高二下学期数学期末考试试卷(理科)

高二下学期数学期末考试试卷(理科)(时间：120分钟，分值：150分)一、单选题(每小题5分，共60分)1．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P 的轨迹方程是()A.x216－y29＝1(x≤－4) B.x29－y216＝1(x≤－3)C.x216－y29＝1(x≥4) D.x29－y216＝1(x≥3)2．用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数分别为( )A. 6,6B. 5,6C. 6,5D. 6,123．下列存在性命题中，假命题是( )A. x∈Z，x2-2x-3=0B. 至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C. 存在两个相交平面垂直于同一条直线D. x∈｛x是无理数｝，x2是有理数4．将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点P(a，b)落在直线x＋y＝m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，则此时m 的值为()A. 6B. 5C. 7D. 85．已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A. ()2,1B. ()2,1-C. 11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,4⎛⎫⎪⎝⎭6．按右图所示的程序框图，若输入81a =，则输出的i =( )A. 14B. 17C. 19D. 217．若函数()[)∞+-=，在12xkx x h 在上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A.B.C. D.8．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0~50为优，51~100为良。

101~150为轻度污染，151~200为中度污染，201~250为重度污染，251~300为严重污染。

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图。

利用该样本估计该地本月空气质量状况优良(AQI≤100)的天数(这个月按30计算) ( )A. 15B. 18C. 20D. 249．向量()()2,,2,4,4,2x -=-=，若⊥，则x 的值为( )A. B. C.D.10．已知e 为自然对数的底数，则曲线xy xe =在点()1,e 处的切线方程为( )A. 21y x =+B. 21y x =-C. 2y ex e =-D. 22y ex =-11．已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.C.2D.212．已知函数()x x x f ln 1+=在区间()032,>⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a 上存在极值，则实数a 的取值范围是( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛32,21 B. ⎪⎭⎫⎝⎛1,32 C. ⎪⎭⎫⎝⎛21,31 D. ⎪⎭⎫⎝⎛1,31二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知函数 ，在区间 上任取一个实数 ，则使得 的概率为____________．14．直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为________15．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NFF ∆的面积___________ 16．函数()2sin f x x x =-，对任意[]12,0,πx x ∈，恒有()()12f x f x M -≤，则M 的最小值为________.三、解答题17．(本小题10分)已知命题p ：实数x 满足x 2-5ax +4a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足22280{ 3100x x x x --≤+->．(1)若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．(本小题12分)某公司近年来科研费用支出x 万元与公司所获利润y 万元之间有如表的统计数据：参考公式：用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为：ˆˆˆybx a =+， 其中： 1221ˆni i i n i i x y nx y bx nx==-⋅=-∑∑， ˆˆa y bx=-， 参考数值： 218327432535420⨯+⨯+⨯+⨯=。

(Ⅰ)求出,x y ；(Ⅱ)根据上表提供的数据可知公司所获利润y 万元与科研费用支出x 万元线性相关，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； (Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润。

19．(本小题12分)已知棱长为的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是BC 的中点，F 为11B A 的中点.(1)求证：F C DE 1⊥；(2)求异面直线C A 1与F C 1所成角的余弦值.20．(本小题12分)已知抛物线2:2C y x =和直线:1l y kx =+， O 为坐标原点． (1)求证： l 与C 必有两交点；(2)设l 与C 交于,A B 两点，且直线OA 和OB 斜率之和为1，求k 的值．21．(本小题12分)已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为 12,F F且离心率为2，过左焦点1F 的直线l 与C 交于,A B 两点， 2ABF ∆的周长为(1)求椭圆C 的方程；(2)当2ABF ∆的面积最大时，求l 的方程.22．(本小题12分)已知函数()()2ln f x ax x a R =-+∈ .(1)讨论()f x 的单调性；(2)若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围.20XX 年下学期期末考试试卷 高二数学(理科)参考答案1. D2．A【解析】改写多项式()()()()()()3456781f x x x x x x x =++++++，则需进行6次乘法和6次加法运算，故选A. 3．C【解析】∃x=-1，x 2-2x-3=0； x=6时x 能被2和3整除；两个平面垂直于同一条直线则这两个平面必平行； 时x 2是有理数，所以假命题是C. 4．C【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点(a ，b)共有36种情况，其中当a ＋b ＝7时，共有6种情况，即(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，此时概率最大，故当m ＝7时，事件的概率最大．选C 。

5．D【解析】根据抛物线的定义P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，所以点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到准线的距离之和最小，过点()1,2Q 作准线的垂线，交抛物线于点P ，此时距离之和最小，点P 的坐标为11,4⎛⎫⎪⎝⎭.6．A【解析】执行程序，可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+ i+的值，当S＞81时，输出i+1的值．由于S=1+2+3+ (i)()12i i+，当i=12时，S=12132⨯=78＜81，当i=13时，S=13142⨯=91＞81，满足退出循环的条件，故输出i的值为13+1=14．故选：A．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．A【解析】因为函数在(],0-∞上是增函数，所以在(],0-∞上恒成立，所以，故选A.考点：由函数在区间上的单调性求参数范围.8．B【解析】从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,该样本中空气质量优良的频率为, 从而估计该月空气质量优良的天数为9．D【解析】由，可得，解得，故选D.考点：空间向量坐标形式的运算.10．C【解析】因为x y xe =，所以‘x x y e xe =+，曲线xy xe =在点()1,e 处的切线斜率k e 12e e =+⨯=，切线方程为21y e e x -=-（），化简得2y ex e =-，故选C. 11．D【解析】由题意得圆方程即为22(3)4x y -+=，故圆心为(3,0)，半径为2.双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，故圆心到渐近线的距离为d ==。

∵渐近线被圆截得的弦长为2，∴22212⎛⎫+=，整理得2212b a =。

∴c e a =====D 。

点睛：双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a ＝－和e=ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 12．D【解析】，令，得x=1，当，，当，，所以2x =是函数的极大值点，又因为函数在区间上存在极值，所以，解得，故选D ．()3223303193|232S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰考点：导数的应用，极值. 13．【解析】当 时， 概率故答案为 。

14 .，15．3【解析】设双曲线的方程为22x y λ-= ，代入点21M （，），可得3λ= ， ∴双曲线的方程为223x y -= ，即22133x y -=， 设12,NF m NF n ==，则22{24m n m n -+＝＝6mn ∴= ，12NF F ∴的面积为132mn =．即答案为3 16．2π3【解析】∵()2sin f x x x =-， ∴()12cos f x x =-'， ∴当03x π<<时， ()()0,f x f x '<单调递减；当3x ππ<<时，()()0,f x f x '>单调递增。

∴当3x π=时， ()f x 有最大值，且()min 2sin 3333f x f ππππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭。

又()()00,f f ππ==，∴()max f x π=。

由题意得()()12f x f x M -≤等价于()()max min 233M f x f x πππ⎛≥-=--=+ ⎝。

∴M 的最小值为23π答案：23π+17．(1)()2,4；(2)(]1,2【解析】试题分析：(1)命题p ：实数x 满足x 2-5ax+4a 2＜0，解集A=(a ，4a)．命题q ：实数x 满足22280{ 3100x x x x --≤+-> 解集B=(2，4]．a=1，且p ∧q 为真，求A∩B 即可得出．(2)￢p ：(-∞，a]∪[4a ，+∞)．￢q ：(-∞，2]∪(4，+∞)．利用￢p 是￢q 的充分不必要条件，即可得出． 试题解析：（1）命题p ：实数x 满足x 2-5ax+4a 2＜0，其中a ＞0，a ＜x ＜4a ，解集A=(a ，4a)，命题q ：实数x 满足，解得2＜x≤4．解集B=(2，4]，a=1，且p ∧q 为真，则A∩B=(1，4)∩(2，4]=(2，4)，∴实数x 的取值范围是(2，4)．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分(2)￢p ：(-∞，a]∪[4a ，+∞)，￢q ：(-∞，2]∪(4，+∞)．若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则，解得1≤a≤2．又当a=1时不成立∴实数a 的取值范围是(1，2]．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分18．19．(1)3.5，28(2) 5.6.4ˆ8yx =+(3)64.4万元 【解析】试题分析：(1)利用平均值公式与所给参考数值求解即可；(2)利用公式求得()122214204 3.5285.ˆ6544 3.5ni i i n i i x y nxybx n x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，将样本中心点的坐标代入回归方程，求得28ˆ 5.6 3.58ˆ.4ay bx =-=-⨯=，从而可得结果；(3)利用第二问的回归方程进行求值，预测即可 试题解析：(1)2345182732353.5,2844x y ++++++====。