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第三章 各向异性弹性力学基础
判定依据是非零应力状态下，材料的弹性 应变能位正值，应变能应是应变（或应力）的 正定二次型。 1 W S ij i j 2
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：2 12 4而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
W 为 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：2 12 4而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理： S14 S 24 S 34 S 46 0
S15 S 25 S 35 S 56 0
独立常数减少为13个，即
S11 S12 S 22 S13 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 S 45 S 55 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
Cij C ji 刚度矩阵 Sij S ji 柔度矩阵
*
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11
C22
C33 C44 C55
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性 能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称 面的轴。
弹性力学知识基础
上述6个方程称几何方程
u v w
唯一确定
{ε }
{f}
但
{ε }
不唯一确定
原因：刚体位移不能确定。
第三节 物理方程
当材料是均匀、连续、各向同性，应力与应变成正比 （小变形）,即广义虎克定律
ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E = τ xy G , γ yz = τ yz G , γ zx = τ zx G
T
（1-2）
2、平衡微分方程 、
∂σ x τ yx τ zx + + + ∂y ∂z ∂x ∂ σ y τ xy τ zy + + + ∂x ∂z ∂y ∂ σ z + τ yz + τ xz + ∂y ∂x ∂z
F F F
Vx
=0 =0 =0
Vy
Vz
反映了物体内的应力场所须满足的静力关系， 或者应力分量的关系。
（1-9）
γ xy
其中： E
G
弹性模量 切变模量 泊松比
µ
G = E [2(1 + µ )]
解（1-9）式, 得物理方程：
{σ } = [D]{ε }
{σ } = σ xσ yσ zτ xyτ yzτ zx
T
（1-10）
{ε } = ε xε yε zγ xyγ yzγ zx
a、正应力虚功： 正应力 虚位移 虚功 b、切应力虚功
x方向
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
弹性力学基础
• (1)判断键盘中有无键按下 • 将全部行线置低电平，列线置高电平，然后检测列线的状态，只要有
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没 有键被按下。
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[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序 也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电 路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较 多的场合。电路如图5-10所示。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题 的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。 掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此 外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分 析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功 及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解 的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近 似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等， 特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的 发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没 有键被按下。
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[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序 也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电 路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较 多的场合。电路如图5-10所示。
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[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题 的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。 掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此 外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分 析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功 及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解 的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近 似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等， 特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的 发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。
弹性力学基础 应力应变
上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分
量的边界值与面力分量之间的关系。
过一点任意斜面的正应力与切应力
问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ 平面ABC上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方向 n的投影：
s n lp x mpy npz 平面ABC上的切应力tn则由
2 yz 2 xz
s x t xy t xz I 3 t yx s y t yz t zx t zy s z
过一点任意斜面的主应力与主方向
s I1s I 2s I 3 0
3 2
主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3 分别表示这
三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任 意一点主应力。
弹性体内任意一点的最大正应力为s1，最小正应力为s 3
最大切应力可以通过主应力计算，等于(s 1-s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用 平面通过s 2 应力主方向，并且平分s 1和s 3应力主方向的 夹角（即45°角）。
(t n )极值
(s 1 s 3 ) 2
由泰勒级数展开，求各面应力
空间问题的平衡微分方程
分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（6个）
F M
x
0,
x
0,
F 0, F 0 M 0, M 0
y z y z
切应力互等定理
平衡微分方程
t yx s x t zx fx 0 x y z t xy s y t zy fy 0 x y z t yz t xz s z fz 0 x y z
空间问题的基本未知量与方程
弹性力学基础(二)
边值问题的提法：
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
FEM-03弹性力学基础(三类方程)
物理方程(cont.)
E 1 1 2
2G 2G 2G D 0 0 0 0 0 0 0 0 0
E G 2 1
0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 G
y
v v dy y
u dy y
B' B dy M' v M u dx O A'
v dx x
A
u
u dx x
x
u u x dx A点位移 v v dx x u u dy y B点位移 v v dy y
11
几何方程
1
1
T
1
0 0 0
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 21 0 0
0 0 0 0 1 2 21 0
0 0 0 0 1 2 21 0
18
xy
v u xy x y w v yz y z u w zx z x
13
几何方程
u x v y y w z z v u xy x y w v yz y z u w zx z x
z 2 2 z y yz
2
2 yz
2 z 2 x 2 xz 2 2 x z xz
2 x yz xz xy 2 x x y z y z 2 y zx yz xy 2 y y x z x z xy yz zx 2 z 2 z z x y x y
第2讲 矩阵分析及弹性力学基础PPT课件
主子式皆大于0
北京航空航天大学
13
二次型的微商
n
f(x1,x2, ,xn)xTAx aijxixj i,j1
f x
f x1 f x2 f xn
2 2 2
n i1 n i1
n i1
a1i xi a2i xi
ani xi
a11 2a21
an1
北京航空航天大学
19
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
20
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
lim Q S
A0 A
北京航空航天大学
21
N A
Nsin sin
A
Nsin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
22
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
17
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内
➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
18
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
北京航空航天大学
13
二次型的微商
n
f(x1,x2, ,xn)xTAx aijxixj i,j1
f x
f x1 f x2 f xn
2 2 2
n i1 n i1
n i1
a1i xi a2i xi
ani xi
a11 2a21
an1
北京航空航天大学
19
位移
位移就是位置的移动。物体内任意一点的 位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、 v、w表示。
北京航空航天大学
20
应 力—物体内某一点的内力
F3
应力S在其作用截面上的法向 分量为正应力σ，切向分量称 为剪应力，用τ表示。
F1
F2
lim Q S
A0 A
北京航空航天大学
21
N A
Nsin sin
A
Nsin cos
A
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即 通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。
北京航空航天大学
22
一点的应力状态
无穷小正六面体, 六面体的各棱边 边平行于坐标轴
17
外力和内力
体力—分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。
面力—分布在物体表面上的力，例如接触 压力、流体压力。
➢ 分布力：连续分布在表面某一范围内
➢ 集中力：分布力的作用面积很小时的简化
内力—外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。
北京航空航天大学
18
位移、应力、应变
对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移——物体变形后的形状 应力——物体的受力状态 应变——物体的变形程度
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什么是弹性力学？
A
弹性力学的基本假设
① 连续性假定：介质连续无间隙地充满整个物体所占据的 空间；（宏观尺度，数学分析等数学工具）
② 均匀性假定：物体中各处的介质是均匀同一的；（不必 亦不可能对每处的介质做材料试验）
③ 各向同性假定：介质各个方向的材料性质相同；（简化 问题）
④ 线弹性假定：弹性阶段，应力和应变是线弹性关系，服 从虎克定律；卸载过程是弹性的
弹性力学变分提法
泛函的极值问题
弹性力学的发展简史
弹性力学理论基础建立期 弹性力学理论的发展成熟期 弹性力学理论发展的深化期
弹性力学的发展简史
弹性力学发展初期（17世纪前）
– 1678，Hook（虎克、胡克，英）发现虎克定律 – 1687，Newton（牛顿、英）建立牛顿力学三大定律
弹性力学基本理论和基本方程的奠基时期（17世纪末— 19世纪）
研究尺度——宏观 研究对象——弹性固态可变形体
弹性：指荷载作用下变形在卸载后可恢复的物性 日常的工程结构和零件
主要任务
研究变形体都遵循的基本规律——基本方程 研究弹性物体的特定物理性质——弹性本构关系
（方程） 研究在给定荷载作用下的弹性物体中任意一点的位
移、变形和应力情况——弹性力学问题
xy yx , yz zy , zx xz ,
σ xxy
zx yz zz
应力平衡方程
x 方向的平衡条件
(
x
x
x
dx)dydz
xdydz
(
yx
yx
y
3. 弹性力学的原理
迭加原理 解答唯一性原理 圣维南原理
荷载——体积力（Body Forces）
体积力——体力
作用在物体内部各质点上的分布力 lim p dp F 体积力集度（密度） V 0 V dV
体积力（集度）是矢量，是 位置坐标 x, y, z 的函数
集中力
分布在微小面积或体积 表面力或体积力
荷载——表面力(Tractions)
表面力——面力
作用在物体表面的分布力；（风力，水压力、 接触力）
lim P dP T 表面力集度（密度） S0 S dS
表面力（集度）是矢量， 是位置坐标 x, y, z 的函数
内力（Tractions）
– 早期对梁的研究 – 1820s，Cauchy（柯西，法）定义了应力、应变等基本概念，建
立了几何方程和平衡方程，将虎克定律推广到三维一般情况
弹性力学理论发展和应用阶段（19世纪—20世纪初）
– 1855，1856，Saint Venant（圣维南，法）解决柱体的弯曲和 扭转问题
– 1881，Hertz（赫兹，德）解出弹性接触的局部应力分布 – 1898，Kirsch（基尔施，德）解出了受拉含圆孔薄板的孔边应
什么是弹性力学？
弹性力学与材料力学的区别
材料力学
弹性力学
除材料力学研究的一维
研究对象
杆、梁、柱、轴等 杆状一维结构
物体外，主要研究二、 三维复杂结构
基本假定多，近似 基本假设少，精确理论，
基本假定 理论，精度低
精度高
求解
形状简单，求解容 形状复杂，求解困难，
易，解答多
解答很少
数学基础 初等数学、微积分 微分方程
力分布 – 能量原理，近似计算方法等得到发展
非线性弹性力学、热弹性力学、粘弹性力学等得到发展 （20世纪）
第二章 弹性力学的基本方程和一般定理
1. 基本概念
荷载（体积力、表面力）、内力、应力 位移、应变
2. 控制方程和边界条件
平衡方面（平衡方程、力学边界条件） 几何方面（几何方程、位移边界条件） 物性方面（本构方程）
弹性力学
杨帆
西南交通大学力学与工程学院
教学参考书
王光钦等，弹性力学，中国铁道出版社，北 京，2004.03
杨桂通，弹性力学简明教程，清华大学出版， 北京，2006.09
徐芝纶，弹性力学，高等教育出版社，北京， 1990.06
第一章 绪 论
1. 弹性力学的任务和研究对象
– 什么是弹性力学？ – 弹性力学与材料力学的对比
应力的正向
应力作用面的法 向与坐标正向一 致时，应力的正 向亦与坐标正向 一致
应力作用面的法 向与坐标负向一 致时，应力的正 向亦与坐标负向 一致
应力张量
张量，共9个应力
σ
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
可以证明应力张量是对称的，6个独立分量
内力：物体内部的相互作用
Q dQ
T lim
S0 S dS
内力的分解
沿坐标分解
T
lim
S 0
Q S
dQ dS
Txex
Tyey
Tzez
正应力
内力沿截面法线方向的分力
剪应力 内力在截面内的分力
垂直于直角坐标的平面上的应力
共9个应力： xx , xy , xz ; yx , yy , yz ; zx , zy , zz
dy)dxdz
yxdxdz
( zx
zx
z
dz)dxdy
zxdxdy
Fxdxdydz
0
x
x
yx
y
zx
z
Fx
0
绕 z 轴的力矩的平衡条件
( xydydz)dx ( yxdzdx)dy 0 xy yx
2. 弹性力学的基本假定 3. 弹性力学的研究方法 4. 弹性力学的发展简史
什么是弹性力学？
什么是力学？
中国大百科全书：力学是研究物质机械运动规律的科学。 机械运动——物质在时间、空间中的位置变化。
力学的分类
依尺度分类
依物性分类
什么是弹性力学？
“弹性力学”隶属于“变形体力学”中的 “固体力学”分支
⑤ 小变形假定：物体的变形对比物体的几何尺寸很小； （可以在变形前的几何形状和尺寸的基础上研究问题， 可以忽略变形的高阶影响）
⑥ 静态和拟静态假定：忽略时间的影响 ⑦ 无初应力假设：物体的初始状态是自然状态，荷载作用
前物体内部无应力
弹性力学的研究方法
弹性力学的微分问题提法
1、静力学 2、几何学 3、物理学