广东省揭阳市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题(无答案)
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K 2＝4.236 P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参照附表，可得正确的结论是（ ）A ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C ．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D ．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关” 2．参数方程22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ∈R ）表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线3．已知向量(2,3),(,4)a b x ==，若()a a b ⊥-，则x =（ ） A ．1B ．12C ．2D ．34．若,27m N m *∈<，则(27)(28)(34)m m m ---等于（ ）A ．827m P -B ．2734mm P --C ．734m P -D ．834m P -5．已知函数()3sin cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭6．如图，平行六面体中，若，，，则下列向量中与相等的向量是( )C ．D ．7．已知m 是实数，函数()()2f x xx m =-，若()11f '-=-，则函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ．()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x ='的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )A ．B ．C ．D ．9．若函数()y f x =在x a =处的导数为()f'a ，则()()limf a x f a x x 0x+--→为( )A ．()f'aB ．()2f'aC ．()f'a 2D ．010．函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．11．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8A ．一B ．二C ．三D ．四二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设1111()23A n N n+=++++∈，()B n n N +=∈则A 与B 的大小关系是__． 14．如图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分BCD 内的概率为________.15．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n 的值为______. 16．设随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(14)0.8P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值. 18．已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=.()1求a 与b 的夹角；()2若OA a =， OB b =， 12OC OA =， 23OD OB =，且AD 与BC 交于点P ，求||OP .19．（6分）证明：若a>0221122a a a a+≥+=. 20．（6分）已知复数212121(10),(25)(0),z a i z a i az z R ．（1）求实数a 的值； （2）若2,||2zzz C ，求||z 的取值范围．21．（6分）设函数2()e mx f x x mx =+-．（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 22．（8分）（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】根据题意知观测值2K ，对照临界值得出结论. 【详解】利用独立性检验的方法求得2 4.236 3.841K =>，对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”． 故选A 项． 【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题． 2．A 【解析】 【分析】利用平方关系式消去参数θ可得225x y +=即可得到答案. 【详解】 由22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨=+⎩可得5cos 25sin 2x yx yθθ=+⎧⎨-=-⎩，所以222225(cos sin )(2)(2)x y x y θθ+=++-， 化简得225x y +=.本题考查了参数方程化普通方程，考查了平方关系式，考查了圆的标准方程，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】可求出()21a b x -=--，，根据()a ab ⊥-即可得出()0a a b ⋅-=，进行数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】()21a b x -=--，；∵()a ab ⊥-；∴()()2230a a b x ⋅-=--=； 解得12x =． 故选B. 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】(27)(28)(34)m m m ---、、、中最大的数为()34m -，(27)(28)(34)m m m ---、、、包含()342718-+=个数据，且8个数据是连续的正整数，由此可得到(27)(28)(34)m m m ---的表示.【详解】因为(27)(28)(34)(34)(28)(27)m m m m m m ---=---，所以表示从()34m -连乘到()27m -，一共是8个正整数连乘， 所以834(27)(28)(34)m m m m P ----=.故选：D. 【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：()()!!!n mn nP n P n m n m ==--的运用.5．B 【解析】的应用求出结果． 【详解】由题意，函数()3sin cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点， 则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+，则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 6．D 【解析】 【分析】 由题意可得,化简得到结果．【详解】 由题意可得,故选D.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题． 7．A 【解析】分析：根据函数f （x ）=x 2（x ﹣m ），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x ）求得m 的值，再令f′（x ）>0，解不等式即得函数f （x ）的单调增区间．∴﹣2（﹣1﹣m ）+1=﹣1 解得m=﹣2，∴令2x （x +2）+x 2>0，解得4x 3<-,或x>0， ∴函数f （x ）的单调减区间是()4,,0,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的方法 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x)；(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 8．C 【解析】 【分析】根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论. 【详解】根据()y f x ='的图象可知， 当0x <或2x >时，()0f x '>，所以函数()y f x =在区间(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，所以函数()y f x =在区间()0,2上单调递减， 由此可知函数()y f x =在0x =和2x =处取得极值， 并且在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值， 所以()y f x =的图象最有可能的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反. 9．B根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可． 【详解】()()()()()()()()()()limlimlimlimf a x f a x f a x f a f a f a x f a x f a f a x f a x 0x 0x 0x 0xxxx+--+-+--+---→=→=→+→-()()()f'a f'a 2f'a =+=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键． 10．D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π⎛⎫⎪⎝⎭的符号进行排除即可． 【详解】()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A Ccos sin 102222f ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，排除B ，故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.11．D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 12．D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限，即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．A≥B. 【解析】 【分析】，将A 放大，即可证明出A 、B 关系. 【详解】由题意：1A B =+⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅+==， 所以A B ≥. 【点睛】本题考查放缩法，根据常见的放缩方式，变换分母即可证得结果. 14．1e【解析】 【分析】利用微积分基本定理先计算出阴影部分的面积，根据几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形面积比等于对应的概率，即可计算出概率值. 【详解】由几何概型的知识可知：阴影部分的面积与长方形OABC 的面积之比等于所求概率，所以()1110111x xS e e dx e e e e =⨯-=-=--=⎰，21S e e =⨯=，所以所求概率为121S P S e==. 故答案为：1e. 【点睛】本题考查几何概型中的面积模型以及利用微积分基本定理求解定积分的值，属于综合型问题，难度一般.几何概型中的面积模型的计算公式：()A A P =构成事件的区域面积全部试验结果所构成的区域面积.15．120 【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n 详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人 所以女学生占的比例为10005240012= 女学生中抽取的人数为50人 所以5n 5012⨯= 所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数. 16．0.8 【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴2x =，根据正态曲线的特点，得到()()1045P P ξξ-<<=<<，从而可得结果. 详解：随机变量X 服从正态分布()22,N σ，2μ∴=，得对称轴是2x =，所以()()1045P P ξξ-<<=<<，可得(05)P ξ<<= ()04(45)P ξξ<<+<<= ()04(10)(14)0.8P P ξξξ<<+-<<=-<<=，故答案为0.8.相交，因此说明曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()1F x =-，max ()1F x =. 【解析】【分析】（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数32()3f x x x x m =+-+图像的切点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值；（2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值.【详解】（1）联立2223y x a y x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或05=3x -当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -时，0133y =-，12525132025279327m m ∴-+++=-⇒=- 2m ∴=或20227m =-（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2()31F x x '∴=-令()0F x '≥则x -≤≤11x ≤≤；令()0F x '<则x <<()F x ∴在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎡⎢⎣⎦上单调递减又(1)(1)1F F -==-，(139F -－＝，139⎛ ⎝⎭＝-min ()139F x F ∴==--，max ()(139F x F =-=- 【点睛】 此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题.18．()123πθ=；()272OP =. 【解析】【分析】 ()1化简(23)(2)61a b a b -⋅+=得到6a b ⋅=-，再利用夹角公式得到答案.()22(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+，根据向量关系化简得到1142OP a b =+，再平方得到27||4OP =得到答案. 【详解】()1(23)(2)61a b a b -⋅+=，∴224||43||61a a b b -⋅-=.又||4a =，||3b =，∴6442761a b -⋅-=，∴6a b ⋅=-.∴61cos 432a b a b θ⋅-===-⨯. 又0θπ≤≤，∴23πθ=. ()2 2(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+1(1)2y OP yOB y OC yb a -=+-=+∴11,22y x y -==，∴12,(1)43x y x ==-， ∴1142OP a b =+， ∴2221117||16444OP a a b b =+⋅+=， ∴7OP =. 【点睛】本题考查了向量的计算，将1142OP a b =+表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.19．见解析【解析】试题分析:用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,12a a ≥+即只要证2212a a ⎫⎛≥++⎪ ⎪⎝⎭，进而展开化简,可得只要证明210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故得证.试题解析:12a a≥+-12a a≥++因为0a >，所以不等式两边均大于零因此只需证2212a a ⎫⎛≥+⎪ ⎪⎝⎭，即证222211144a a a a a a ⎫+++≥++++⎪⎭12a a ⎫≥+⎪⎝⎭ 只需证222211122a a a a ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭，即证2212a a +≥ 只需证210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，而210a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭显然成立，所以原不等式成立. 点睛: 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法． 20．（1）3a =；（2）[1,3]．【解析】【分析】（1）根据题意，先计算出12z z +，再由12z z R +∈即可求出结果；（2）先由（1）知2z i =，再由复数的几何意义即可求出结果.【详解】（1）因为()21110z ai =+-，()225(0)z a i a =->， 所以()()()2212=110251215z z a i a i a a i +--+-=++-， 因为12z z R +∈，所以2215=0a a +-，解得5a =-或3a =，因为0a >，所以3a =．（2）由（1）知2z i =， 因为22z z -=，所以z 在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆．故||z 在复平面内表示z 对应的点到坐标原点的距离，所以||z 的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离，所以21||21z -≤≤+，即1||3z ≤≤．故||z 的取值范围为[]1,3．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型. 21．（1）()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（2）[1,1]-.【解析】（Ⅰ）()(1)2mx f x m e x -'=+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e -≤，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>． 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10mx e ->，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>． 所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()1f x f x e -≤-的充要条件是：(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-即1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-①，设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e =-'．当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．考点：导数的综合应用．22．（1）56；（2）840种，计算过程见解析【解析】【分析】（1）利用隔板法求结果；（2）将问题分4种情况分别得出其方案数，可求得结果，注意需考虑从同一个安检口的旅客的通过顺序.【详解】（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是38C 56=从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
广东省潮州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版含解析
广东省潮州市2018-2019学年下学期期末考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出复数，得到，即可得到答案.详解：故的共轭复数的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.2. 下列说法正确的是（）A. 两个变量的相关关系一定是线性相关B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于0C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加1个单位D. 对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大【答案】D【解析】分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位D.正确.故选D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．3. “因为指数函数是增函数（大前提），而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）”.上面推理错误的原因是（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 大前提和小前提都错误【答案】A【解析】试题分析：大前提：指数函数是增函数错误，只有在时才是增函数考点：推理三段论4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. -2B. 2C. 4D. 6【答案】D【解析】分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于对称，得到两个概率相等的区间关于对称，得到关于的方程，解方程求得详解：由题随机变量服从正态分布，且，则与关于对称，则故选D.点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．5. 在的展开式中，含项的系数为（）A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】B【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出的第项，令的指数为2求出展开式中的系数．然后求解即可．详解：6展开式中通项令可得，，∴展开式中x2项的系数为15，在的展开式中，含项的系数为：15．故选：B．点睛：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．6. 若，则实数的值为（）A. 1B. -2C. 2D. -2或1【答案】A【解析】分析：据积分的定义计算即可．详解：解得或（舍）.故选A点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键．7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了（）A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里【答案】B【解析】试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，，所以此人第天和第天共走了里，故选C.考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.8. 若函数的导函数的图象如图所示，则的图象有可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．详解：由的图象易得当时故函数在区间上单调递增；当时，f'（x）＜0，故函数在区间上单调递减；故选：C．点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．9. 小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二项分布的概率计算公式：概率即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是，∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率．故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是．故选D.点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．10. 函数在区间上的最大值是2，则常数（）A. -2B. 0C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是，则值可求．详解：令，解得：或，令，解得：∴在递增，在递减，，故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．11. 已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（）A. -1或2B. 0或2C. 2D. 1【答案】C【解析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．详解：由，得，∵是正项等差数列，∴，∵是等比数列，则，即故选：D．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．12. 已知函数，若且对任意的恒成立，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】分析：问题转化为对任意恒成立，求正整数的值．设函数，求其导函数，得到其导函数的零点位于内，且知此零点为函数的最小值点，经求解知，从而得到0，则正整数的最大值可求．．详解：因为，所以对任意恒成立，即问题转化为对任意恒成立．令，则令，则，所以函数在上单调递增．因为所以方程在上存在唯一实根，且满足．当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以所以因为），故整数的最大值是3，故选：B．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，如何求解函数的最小值，属难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，那么__________．【答案】8【解析】分析：利用排列数公式展开，解方程即可.详解：，解得.即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.14. 曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即；故填．考点：导数的几何意义．15. 将4个大小相同、颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有__________种．【答案】10【解析】分析：根据题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，即分两种情况讨论，分别求出其不同的放球方法数目，相加可得答案．详解：根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种，故答案为：10．点睛：本题考查组合数的运用，注意挖掘题目中的隐含条件，全面考虑．属中档题.16. 已知数列的前项和为，，且满足，若，，则的最小值为__________．【答案】-14【解析】分析：由，即利用等差数列的通项公式可得：当且仅当时，．即可得出结论．详解：由由，即．∴数列为等差数列，首项为-5，公差为1．可得：，当且仅当时，．已知，则最小值为即答案为-14.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或解题步骤）17. 某种产品的广告费用支出（万元）与销售（万元）之间有如下的对应数据：若由资料可知对呈线性相关关系，试求：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）据此估计广告费用支出为10万元时销售收入的值.（参考公式：，.）【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再做出的值，得到线性回归方程．（3）把所给的的值代入线性回归方程，求出的值，这里的的值是一个预报值，或者说是一个估计值．详解：（1）由题目条件可计算出，，，，故y关于x的线性回归方程为.（2）当时，，据此估计广告费用支出为10万元时销售收入为万元.点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属基础题．18. 已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是.求：（1）展开式中各项系数的和；（2）展开式中系数最大的项.【答案】（1）；（2）和.【解析】分析：（1）由条件求得，令，可得展开式的各项系数的和．(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则，解不等式即可.详解：展开式的通项为.依题意，，得.(1)令，则各项系数的和为.(2)设展开式中的第项、第项、第项的系数分别为，，.若第项的系数最大，则 , 得.于是系数最大的项是和.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．19. 某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于，和分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于分数段的人数的分布列和数学期望.【答案】（1），20；（2）.【解析】解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为＝50.分数在[70,80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．又[70,80)，[80,90)和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人，分数在[80,90)之间的有2人，分数在[90,100]之间的有1人．从中任取3人，共有C83＝56种不同的结果．被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.它们的概率分别是：P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.∴X的分布列为∴X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.20. 公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，证明对任意的，恒成立.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由已知，把此等式用公差表示出来，解得后可得通项公式；（2）由（1）计算出，为了证明不等式，要想办法求出和，但此和不可能求出，为了证不等式，由（），这样和通过放缩后就可求得，从而证得不等式成立．试题解析：（1）设数列的公差为由题∵，∴（2）由（1）得，∴，当时，成立.当时，，∴成立，所以对任意的正整数，不等式成立．考点：等差数列的通项公式，放缩法证明不等式．21. 设函数，，，其中是的导函数.（1）令，，，求的表达式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）求出的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）已知恒成立，即恒成立．设 (x≥0)，则φ′(x)＝=－＝，对进行讨论，求出的最小值，令恒成立即可；详解：由题设得，g(x)＝ (x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得g n(x)＝.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．②假设n＝k时结论成立，即g k(x)＝.那么，当n＝k＋1时，g k＋1(x)＝g(g k(x))＝＝，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．所以g n(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－ (x≥0)，则φ′(x)＝=－＝，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（1）判断直线与曲线的位置关系；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.【答案】（1）相离；（2）.【解析】试题分析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系的判断。
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】本题利用假设法进行解答.先假设甲获奖，可以发现甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；然后依次假设乙、丙、丁获奖，结合已知，选出正确答案.【详解】解:若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意；若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意；若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意.故选C.【点睛】本题考查了的数学推理论证能力，假设法是经常用到的方法. 2．二项式102x⎛+ ⎝的展开式中的常数项是 A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项 【答案】B【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102r r r C x -，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.3．设函数y =的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= A ．（1,2）B ．（1,2]C ．（-2,1）D ．[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x ⋂-≤≤⋂<=-≤<，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 4．已知实数x ，y满足(21x y =，则x 与y 的关系是（ ） A ．0x y ==B ．0xy =C ．20x y +=D ．20x y +> 【答案】C【解析】【分析】设a x =，2b y =+1ab =，对2a x b y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩222141a axb by ⎧-=⎨-=⎩，代入1ab =得24a x b b y a -=⎧⎨-=⎩，两式相加即可. 【详解】设a x =，2b y =+则1ab =且,0a b ≠2a x b y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩ 等式两边同时平方展开得：222222214441a ax x x b by y y ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 即222141a axb by ⎧-=⎨-=⎩ 令等式中1ab =，化简后可得：24a x b b y a-=⎧⎨-=⎩ 两式相加可得20x y +=故选：C【点睛】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题5．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54【答案】B【解析】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C 31×A 33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A 32×C 32×A 22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A 32×C 31×C 21×A 22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B ．考点：排列、组合的实际应用．6．在三棱锥S ABC -中，SA BC ==5SB AC ==，SC AB ==S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．100C ．50π D． 【答案】C【解析】分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线）， 设长方体的长、宽、高分别是,,a b c ，则有222222412534a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三个式子相加整理可得22250a b c ++=，所以长方体的对角线长为所以其外接球的半径R =， 所以其外接球的表面积2450S R ππ==，故选C.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.7．若x，y满足约束条件103020x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y+的最大值是（）A．9 2B．32C．13 D．13【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：22x y+表示可行域内的点(,)x y到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x yx+-=⎧⎨+=⎩解得32yx=⎧⎨=-⎩即()2,3A-点()2,3A-到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313maxx y+=-+=．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．8．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分的含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算得8152iix==∑，81228iiy==∑，821478iix==∑，811849i iix y==∑，则y对x的回归方程是()A．y＝11.47＋2.62x B．y＝－11.47＋2.62xC．y＝2.62＋11.47x D．y＝11.47－2.62x【答案】A【解析】分析：根据公式计算ˆb≈2.62，ˆa≈11.47，即得结果.详解：由1221,()ˆˆˆni i i n i i x y nxy b a y bx xn x ==-==--∑∑，直接计算得ˆb ≈2.62，ˆa ≈11.47，所以ˆy＝2.62x ＋11.47.选A.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .9．若7270127(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则0127||||||||a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．73【答案】D【解析】分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到73.详解：已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是()172r r r T C r +=-，故当r 为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到73. 故答案为D.点睛：这个题目考查了二项式中系数和的问题，二项式主要考查两种题型，一是考查系数和问题；二是考查特定项系数问题；在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10．现有下面三个命题1:p 常数数列既是等差数列也是等比数列；()22020:,log 10p x R x ∃∈+≤；3:p 直线y x =与曲线ln y x =相切.下列命题中为假命题的是（ ）A ．12p p ∨B ．()()12p p ⌝∨⌝C ．()13p p ⌝∧D ．()()23p p ⌝∨⌝【答案】C【解析】分析：首先确定,,p p p 123的真假，然后确定符合命题的真假即可.详解：考查所给命题的真假：对于1p ，当常数列为0,0,0,0时，该数列不是等比数列，命题1p 是假命题；对于2p ，当01x =时，()22010log x +≤，该命题为真命题； 对于3p ，由ln y x =可得1'y x=，令11x =可得1x =， 则函数ln y x =斜率为1k =的切线的切点坐标为()1,ln1，即()1,0，切线方程为()01y x -=-，即1y x =-，据此可知，直线y x =与曲线y lnx =不相切，该命题为假命题.考查所给的命题：A.12p p ∨为真命题；B.()()12p p ⌝∨⌝为真命题；C.()13p p ⌝∧为假命题；D.()()23p p ⌝∨⌝为真命题；本题选择C 选项.点睛：本题主要考查命题真假的判断，符合问题问题，且或非的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．i 是虚数单位，若12(,)1i a bi a b R i +=+∈+，则+a b 的值是 （ ） A ．12- B ．2- C ．2 D ．12【答案】C【解析】【分析】【详解】12331,,21222i i a bi a bi a b a b i ++=+⇒=+⇒==+=+ 12．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A ．1(0,)16B ．(1,0)C ．(0,1)D ．1(0,)8【答案】A【解析】分析：先把抛物线24y x =的方程化成标准方程，再求其焦点坐标.详解：由题得214x y =，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)研究圆锥曲线时，首先一般把曲线的方程化成标准方程再研究.二、填空题：本题共4小题13．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.【答案】8【解析】【分析】将曲线C 极坐标方程化为化为直角坐标方程，将直线l 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到韦达定理的形式；利用12AB t t =-可求得结果.【详解】曲线2:cos 4sin C ρθθ=的直角坐标方程为：24x y =，把直线,2:12x t l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24x y =得：280t --=，12t t ∴+=128t t =-，则128AB t t =-===.故答案为：8.【点睛】 本题考查极坐标与参数方程中的弦长问题的求解，涉及到极坐标化直角坐标，直线参数方程中参数的几何意义等知识的应用；关键是明确直线参数方程标准方程中参数t 的几何意义，利用几何意义知所求弦长为12AB t t =-.14．已知一个总体为：1、3、4、7、x ，且总体平均数是4，则这个总体的方差是______．【答案】4【解析】【分析】利用总体平均数为4求出实数x 的值，然后利用方差公式可求出总体的方差.【详解】由于该总体的平均数为4，则134745x ++++=，解得5x =. 因此，这个总体的方差为()()()()()22222143444745445-+-+-+-+-=.故答案为：4.【点睛】 本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.15．曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =-【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y ＝x ﹣1．故答案为：y ＝x ﹣1．【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．16．如果不等式20x ax b ++<的解集为()1,3-，那么a b +=_______.【答案】5-【解析】【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可知，1-和3时方程20x ax b ++=的两个实数根，利用韦达定理求解.【详解】不等式20x ax b ++<的解集为()1,3-∴20x ax b ++=的两个实数根是11x =-，23x = ，根据韦达定理可知()1313a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得：2,3a b =-=- ，5a b ∴+=-.故答案为：5-【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系，意在考查计算能力，属于基础题型.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省揭阳市2019-2020学年高二下学期期末2份数学经典试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．求二项式()712x -展开式中第三项的系数是（ ）A ．-672B ．-280C ．84D ．42 2．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ） A ．21y x =- B ．2log ||y x = C ．1y x =- D ．31y x =-3．函数()cos f x x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ）A ．0y =B ．20x y -=C ．0x y +=D ．0x y -=4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A ．24B ．30C ．10D ．605．已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)-+-=>C x y r r 相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r =（ ）A ．2B ．2C ．22D ．46．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．ˆ1yx =- 7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线3cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线84:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩的距离的最大值为（ ）A ．5B ．17C ．1755D ．51717 8．已知8a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是 A ．82 B ．83 C ．813或 D ．812或9．集合{}{}21,3,5,7,|40A B x x x ==-≤，则A B =（ ）A ．()1,3B ．{}1,3C ．()5,7D ．{}5,7 10．已知函数21,1()|ln(1),1x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，则方程(())1f f x =的根的个数为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．2 11．设函数()34sin f x x x x =--，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．()131x -的展开式中，系数最小的项为（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 二、填空题：本题共4小题13．如图，矩形ABCD 中曲线的方程分别为sin y x =，cos y x =，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.14．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________. 15．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．16．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题含解析
广东省揭阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设随机变量，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式结合条件计算出，然后再利用二项分布概率公式计算出.【详解】由于，则，，所以，，因此，，故选：A.【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A ．43π+ B ．23π+ C ．43π+ D ．423π+ 【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3．若集合2{|20}A x x x =-<，函数()f x =B ，则A ∩B 等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2） 【答案】D 【解析】试题分析：{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，所以{}12A B x x =≤<。
考点：1.函数的定义域；2.集合的运算。
4．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．5．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出x 与销售额y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出x 与年销售额y 满足线性回归方程 6.517.5y x =+，则m 的值为（ ） A ．45 B ．50C ．55D ．60【答案】D 【解析】分析：求出x ,代入回归方程计算y ，利用平均数公式可得出m 的值. 详解：2456855x ++++==,6.5517.550y ∴=⨯+=,30405070505m ++++∴=,解得60m =，故选D.点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题. 6．下列说法正确的个数有（ ）①用22121()1()niii nii y y R y y ∧==-=--∑∑刻画回归效果，当2R 越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；②命题“x R ∃∈，210x x +-<”的否定是“x R ∀∈，210x x +-≥”；③若回归直线的斜率估计值是2.25，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是 2.254y x ∧=-； ④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。
广东省揭阳市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末经典试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ） A ．平行直线的斜二测图仍是平行直线B ．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C ．正三角形的直观图一定为等腰三角形D ．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同 2．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．对于实数,,a b c ，下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b >>，则11a b> C ．若，则a b b a < D ．若a b >，11a b>，则4．设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且满足13PF a =.若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞5．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．7．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元 B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元8．已知tan(x π-=）则cos2x = ( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．189．ABC∆中，90C =∠，且2,3CA CB==，点M满足BM AB=，则CM CA⋅=A．18B．8C ．2D．4-10．执行如图所示的程序框图，若0.9p=，则输出的n为（）A．6B．5C．4D．311．6(2)x y-的展开式中，42x y的系数为（）A．15 B．-15 C．60 D．-6012．已知曲线()y f x=在点()5(5),f处的切线方程是80x y+-=，且()f x的导函数为()f x'，那么()5f'等于A．3B．1C．8-D．1-二、填空题：本题共4小题13．若"2x>"是"x m>"的必要不充分条件,则m的取值范围是____．14．随机变量ξ服从二项分布ξ(,)B n p~，且()300Eξ=，()200Dξ=，则n等于__________．15．已知函数()y f x=是R上奇函数，且当0x>时()2logf x x=，则()2f-=__________．16．设随机变量X的概率分布列如下图，则()21P X-==_____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)含答案
A ．0.15
B ． 0.50
C． 0.70
D． 0.85
6．抛掷甲、 乙两颗骰子， 若事件 A：“甲骰子的点数大于 3”；事件 B：“甲、 乙两骰子的点数之和等于 7”，则 P（ B/A）
的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为
p．某检验员从该生产线上随机抽检
A ． 360 种
B． 480 种
C．600 种
D． 720 种
4．已知下列说法：
①对于线性回归方程 y? 3 5x ，变量 x 增加一个单位时， y?平均增加 5 个单位；
②甲、乙两个模型的 R2 分别为 0.98和 0.80 ，则模型甲的拟合效果更好；
③对分类变量 X 与 Y ，随机变量 K 2 的观测值 k 越大，则判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大；
C． 80
D． 81
12. 已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ，且对任意的实数 x 都有 f (x) e x (2x 3) f ( x) （ e 是自然对数的底数） ，
且 f (0) 1 ，若关于 x 的不等式 f ( x) m 0 的解集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是（
）
16．将 4 个相同的白球、 5 个相同的黑球、 6 个相同的红球放入 4 个不同盒子中的 3 个中， 使得有 1个空盒且其他 3
个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 ________________ ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近
2018-2019广东省佛山高二下学期期末数学（理)试题 解析版
绝密★启用前广东省佛山一中、石门中学、顺德一中、国华纪中四校2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题一、单选题1．若复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则复数13zi=+（ ） A ．3155i + B ．3155i - C ．3155i -+ D ．3155i -- 【答案】D 【解析】 【分析】通过复数z 是纯虚数得到1a =-，得到z ，化简得到答案. 【详解】复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数210,1012a a a z i -=-≠⇒=-⇒=-2623113131055z i i i i i ---===--++ 故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.2．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A ．1055010C C ⋅ B ．10550102C C ⋅C ．105250102C C A ⋅⋅D ．55250452C C A ⋅⋅【答案】A 【解析】 【分析】根据先分组，后分配的原则得到结果. 【详解】由题意，先分组，可得10550102C C ⋅，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有1052105501025010A =2C C C C ⋅⋅⋅. 故选：A ． 【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 3．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。
现从该小组中选出3位同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ） A ．70种 B ．140种 C ．420种 D ．840种【答案】C 【解析】 【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案. 【详解】2男1女时：213543240C C A ⨯⨯= 2女1男时：123543180C C A ⨯⨯=共有420种不同的安排方法 故答案选C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键. 4．一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度()201241v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：m ）是（ ） A ．1620ln 4+ B ．1620ln5+C ．3220ln 4+D ．3220ln5+【答案】B 【解析】 【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程. 【详解】当汽车停止时，()2012401v t t t =-+=+，解得：4t =或2t =-（舍去负值）， 所以()()42042012412220ln 11s t dt t t t t ⎛⎫=⎰-+=-++ ⎪+⎝⎭1620ln5=+.故答案选B 【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.5．将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不相同”，事件B 为“至少出现一个6点”，则概率(A |B)P 的值为（ ）A ．6091B ．12C ．518D ．91216【答案】A 【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P （AB ）÷P （B ），需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P （A|B ）=P （AB ）÷P （B ）， P （AB ）=3606=60216P （B ）=1-P （B ）=1-3356=1-125216=91216 ∴P （A/B ）=P （AB ）÷P （B ）=6021691216=6091故选A ．6．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布（单位：）现抽取500袋样本，表示抽取的面粉质量在的袋数，则的数学期望约为（ ） 附：若，则，A ．171B ．239C ．341D ．477【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布中特殊区间上的概率得到面粉质量在上的概率为，然后根据可求出的数学期望．【详解】设每袋面粉的质量为 ，则由题意得，∴.由题意得，∴．故选B ． 【点睛】本题考查正态分布中特殊区间上的概率，解题时注意把所求概率转化为三个特殊区间上的概率即可．另外，由于面粉供应商所供应的某种袋装面粉总数较大，所以可认为的分布列近似于二项分布，这是解题的关键． 7．若()21001121002a a x a x a x x +++=+-，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．10 B ．-10C ．1014D ．1034【答案】C 【解析】 【分析】先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】()21001121002a a x a x a x x +++=+-取10.002x a =⇒=对等式两边求导1231902923110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒故答案为C 【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 C ．()35P B = D ．()17|11P B A =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项得到答案. 【详解】A.乙罐取出的球是红球的事件与前面是否取出红球相关，正确B. 1A ，2A ，3A 两两不可能同时发生，正确C. ()5756131011101122P B =⨯+⨯=，不正确 D. ()11117()7211|1()112P BA P B A P A ⨯===，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了独立事件，互斥事件，条件概率，综合性强，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.9．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ） A ．-250 B ．250C ．-500D ．500【答案】A 【解析】 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数.【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式 取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.10．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢抖音的人数占男生人数的16，女生喜欢抖音的人数占女生人数23，若有99%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．12人B ．18人C ．24人D ．30人【答案】B 【解析】 【分析】设男生人数为x ，女生人数为2x，完善列联表，计算2 6.635K >解不等式得到答案. 【详解】设男生人数为x ，女生人数为x()()()()()22235326636 6.63517.69822x x x x x x x x x x n ad bc K a b c d a x c b d ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭==>⇒>⨯⨯⨯-=++++男女人数为整数 故答案选B 【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.11．在复平面内，复数(),z a bi a R b R =+∈∈对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则()cos sin z r iθθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn nz r i r n i n θθθθ=+=+⎡⎤⎣⎦，则()101-+=（ ）A ．1024-B ．1024-+C ．512-D ．512-+【答案】D 【解析】 【分析】将复数化为()1111cos sin z r i θθ=+的形式，再利用棣莫弗定理解得答案. 【详解】()10101010222020112(cos sin )2(cos sin )2()512333322i i ππππ⎛⎫-+=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力.12．函数()xae f x x=，[]1,2x ∈，且[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x -<-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()()F x f x x =-，根据函数的单调性得到()'0F x ≤在[]1,2上恒成立，参数分离得到()()21xx a g x e x ≤=-，计算()g x 的最小值得到答案. 【详解】 不妨设12x x <，()()12121f x f x x x -<-，可得：()()1122f x x f x x ->-.令()()F x f x x =-，则()F x 在[]1,2单调递减，所以()'0F x ≤在[]1,2上恒成立，()()21'10x ae x F x x-=-≤， 当1x =时，a R ∈，当(]1,2x ∈时，()()21x x a g x e x ≤=-，则()()()2222'01xx x x g x e x --+=<-， 所以()g x 在[]1,2单调递减，是()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数()()F x f x x =-是解题的关键.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知复数1z 对应复平面上的点()3,4-，复数2z 满足121z z z =，则复数2z 的共轭复数为______. 【答案】3455-i 【解析】 【分析】先计算复数1z 的模，再计算复数2z ，最后得到共轭复数. 【详解】复数1z 对应复平面上的点()1,534z ⇒=-1121215343455z z z z z i z i =⇒===+- 复数2z 的共轭复数为3455-i故答案为3455-i 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，共轭复数，意在考查学生的计算能力.14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x +==__________．【解析】【分析】()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结果. 【详解】()0m m =>，则两边平方得，得23m =即23m m +=，解得：12m =+12m =（舍去）本题正确结果：12+ 【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，21234n n S na n n +=--，*n N ∈，则n a =______.【答案】21n 【解析】 【分析】先计算123,,a a a ，归纳猜想21n a n =+ 【详解】由13a =，21234n n S na n n +=--，*n N ∈，可得25a =，37a =， 归纳猜想：21n a n =+ 故答案为21n 【点睛】本题考查了数列通项公式的归纳猜想，意在考查学生的归纳猜想能力.16．已知ABC ∆的外接圆半径为1，2AB =，点D 在线段AB 上，且CD AB ⊥，则ACD ∆面积的最大值为______.【解析】 【分析】由22AB R ==所以可知AB 为直径，设A θ∠=，()312cos sin 2S AD CD θθθ=⨯⨯=求导得到面积的最大值. 【详解】由22AB R ==所以可知AB 为直径，所以2C π∠=，设A θ∠=，则2cos AC θ=，在ACD ∆中，有22cos AD θ=，2cos sin CD θθ=， 所以ACD ∆的面积()312cos sin 2S AD CD θθθ=⨯⨯=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 方法一：（导数法）()()222cos 3sin '2cos S θθθθ-=()()22cos cos cos θθθθθ=+-，所以当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0S θ>，当,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0S θ<，所以()S θ在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当6πθ=时，ACD ∆的面积的最大值为6S π⎛⎫=⎪⎝⎭方法二：（均值不等式）()2222622cos cos cos 4cos sin 427sin 333S θθθθθθθ==⨯⨯⨯⨯，因为422222222cos cos cos sin cos cos cos 333sin 3334θθθθθθθθ⎛⎫+++ ⎪⨯⨯≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭414=. 当且仅当22cos sin 3θθ=，即6πθ=时等号成立，即()8S θ≤=. 【点睛】本题考查了面积的最大值问题，引入参数A θ∠=是解题的关键.三、解答题17．设函数()ln x f x x=. （1）求()f x 的单调区间；（2）若对任意的[]12,2,3x x ∈都有()()12f x f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的增区间为(),e +∞；()f x 的减区间为()0,1，()1,e （2）2,ln 2e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调区间.（2）对任意的[]12,2,3x x ∈都有()()12f x f x m -<恒成立转化为：()()max min m f x f x >-求得答案.【详解】（1）()f x 的定义域为()()0,11,+∞.()()2ln 1'ln x f x x -=，当()'0f x >时，x e >，()f x 单调递增；当()'0f x <时，01x <<或1x e <<，()f x 单调递减； 所以()f x 的增区间为(),e +∞；()f x 的减区间为()0,1，()1,e . （2）由（1）知()f x 在[]2,e 单调递减，[],3e 单调递增； 知()f x 的最小值为()f e e =，又()22ln 2f =，()33ln 3f =， ()()232ln 33ln 2ln 2ln 3ln 2ln 233f f -=-=-ln 9ln80ln 2ln 3-=>， 所以()f x 在[]2,3上的值域为2,ln 2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以实数m的取值范围为2,ln2e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.18．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。
2019学年广东省揭阳市高二下学期第一次阶段考试数学(理)试卷【含答案及解析】
2019学年广东省揭阳市高二下学期第一次阶段考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在中,已知角所对的边分别为，已知，则角（）A. B. C. D.2. 已知条件，条件，则是成立的（）条件.A. 充分不必要________B. 必要不充分C. 充要________D. 即不充分也不必要3. 已知向量 ,且与互相垂直，则（）A. B. C. D.4. 设函数，则（）A. B. C. D.5. 若数列{ a n }满足若，则的值为（）A. B . C . D . ,6. 在正方体中，若是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A ．_________________B ．________ ________C ．______________D ．7. 如图，正方体的棱长为，是底面中心，则到平面的距离是（）A. B. C. D.8. 若，满足则的最大值为（）A ． 0_________B ． 1________C ． ______________________________D ． 29. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A．___________ B． C．________ D．10. 若点的坐标为是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（）A. B. C. D.11. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则（）A. 或________B. 或________C. 或________D. 或12. 设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A ．_______________________B ． 1____________________________________C ． ____________________________D ． 2二、填空题13. 已知，则的最小值是 __________ ．14. 过点的直线与椭圆交于两点，且点平分弦，则直线的方程为 __________ ．15. 已知等差数列的前项和，满足，则数列的前项和 __________ ．16. 若函数在上是增函数，则的取值范围是______________三、解答题17. 已知中，角所对的边分别，且．（Ⅰ ）求；（Ⅱ ）若，求面积的最大值．18. 已知等比数列满足, .（1）求数列的通项公式；（2）若等差数列的前项和为，满足，求数列的前项和 .19. 设函数，若在处有极值.（1）求实数的值；（2）求函数的极值；（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.20. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，，且平面分别为的中点.（1）求证: 平面；（2）求二面角的余弦值.21. 已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．22. 已知函数，且直线是函数的一条切线.（1）求的值；（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；（3）已知方程有两个根，若，求证: .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
广东省揭阳市2019-2020学年高二下学期期末数学试题
所以 即为 与平面 所成的角，
在 中， ，
所以 为直角三角形，且 ，
所以 与平面 所成的角为 .
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定以及线面角的求法，属于基础题.
20．（1） ；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）用列举法写出所有基本事件，并得出和为奇数的事件，从而可得概率；
首先根据等比数列的性质得到 ，从而得到 ，利用等差数列的求和公式得到 ，再利用裂项法求 的值即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 或 .
又因为数列 为递增数列，所以 .
所以 ， .
因为 ， ，
所以 .
故
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.
16．
6．D
【解析】
【分析】
根据 即可得出 ，进而求出 ，然后即可求出 与 的夹角的余弦值．
【详解】
， ，
， ，且 ，
．
故选： ．
【点睛】
本题考查了向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
7．A
【解析】
【分析】
作差，分解因式可得．
【详解】
， 时等号成立．
∴ ．
故选：A，
【点睛】
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求出 ，令虚部为0，即可求出 .
【详解】
， ， ,
,
是实数， ，即 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算以及相关概念，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
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1
绝密★启用前
揭阳市2018—2019学年度高中二年级期末质量测试
数学(理科)
本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚.
3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，
在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|1}Mxx，{|2,}NyyxxM，则MN
A．(1,) B．(2,) C．(1,2) D．(,2)
2．已知复数z满足(1)1izi，则z的共轭复数z=
A．i B．12i C．12i D．i
3．已知3costan4，则sin(2)2
A．378 B．74 C．12 D．18
2
4．函数()ln||(ln||1)fxxx的图象大致为
5
．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这
个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到
十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于同一个常数．若第一个单音的频率为f，第三个单音的频率为62f，则第十个单音的
频率为
A.22f B．432f C．322f D．652f
6．已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：
①若//a，b，则//ab； ②若//a，//b，则//ab；
③若//，a，则//a； ④若//，a，b，则//ab；
以上命题正确的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
A． 1 -1 x y C． D． 1 -1 x y B．
1
-1
x
y
1
-1
x
y
3
7．若,xy满足约束条件102103xyxyx，则2zyx的最大值为
A． -2 B．1 C．2 D． 4
8．已知112e,e2,()23abc，(e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为
A. cab B. cba C. bac D. abc
9．从分别标有1，2，…，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张．则恰好
有2次抽到奇数的概率是
A．2354()()99 B．223554()()99C C．2345()()99 D．332554()()99C
10．双曲线222:19xyCb的左、右焦点分别为12FF、，P在双曲线C上，且12PFF是等
腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为
A．89 B．149 C．83 D．143
11．已知定义在R上的奇函数()fx满足(2)(2)fxfx，当20x时，
()1xfxa
(0)a，且(2)8f，则(2019)f
A．2 B．1 C．2 D．1
12．已知数列{}na的前n项和为nS，满足11a，111nnnnSnSan（2n），若
13
8
m
S
，则m的最小值为
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知两直线的方向向量分别为(,1)am，(4,)bm，若两直线平行，则m_________；
14．曲线(13)xyae在点01，处的切线方程为 ；
15．直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在抛物线24yx上，则
ABP△
面积的最小值为 ；
4
16．已知P是底面为正三角形的直三棱柱111ABCABC的上底面111ABC的中心，作平面
BCDAP 与棱1AA交于点D．若122AAAB，则三棱锥DABC
的体积
为 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第
21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第23题为选考题，考生根
据要求做答
．
（一）必考题：共60分
17.（12分）
在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为,,,abc已知2,3ac，
cossin()6BB
.
（1）求b的值；
（2）求cos()CB的值.
18.（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，AP＝CP，O是AC的中点，
PO＝1,OB＝2, 5PB.
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）若AC⊥BC，3BC，D是AB的中点，
求二面角PCDB的余弦值．
19.（12分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽
样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）
甲部门
6 7 8
乙部门
5.5 6 6.5 7 7.5 8
丙部门
5 5.5 6 6.5 7 8.5
D
O
C
B
A
P
5
（1）求该单位乙部门的员工人数？
（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙
部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡
眠时间的概率；
（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3
人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布
列与数学期望.
20．（12分）
已知椭圆2222:1xyCab(0)ab与圆2225:()2Mxyb的一个公共点为
6
(,1)2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求△OAB的面
积．
21．（12分）
已知函数()(ln1)(1,0)fxaxxaxa，
（1）讨论函数()fx的单调性；
（2）当1x时，2()()fxax，求证：21ae．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按
所做的第一题计分．
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
6
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos(3sinxy为参数），以原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，点3(2,)4P在直线:cossin0lm上．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求||||PAPB的值．
23. [选修45：不等式选讲] (10分）
已知函数()2fxxaxa．
（1）若(1)2f，求a的取值范围；
（2）xyR、，()()6fxfy，求a的取值范围．