弹性力学 空间问题的基本理论 PPT

n l
zx xy
)s )s
fx fy
(nz lxz m yz )s fz
第七章 空间问题的基本理论
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
二 物体内任一点的应力状态
3. 在 s σ 上的应力边界条件
设在 s σ 边界上，给定了面力分量 fx, fy, fz,
则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜
面与边界重合。斜面应力分量 (px,py,pz) 应 代之为面力分量 (fx,fy,fz)，从而得出空间 问题的应力边界条件:
((lmx
mxy y nzy
二 物体内任一点的应力状态
在空间问题中，同样需要解决：由直
角坐标的应力分量 σ x… … yz，来求出斜面
(法线为 ）n上 的应力。
二 物体内任一点的应力状态 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：
p沿坐标向分量： p(px,py,pz).
p沿法向和切向分量：
p(σn,n).
二 物体内任一点的应力状态
( σ x σ y σ z σ xy 2 z σ yz 2 x σ zx 2 y 2 yz zx x ) y0 . ( c )
三 主应力 最大与最小的应力
3.应力主向
设主应力 σ 1 的主向为 l1,m1,n1。代入式 (a)中的前两式，整理后得
yx
m1 l1
zx
n1 l1
(σx
(σy
σ1)
若从式(c) 求出三个主应力 σ1,σ2,σ3 ，
则式(c)也可以用根式方程表示为，
( σ σ 1 ) ( σ σ 2 ) ( σ 3 σ ) 0 . ( f )
因式(c) 和( f )是等价的方程，故 σ的各
幂次系数应相等，从而得出：
三 主应力 最大与最小的应力
Θ1
σ1
σ2
σ3
σx
σy
σz
三 主应力 最大与最小的应力
上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得
σx σ
xy xz
yx
σy σ
yz
zx zy 0,
σz σ
展开，即得求主应力的方程,
σ 3 ( σ x σ y σ z ) σ 2 ( σ y σ z σ z σ x σ x σ y y 2 z z 2 x x 2 y ) σ
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
y
y
zy
z
xy
x
fy
0
z
z
xz
x
yz
y
fz
0
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所 以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。
一 平衡微分方程
由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，
yz zx xy
弹性力学 空间问题的基本理论
第七章 空间问题的基本理论
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
一 平衡微分方程
在空间问题中，应力、形变和位移等基本 知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。
空间问题的基本方程，边界条件，以及 按位移求解和按应力求解的方法，都是与 平面问题相似的。因此，许多问题可以从 平面问题推广得到。
一 平衡微分方程
取出微小的平行六面体，dvdxdydz，
考虑其平衡条件:
Fx 0, Fy 0,
Fz 0; Mx 0,
My 0, Mz 0.
一 平衡微分方程
由x 轴向投影力的平衡微分方程可得
,
Θ2 σ1σ 2 σ 2σ3 σ 3σ1 σ yσ z
σ zσ x
σxσ y
τ
2 yz
τ
2 zx
τ
2 xy
,
(g)
Θ3 σ1σ 2σ 3 σ xσ yσ z
1. 求 p(px,py,pz)
取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。
由四面体的力平衡条件可得
px
l x
m xy
n
zx
py m y n zy l xy
pz
n z
l xz
m
yz
二 物体内任一点的应力状态
2. 求 p(σn,n)
zy xz yx
空间问题的平衡微分方程精确到三阶
微量 (dxdydz)。
第七章 空间问题的基本理论
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态 三、主应力 最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程 例题
弹性力学简明教程(第三版)
m1 l1
zy
n1 l1
σ1)
xy
0,
0.
(d)
三 主应力 最大与最小的应力
由上两式解出
m1 l1
,
n1 l1
。然后由式(b)得出
l1
1
.
1(m 1)2(n1)2
l1
l1
再求出 m 1 及 n 1 。
(e)
4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力
Baidu Nhomakorabea
σ1,σ2,σ3 （证明见书上）。
三 主应力 最大与最小的应力 5.应力不变量
三 主应力 最大与最小的应力
1.假设 n面 (l , m , n)为主面，则此斜面上
n 0, p σ n σ .
斜面上沿坐标向的应力分量为：
p x l, p y m , p z n.
代入 px, py, pz , 得到：
三 主应力 最大与最小的应力
lσx myx nzx mσy nzy lxy
lσ,
mσ,
(a)
nσz
lxz
myz
nσ.
考虑方向余弦关系式，有
l2m 2n21.
(b)
结论：式(a) , (b)是求主应力及其方 向余弦的方程。
三 主应力 最大与最小的应力
2. 求主应力 σ 将式(a)改写为：
(σx σ)l yxm xyl(σ y σ)m
zzxynn00,,
xzl yzm(σz σ)n0。
将 p(px,py,pz)向法向 n 投影，即得
σnlp xmyp nzp
l 2 σ x m 2 σ y n 2 σ z 2 m n y z 2 n lz x 2 l m x y . ( b )
由 p 2 p x 2p 2 yp z 2 σ n 2n 2,
得 n 2 p x 2 p y 2 p z 2 σ n 2 . (c )