）解微分方程组 ???????=++=-+.0,2

222y dt dx dt y d e x dt dy

dt

x d t

解 记,dt

d

D =

则方程组可写成 ?????=++=+-0

)1()1(22y D Dx e Dy x D t )2()

1( 设法消去变量,x 为此作如下运算:

D ?-)2()1(得t e y D x =--3 (3)

D ?+)2()1(得t De y D D =++-)1(24，即t e y D D =++-)1(24 (4)

方程(4)对应的齐次方程的特征方程为0124=++-r r 特征根为

,2512,1+±

=±=αr 2

5

14,3-±

=±=βi r 又易求得方程(4)一个特解为,*t e y =故方程(1)的通解为

t t t e t C t C e C e C y ++++=-ββααsin cos 4321 (5)

将其代入方程(3),可得

t t e C e C x αααα2313-=-t e t C t C 2sin cos 4333-+-ββββ (6)

联立(5),(6)即得所求方程组的通解.

追迹问题

例3（E03）设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0

v 向正北行走；甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n nv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.

解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻,t 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在

点).,1(0t v B 于是 .1tan 0x

y

t v y --='=θ (1) 由题设，曲线的弧长OP 为 ?

='+x

t nv dx y 0

02,1

解出,0t v 代入(1)，得

?'+=

+'-x

dx y n y y x 0

2.11)1( 整理得

.11

)1(2y n

y x '+=

''- 追迹问题的数学模型 设,),(p y x p y '=''='则方程化为 211

)1(p n

p x +=

'- 或 ,)

1(12

x n dx

p dp -=

+

两边积分，得

|,|ln |1|ln 1

)1ln(12

C x n p p +--

=++ 即 .1112n x

C p p -=++

将初始条件000=='==x x p y 代入上式，得.11=C 于是 ,11

12

n

x

y y -=

'++' (2)

两边同乘,12

y y '+-'并化简得

,112n x y y --='+-' (3)

(2)式与(3)式相加得 ,11121???

? ??---=

'n

n

x x y 两边积分得 .)1(1

)1(1

21211

C x n n x n n

y n

n n

n +??

?

???-++---

=+- 代入初始条件00==x y 得,1

22-=

n n

C 故所求追迹曲线为 ),1(1

)1(1

)

1(1

212

11>-+??????-++---=+-n n n x n n x n n y n

n n

n 甲追到乙时，即点P 的横坐标,1=x 此时.)1(2-=n n y 即乙行走至离A 点)1(2

-n n 个单

位距离时被甲追到.

例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).

解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点

O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为

),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dt

dy

t v =

由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,2

22y

kM

dt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数. 因为当R y =时，g dt

y

d -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).

,,2

2gR kM R

kM g ==

代入得到,22

22y

gR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y

先求物体到达地面时的速度. 由

,v dt

dy

=得 ,2

2dy dv

v dt dy dy dv dt dv dt

y d =?== 代入并分离变量得

dy y gR vdv 22-=

.2122

C y gR v +=

把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是

?

??

?

??-=l y gR v 11222 .112???? ??--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为

.)(2l

R l gR v --

= 再求物体落到地面所需的时间.

,112???

? ??--==l y g R v dt dy

,0l y t == 分离变量得 .21dy y

l y

g l R dt --

=

由条件,0l y t ==得.02=C

.a r c c o s 212

???

? ??+-=

l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为

.arccos 212

???

? ??+-=l R l R lR g l R t

例6（E06）在图7-10-8的电路中, 设

,1,40H L R =Ω= ,10164F C -?= t t E 10cos 100)(=

且初始电量和电流均为0, 求电量)(t Q 和电流).(t I

解 由已知条件知，可得到方程

,10cos 100625402

2t Q dt dQ

dt Q d =++

其特征方程为 ,0625402=++r r 特征根,15202,1i r ±-= 故对应齐次方程的通解为

).15sin 15cos ()(2120t C t C e t Q t c +=- 而非齐次方程的特解可设为

.10sin 10cos )(t B t A t Q p += 代入方程，并比较系数可得 .697

64

,69784==B A 所以 .10sin 6410cos 84(697

1

)(）t t t Q p += 从而所求方程的通解为 .10sin 1610cos 21(697

4

)15sin 15cos ()(2120）t t t C t C e

t Q t

++

+=- 利用初始条件,0)0(=Q 得到 ,069784)0(1=+=C Q .697

84

1-=C 又 t C C t C C e dt

dQ

t I t 15sin )2015(15cos )1520[()(212120--++-==

- )],10cos 1610sin 21(697

40t t +-+ 由,06976401520)0(21=++-=C C I 得.2091

464

2-=C 于是 ??

????++--=-)10sin 1610cos 21()15sin 11615cos 63(36974)(20t t t t e t Q t

[]

.)10cos 1610sin 21(120)15sin 1306015cos 1920(2091

1

)(20t t t t e t I t +-++-=

- 解)(t Q 中含有两部分，其中第一部分

[]

)(0.)15sin 11615cos 63(2091

1

)(20∞→→--=

-t t t e t Q t c 即当t 充分大时，有

).10sin 1610cos 21(697

4

)()(t t t Q t Q p +=

≈ 因此，)(t Q p 称为稳态解