弹性力学简明教程_第四版_徐芝纶第六章
弹性力学简明教程课后习题解答(精校版)
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学徐芝纶6-3位移模式与解答的收敛性
求出α1, α2, …, α6 , 可得位移分量：
1 2 xi 3 yi ui 4 5 xi 6 yi vi
u N i ui N j u j N m um v N i vi N j v j N m vm
1 x y 1 x i yi 1 xj yj 1 x m ym 1 x i yi 1 xj yj
Nm
形函数Nm 的性质 在 i 点(x=xi , y=yi)，得： 在 j 点(x=xj , y=yj)，得： 在 m 点(x=xm , y=ym)，得：
1
(Nm )i＝0 (Nm )j＝0 (Nm )m＝1 在 im 和 jm 两边的中点： N m 1 2 在三角形 ijm 的形心： N m 1 由中值定理，同样得： 3 A N ds 1 im u N i ui N j u j N m um N dxdy m m 2 3 v N i vi N j v j N m vm im A
1 x y 1 xj yj 1 x m ym 1 x i yi 1 xj yj 1 x m ym
在 j 点(x=xj , y=yj)：
1 2 x j 3 y j u j 4 5 x j 6 y j v j
在 m 点(x=xm , y=ym)：
Ni
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
与式(2-9)相比：
2 2 5 3 5 3 v 4 6 y x x 2 2
u 1 2 x
5 3
y
5 3
y
u u0 y 3 u0 1 v0 4 5 v v0 x 2
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版__全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答汇总
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答之巴公井开创作徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体,什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定,但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体,就是不满足均匀性假定,但满足各向同性假定.【解答】均匀的各项异形体如：竹材,木材.非均匀的各向同性体如：混凝土.【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体,要判定能否满足四个假定：连续性,完全弹性,均匀性,各向同性假定.【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不成以作为理想弹性体.【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的,也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下任何空隙.引用这一假定后,物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的.因此,建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来暗示他们的变动规律.完全弹性假定：假定物体是完全弹性的,即物体在对应形变的外力被去除后,能够完全恢复原型而无任何形变.这一假定,还包括形变与引起形变的应力成正比的涵义,亦即两者之间是成线性关系的,即引用这一假定后,应力与形变服从胡克定律,从而使物理方程成为线性的方程,其弹性常数不随应力或形变的年夜小而变.均匀性假定：假定物体是均匀的,即整个物体是由同一资料组成的,引用这一假定后整个物体的所有各部份才具有相同的弹性,所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的,因而物体的弹性常数不随位置坐标而变动.各向同性假定：假定物体是各向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都相同,引用此假定后,物体的弹性常数不随方向而变.小变形假定：假定位移和变形是微小的.亦即,假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸,而且应变和转角都远小于1.这样在建立物体变形以后的平衡方程时,就可以方便的用变形以前的尺寸来取代变形以后的尺寸.在考察物体的位移与形变的关系时,它们的二次幂或乘积相对其自己都可以略去不计,使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程.【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向.【解答】应力的符号规定是：看成用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时）,这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正,沿坐标轴的负方向为负.看成用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）,该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正,沿坐标轴的正方向为负.面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正,沿坐标轴的负方向为负.由下图可以看出,正面上应力分量与面力分量同号,负面上应力分量与面力分量符号相反.正的应力正的面力【1-5】试比力弹性力学和资料力学中关于切应力的符号规定.【解答】资料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正,反之为负.弹性力学中规定,作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正,作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正,反之为负.【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变.【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力,正的形变包括正的正应变与正的切应变,本题应从两方面解答.正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下,发生轴向拉应力为正的应力,引起轴向伸长变形,为正的应变.正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下,切应力均为正的切应力,引起直角减小,故为正的切应变.【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向.【解答】正的体力、面力 正的体力、应力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向. 【解答】【1-9】在图1-3的六面体上,y 面上切应力yz τ的合力与z 面上切应力zy τ的合力是否相等？【解答】切应力为单位面上的力,量纲为12L MT --,单位为2/N m .因此,应力的合力应乘以相应的面积,设六面体微元尺寸如dx×dy×dz,则y 面上切应力yz τ的合力为：yz dx dz τ⋅⋅ (a)z 面上切应力zy τ的合力为：zy dx dy τ⋅⋅ (b)由式（a ）(b)可见,两个切应力的合力其实不相等.【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等,但对某点的合力矩相等,才导出切应力互等性.第二章平面问题的基本理论【2-1】试分析说明,在不受任何面力作用的空间体概况附近的薄层中(图2-14)其应力状态接近于平面应力的情况.【解答】在不受任何面力作用的空间概况附近的薄层中,可以认为在该薄层的上下概况都无面力,且在薄层内所有各点都有0===z xz yz σττ,只存在平面应力分量,,x y xy σστ,且它们不沿z 方向变动,仅为x,y 的函数.可以认为此问题是平面应力问题.【2-2】试分析说明,在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,当板边上只受x,y 向的面力或约束,且不沿厚度变动时,其应变状态接近于平面应变的情况.【解答】板上处处受法向约束时0z ε=,且不受切向面力作用,则0xz yz γγ==(相应0zx zy ττ==)板边上只受x,y 向的面力或约束,所以仅存在,,x y xy εεγ,且不沿厚度变动,仅为x,y 的函数,故其应变状态接近于平面应变的情况.【2-3】在图2-3的微分体中,若将对形心的力矩平很条件C M 0=∑改为对角点的力矩平衡条件,试问将导出什么形式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件C M 0=∑,改为分别对四个角点A 、B 、D 、E 的平衡条件,为计算方便,在z 方向的尺寸取为单位1.0AM=∑1()1()11222()1()1110222xy x y x xy y y yx y yx x x dx dy dydx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y τσσστσστστ∂∂⋅⋅++⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅∂∂∂∂-+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅=∂∂(a)0BM=∑Ozy()1()1()1221111102222yx y x x yx y xy x y x y dy dxdx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dxdy dx dy dx f dxdy f dxdy τσσστστσσ∂∂∂+⋅⋅++⋅⋅++⋅⋅∂∂∂-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= (b)0DM=∑()1111221()11102222yy xy x yx x x x x y dx dydy dx dy dx dy dx dyy dx dy dy dxdx dx dy f dxdy f dxdy x σστστσσσ∂+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅∂∂-⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂(c)0EM=∑()1111222()1()1110222yy x yx y xy x x xy x y dx dy dxdy dx dy dx dy dx y dy dy dxdx dy dx dy dx f dxdy f dxdy x x σσστστσστ∂-+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-∂∂∂+⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅=∂∂ (d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三阶小量（亦即令22,d xdy dxd y 都趋于0）,并将各式都除以dxdy 后合并同类项,分别获得xy yx ττ=.【分析】由本题可得出结论：微分体对任一点取力矩平衡获得的结果都是验证了切应力互等定理.【2-4】在图2-3和微分体中,若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的,验证将导出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分单位体ABCD 的边长,dx dy 都是微量,因此可以假设在各面上所受的应力如图a 所示,忽略了二阶以上的高阶微量,而看作是线性分布的,如图（b ）所示.为计算方便,单位体在z 方向的尺寸取为一个单位.y)Cy)C(a) (b)各点正应力：()=x A x σσ；()=y A y σσ ()xx B x dy yσσσ∂=+∂；()y y B y dy y σσσ∂=+∂()∂=+∂x x D x dx x σσσ；()∂=+∂xy D y dx xσσσ ()∂∂=++∂∂∂x x x C x dx y x yσσσσ； ()∂∂=++∂∂∂y y y C y dx y xyσσσσ各点切应力：()xy A xy ττ=； ()yx A yx ττ= ()∂=+∂xy xy B xy dy yτττ；()∂=+∂yx yx A yx dy y τττ()xy xy D xy dx xτττ∂=+∂；()∂=+∂yx yx D yx dx xτττ()xy xy xy C xy dx dy xyττττ∂∂=++∂∂；()∂∂=++∂∂yx yx yx C yx dx dy xyττττ由微分单位体的平衡条件 0,∑=x F 0,∑=y F 得112211+22x x x x x x x x yx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y σσσσσσσστττττττ⎧⎧⎫⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎛⎫-+++++++-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎭⎭⎩⎩⎧⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪++++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎭⎩0x dx f dxdy ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎭⎩112211+++22y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xydx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x σσσσσσσσττττττττ⎧⎧⎫⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪-+++++++-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎭⎭⎩⎩⎧⎫⎡∂⎤⎡∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎭⎩0y dy f dxdy ⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎪⎪⎭⎩以上二式分别展开并约简,再分别除以dxdy ,就获得平面问题中的平衡微分方程：0;0yxy xy x x y f f x y y x τστσ∂∂∂∂++=++=∂∂∂∂【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式.【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时,分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定,这两个条件同时也是这两套方程的适用条件.(2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性,完全弹性,均匀性和各向同性假定,即理想弹性体假定.同样,理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件.【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？ 【2-6】在工地上技术人员发现,当直径和厚度相同的情况下,在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形年夜.试根据相应的物理方程来解释这种现象.【解答】体力相同情况下,两类平面问题的平衡微分方程完全相同,故所求的应力分量相同.由物理方程可以看出,两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数.由于E 为GPa 级另外量,而泊松比μ取值一般在（0,0.5）,故主要控制参数为含有弹性模量的系数项,比力两类平面问题的系数项,不难看出平面应力问题的系数1/E 要年夜于平面应变问题的系数()21/-E μ.因此,平面应力问题情况下应变要年夜,故钢圆环变形年夜.【2-7】在常体力,全部为应力鸿沟条件和单连体的条件下,对分歧资料的问题和两类平面问题的应力分量x σ,y σ和xy τ均相同.试问其余的应力,应变和位移是否相同？【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量x σ,y σ和xy τ均相同,但平面应力问题0z yz xz σττ===,而平面应变问题的()0,xz yz z x y ττσμσσ===+.（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程,而两类平面问题的物理方程不相同,故应变分量0,xz yz xy γγγ==相同,而,,x y z εεε不相同.（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解,故位移分量对两类平面问题也分歧.【2-8】在图2-16中,试导出无面力作用时AB 鸿沟上的xy ,,x y σστ之间的关系式【解答】由题可得：()()()cos ,cos 90sin 0,0x y l m f AB f AB ααα==-===将以上条件代入公式（2-15）,得：()()()()()2cos sin 0, sin ()cos 0()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y ABABσατασαταστασα+=+=⇒=-=【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部鸿沟条件.在其端部小鸿沟上,应用圣维南原理列出三个积分的应力鸿沟条件.xM图2-17图2-18【分析】有约束的鸿沟上可考虑采纳位移鸿沟条件,若为小鸿沟也可写成圣维南原理的三个积分形式,年夜鸿沟上应精确满足公式（2-15）.【解答】图2-17：上（y=0）左(x=0) 右（x=b ）l0 -1 1 m-1()x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() y f s1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要鸿沟上x=0,x=b 上精确满足应力鸿沟条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小鸿沟0y =上,能精确满足下列应力鸿沟条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小鸿沟2y h =上,能精确满足下列位移鸿沟条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移鸿沟条件可以应用圣维南原理,改用三个积分的应力鸿沟条件来取代,当板厚=1δ时,可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F ghb M ρ==-=由于2y h =为正面,故应力分量与面力分量同号,则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要鸿沟y=-h/2,y=h/2上,应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-,-/2()0yx y h τ==,/2()0y y h σ==,/21()yx y h q τ==-②在x =0的小鸿沟上,应用圣维南原理,列出三个积分的应力鸿沟条件：负面上应力与面力符号相反,有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小鸿沟上,可应用位移鸿沟条件0,0====l x l x v u 这两个位移鸿沟条件也可改用三个积分的应力鸿沟条件来取代.首先,求固定端约束反力,按面力正方向假设画反力,如图所示,列平衡方程求反力：M'110,xN NN N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=++=⇒=--∑2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑由于x=l 为正面,应力分量与面力分量同号,故/21/22/21/2/2/2()()22()h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql Fσστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰【2-10】试应用圣维南原理,列出图2-19所示的两个问题中OA 边上的三个积分的应力鸿沟条件,并比力两者的面力是否是是静力等效？【解答】由于hl ,OA 为小鸿沟,故其上可用圣维南原理,写出三个积分的应力鸿沟条件：(a)上端面OA 面上面力q bxf f y x ==,0由于OA 面为负面,故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反,有()()()0000200000022120bb b y y y b b b y y y byx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎛⎫=-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理,负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反,面力主矢y 向为正,主矩为负,则()()()00200002120by N y by y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===⎧=-=-⎪⎪⎪=-=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰2qb212qb 图2-19综上所述,在小鸿沟OA 上,两个问题的三个积分的应力鸿沟条件相同,故这两个问题是静力等效的.【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域内用位移暗示的平衡微分方程式（2-18）； （2）在s 上用位移暗示的应力鸿沟条件式（2-19）； （3）在u s 上的位移鸿沟条件式（2-14）； 对平面应变问题,需将E 、μ作相应的变换.【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时,位移分量必需满足的条件.【2-12】检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A 内的平衡微分方程式（2-2）；（2）在区域A 内用应力暗示的相容方程式（2-21）或（2-22）；（3）在鸿沟上的应力鸿沟条件式（2-15）,其中假设只求解全部为应力鸿沟条件的问题；（4）对多连体,还需满足位移单值条件.【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时,应力分量必需满足的条件. 【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】用应变暗示的相容方程式（2-20）【2-13】检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 【解答】（1）在区域A 内用应力函数暗示的相容方程式（2-25）； （2）在鸿沟S 上的应力鸿沟条件式（2-15）,假设全部为应力鸿沟条件； （3）若为多连体,还需满足位移单值条件. 【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件. 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：y图2-20 图2-21（a ）图2-20,22xy q b ,0==y xyστ. 【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答,必需满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力暗示的相容方程（2-21）；（3）应力鸿沟条件（2-15）.（1）将应力分量代入平衡微分方程式,且0==x y f f0∂∂+=∂∂yx x x y τσ0∂∂+=∂∂y xyy xστ 显然满足 （2）将应力分量代入用应力暗示的相容方程式（2-21）,有等式左=()2222x y x y σσ⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭=220≠qb =右应力分量不满足相容方程.因此,该组应力分量不是图示问题的解答.（b ）图2-21,由资料力学公式,=x M y I σ,*=s xy F S bIτ(取梁的厚度b=1),得出所示问题的解答:332=-x x y q lh σ,22233-(4)4=-xy q x h y lh τ.又根据平衡微分方程和鸿沟条件得出：333222=--y q xy xy q xq lh lh lσ.试导出上述公式,并检验解答的正确性. 【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下,梁发生弯曲形变,梁横截面是宽度为1,高为h 的矩形,其对中性轴（Z 轴）的惯性矩312=h I ,应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程()23(),62=-=-q qx M x x F x l l.所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：()332==-x M x x yy q I lhσ()()2222233431.424⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭s xy F x y q x h y bh h lh τ. 根据平衡微分方程第二式（体力不计）.0∂∂+=∂∂y xy yxστ得：333.22=-+y q xy xy q A lh lhσ 根据鸿沟条件()/20==yy h σ得q .2=-x A l故 333.2.22=--y q xy xy q xq lh lh lσ将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：22336.60x y x yq q lh lh=-+==左右 满足第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）()22223312.12.0⎛⎫∂∂=++=--≠= ⎪∂∂⎝⎭左右x y xy xyq q x y lh lh σσ应力分量不满足相容方程.故,该分量组分量不是图示问题的解答.【2-15】试证明：在发生最年夜与最小切应力的面上,正应力的数值都即是两个主应力的平均值.【解答】（1）确定最年夜最小切应力发生位置任意斜面上的切应力为()21n lm τσσ=-,用关系式221l m +=消去m,得)))212121n τσσσσσσ=±-=-=-由上式可见那时2102l -=,即l =时,n τ为最年夜或最小,为 ()12max min2n σστ-=±.因此,切应力的最年夜,最小值发生在与x 轴及y 轴（即应力主向）成45°的斜面上.（2）求最年夜,最小切应力作用面上,正应力n σ的值任一斜面上的正应力为()2122n l σσσσ=-+最年夜、最小切应力作用面上2/1±=l ,带入上式,得()()122121122n σσσσσσ=-+=+ 证毕.【2-16】设已求得一点处的应力分量,试求112,,σσα()100,50,)2000,400;x y xy x y xy a b σστσστ======-,()20001000400; ()1000,1500,500.x y xy x y xy c d σστσστ=-==-=-=-=,,【解答】由公式（2-6）122x y σσσσ+⎫=⎬⎭11tan x xy σσατ-=,得11arctan x xy σσατ-= (a)121501005002σσ⎫⎧+=±=⎬⎨⎩⎭13516'α==︒(b)1251220003122σσ⎫⎧+==⎬⎨-⎩⎭()1512200arctanarctan 0.783757'400α-==-=-︒-(c)1210522000100020522σσ⎫⎧-+=±=⎬⎨-⎩⎭()110522000arctanarctan 7.388232'400α+==-=-︒-(d)126911000150018092σσ-⎫⎧--=±=⎬⎨-⎩⎭16911000arctanarctan 0.6183143'500α-+===︒【2-17】设有任意形状的等待厚度薄板,体力可以不计,在全部鸿沟上（包括孔口鸿沟上）受有均匀压力q.试证-xyq及0xy τ=能满足平衡微分方程、相容方程和应力鸿沟条件,也能满足位移单值条件,因而就是正确的解答.【解答】（1）将应力分量,0x y xy q σστ==-=,和体力分量0x y f f ==分别带入平衡微分方程、相容方程00xyx x y xy yf x y f yx τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩ （a ） ()20x y σσ∇+= （b ）显然满足（a ）（b ）（2）对微小的三角板A,dx,dy 都为正值,斜边上的方向余弦()()cos ,,cos ,l n x m n y ==,将-,0x y xy q σστ===,代入平面问题的应力鸿沟条件的表达式（2-15）,且()()-cos ,,cos ,x y f q n x f q n y ==,则有()()()()cos ,cos ,,cos ,cos ,x y n x q n x n y q n y σσ=-=-所以,x y q q σσ=-=-.对单连体,上述条件就是确定应力的全部条件. （3）对多连体,应校核位移单值条件是否满足.该题为平面应力情况,首先,将应力分量代入物理方程（2-12）,得形变分量,(1)(1),,0x y xy q q E Eμμεεγ---=== （d ）将（d ）式中形变分量代入几何方程（2-8）,得=,=,0u v v u q q x y x yμμ∂∂∂∂+=∂∂∂∂(-1)(-1)E E （e ） 前两式积分获得12--=(),=()u qx f y v qy f x μμ++（1）（1）E E（f ）其中()()12,f y f x 分别任意的待定函数,可以通过几何方程的第三式求出,将式（f ）代入式（e ）的第三式,得12()()df y df x dy dx -=等式左边只是y 的函数,而等式右边只是x 的函数.因此,只可能两边都即是同一个常数ω,于是有12()(),df y df x dy dxωω=-= 积分后得()()1020,f y y u f x x v ωω=-+=+ 代入式（f ）得位移分量00(1)(1)u qx y u Ev qy x v Eμωμω-⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=++⎪⎩ （g ） 其中00,,u v ω为暗示刚体位移量的常数,需由约束条件求得从式（g ）可见,位移是坐标的单值连续函数,满足位移单值条件.因而,应力分量是正确的解答.【2-18】设有矩形截面的悬臂梁,在自由端受有集中荷载F （图2-22）,体力可以不计.试根据资料力学公式,写出弯应力0y σ=,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程,再说明这些表达式是否就暗示正确的解答.【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形,任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-,横截面对中性轴的惯性矩为3/12z I h =,根据资料力学公式弯应力3()12x z M x Fy xy I hσ==-； 该截面上的剪力为()s F x F =-,剪应力为()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：2312120F Fy y h h=-+==左右第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程.（3）将应力分量代入应力暗示的相容方程y2()0x y σσ=∇+==左右 满足相容方程 （4）考察鸿沟条件①在主要鸿沟/2y h =±上,应精确满足应力鸿沟条件(2-15)lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式（2-15）,得()()()()-/2/2/2/20,0;0,0yxy y yx y h y h y h y h στστ==-======②在主要鸿沟x=0上,列出三个积分的应力鸿沟条件,代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢满足应力鸿沟条件③在主要鸿沟上,首先求出固定边面力约束反力,按正方向假设,即面力的主矢、主矩,0,,N S F F F M Fl ==-=- 其次,将应力分量代入应力主矢、主矩表达式,判断是否与面力主矢与主矩等效：/2/23/2/212()0h h x x l Nh h Fdy lydy F h σ=--=-==⎰⎰/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=⎰⎰2/2/223/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-=⎪⎝⎭⎰⎰满足应力鸿沟条件,因此,它们是该问题的正确解答.【2-19】试证明,如果体力虽然不是常量,但却是有势的力,即体力分量可以暗示为,x y V Vf f x y∂∂=-=-∂∂,其中V 是势函数,则应力分量亦可用应力函数暗示成为M22222=,=,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ++=-∂∂∂∂,试导出相应的相容方程. 【解答】（1）将,x y f f 带入平衡微分方程（2-2）00 00yx yx x x x y xy y xy yVf x y x y x V f y x yx y ττσσστστ∂∂⎧⎧∂∂∂++=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⇒⎨⎨∂∂∂∂∂⎪⎪++=+-=⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎩ （a ） 将（a ）式变换为()0()0yx x xy yV x y V yy τστσ∂⎧∂-+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-+=⎪∂∂⎩ （b ） 为了满足式（b ）,可以取22222,,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ-=-==-∂∂∂∂即22222,,x y xy V V y x x yσστ∂Φ∂Φ∂Φ=+=+=-∂∂∂∂（2）对体力、应力分量,,,x y x y f f σσ求偏导数,得222222424222222422242422422222, , , y x xx yy f f V Vx x y y V V xx y x y y y V V x x x y x y y σσσσ⎧∂∂∂∂=-=-⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂Φ∂∂Φ∂⎪=+=+⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂Φ∂∂Φ∂⎪=+=+∂∂∂∂∂∂∂⎪⎩（c ）将（c ）式代入公式（2-21）得平面应力情况下应力函数暗示的相容方程()2(1)y x x y f f x y σσμ∂⎛⎫∂∇+=-++ ⎪∂∂⎝⎭（2-21）4242424222222424222222(1)V V V VV V x y x y y x x x y y x y μ⎛⎫∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂∂+++++++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 整理得：444224224222(1)V V x x y y xy μ⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ∂∂++=--+ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭（d ） 即平面应力问题中的相容方程为42(1)V μ∇Φ=--∇将（c ）式代入公式（2-22）或将（d ）式中的替换为1μμ-,的平面应变情况下的相容方程：444224224221221V Vx x y y x yμμ⎛⎫∂Φ∂Φ∂Φ-∂∂++=-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎝⎭（e ） 即 42121V μμ-∇Φ=-∇-. 证毕.第三章平面问题的直角坐标解答【3-1】为什么在主要鸿沟（年夜鸿沟）上必需满足精确的应力鸿沟条件式（2-15）,而在小鸿沟上可以应用圣维南原理,用三个积分的应力鸿沟条件（即主矢量、主矩的条件）来取代？如果在主要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟条件取代式（2-15）,将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题,而要使鸿沟条件完全获得满足,往往比力困难.这时,圣维南原理可为简化局部鸿沟上的应力鸿沟条件提供很年夜的方便.将物体一小部份鸿沟上的面力换成份布分歧,但静力等效的面力（主矢、主矩均相同）,只影响近处的应力分布,对远处的应力影响可以忽略不计.如果在占鸿沟绝年夜部份的主要鸿沟上用三个积分的应力鸿沟条件来取代精确的应力鸿沟条件（公式2-15）,就会影响年夜部份区域的应力分布,会使问题的解答精度缺乏.【3-2】如果在某一应力鸿沟问题中,除一个小鸿沟条件,平衡微分方程和其它的应力鸿沟条件都已满足,试证：在最后的这个小鸿沟上,三个积分的应力鸿沟条件肯定是自然满足的,固而可以不用校核.【解答】区域内的每一微小单位均满足平衡条件,应力鸿沟条件实质上是鸿沟上微分体的平衡条件,即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件.研究对象整体的外力是满足平衡条件的,其它应力鸿沟条件也都满足,那么在最后的这个主要鸿沟上,三个积分的应力鸿沟条件是自然满足的,因而可以不用校核.【3-3】如果某一应力鸿沟问题中有m个主要鸿沟和n个小鸿沟,试问在主要鸿沟和小鸿沟上各应满足什么类型的应力鸿沟条件,各有几个条件？【解答】在m个主要鸿沟上,每个鸿沟应有2个精确的应力鸿沟条件,公式（2-15）,共2m个；在n个主要鸿沟上,如果能满足精确应力鸿沟条件,则有2n个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力鸿沟条件,则可以用三个静力等效的积分鸿沟条件来取代2个精确应力鸿沟条件,共3n个.【3-4】试考察应力函数3ayΦ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?【解答】⑴相容条件:不论系数a取何值,应力函数3ayΦ=总能满足应力函数暗示的相容方程,式(2-25).⑵求应力分量y当体力不计时,将应力函数Φ代入公式(2-24),得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察鸿沟条件上下鸿沟上应力分量均为零,故上下鸿沟上无面力. 左右鸿沟上；当a>0时,考察x σ分布情况,注意到0xy τ=,故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ===()0y h ≤≤()00y xy x f τ=== 右端:()6x x x l f ay σ===(0)y h ≤≤()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示,那时l h 应用圣维南原理可以将分布的面力,等效为主矢,主矩xf xf主矢的中心在矩下鸿沟位置.即本题情况下,可解决各种偏心拉伸问题.偏心距e ：因为在A 点的应力为零.设板宽为b,集中荷载p 的偏心距e ：2()0/6/6x A p pee h bh bh σ=-=⇒=同理可知,当a <0时,可以解决偏心压缩问题.【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴2,ax y Φ=⑵2,bxy Φ=⑶3,cxy Φ=试求出应力分量（不计体力）,画出图3-9所示弹性体鸿沟上的面力分布,并在小鸿沟上暗示出头具名力的主矢量和主矩.【解答】（1）由应力函数2ax y Φ=,得应力分量表达式0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考察鸿沟条件,由公式（2-15）()()()()x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩yO )①主要鸿沟,上鸿沟2hy =-上,面力为()22=-=x hf y ax ()2y h f y ah =-=②主要鸿沟,下鸿沟2hy =,面力为()2,2x h f y ax ==-()2y hf y ah ==③主要鸿沟,左鸿沟x=0上,面力的主矢,主矩为x 向主矢：/20/2()0h x x x h F dy σ=-=-=⎰y 向主矢：/20/2()0h y xy x h F dy τ=-=-=⎰主矩：/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰主要鸿沟,右鸿沟x=l 上,面力的主矢,主矩为 x 向主矢：/2/2()0h x x x l h F dy σ=-'==⎰y 向主矢：/2/2/2/2()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'==-=-⎰⎰主矩：/2/2()0h x x l h M ydy σ=-==⎰弹性体鸿沟上面力分布及主要鸿沟面上面力的主矢,主矩如图所示 ⑵2bxy Φ=将应力函数代入公式（2-24）,得应力分量表达式2x bx σ=,0y σ=,2xy yx by ττ==-考察应力鸿沟条件,主要鸿沟,由公式（2-15）得在2h y =-主要鸿沟,上鸿沟上,面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2h y =,下鸿沟上,面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在主要鸿沟上,分布面力可按(2-15)计算,面里的主矢、主矩可通过三个积分鸿沟条件求得：在左鸿沟x=0,面力分布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢、主矩为 x 向主矢：()2020hh x x x F dy σ=-=-=⎰Oxyy 向主矢：()()22002220h h h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=⎰⎰主矩；/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰在右鸿沟x=l 上,面力分布为()()2,2x y f x l bl f x l by ====- 面力的主矢、主矩为 x 向主矢：()/2/2/2/222h h x x x lh h F dy bldy blh σ=--'===⎰⎰y 向主矢：()()/2/2/2/2'20h h y xy x lh h F dy by dy τ=--==-=⎰⎰主矩：()/2/2/2/2'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--===⎰⎰弹性体鸿沟上的面力分布及在主要上面力的主矢和主矩如图所示ahxyah（3）3cxy Φ=将应力函数代入公式（2-24）,得应力分量表达式26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-考察应力鸿沟条件,在主要鸿沟上应精确满足式（2-15）①2hy =-上边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②hy=2下边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭主要鸿沟上,分布面力可按（2-15）计算,面力的主矢、主矩可通过三个积分鸿沟求得：③左鸿沟x=0上,面力分布为。
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
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弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学简明教程[第四版]_课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
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Fiy vi
vyj
Fjy
i uj
j
Fjx
i
Fix
ui
Fiy
Fix
vm Fmy um
m
Fmx
x
结力法求解
（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
FLe (FLi FLj FLm e.
y
Fiy ,vi*
i
Fix ,ui*
F
* jy
,v
j
j
Fjx
,u
* j
其中
δ* ——结点虚位移， o
图6-1
x
ε* ——对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分
方程，后者不再列出。
FEM的概念
FEM的概念，可以简述为：用结构力学 方法求解弹性力学问题。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结构力学方法进行求解。
(c) 深梁（离散化结构）
结构离散化
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这 些单元仅在角点用铰连接起来。
图（c）与图（a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
结力法求解
2.应用结构力学方法(位移法)进行求解:
仿照桁架的结构力学位移法，来求解
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发 展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立， 并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学 问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得 到应用和发展。
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示 第二节 有限单元法的概念 第三节 单元的位移模式与解答的收敛性 第四节 单元的应变列阵和应力列阵
第五节 单元的结点力列阵与劲度列阵 第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第七节 结构的整体分析结点平衡方程组 第八节 解题的具体步骤 单元的划分 第九节 计算成果的整理 第十节 计算实例 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程
f ( fx f y )T 。
面力 位移函数
f ( fx f y )T 。 d (u(x, y),v(x, y))T。
应变 应力
ε (εx εy γxy )T 。
σ (σ x σ y τ xy )T 。
结点位移列阵 δ (ui vi u j v j)T 。
结点力列阵 F (Fix Fiy Fjx Fjy)T 。
例题 习题的提示与答案 教学参考资料
FEM
第六章 用有限单元法解 平面问题
概述 1.有限元法(Finite Element Method，简称
FEM) —是弹力的一种近似解法。首先将 连续体变换为离散化结构，然后再应用 结构力学方法或变分法进行求解。 2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。
移 δe
(δi
δ i
δ m
)T
，求单元的位移函数
d (u(x, y),v(x, y))T 。
这个插值公式称为单元的位移模式，表示为
d Νδe。 （a）
结力法求解
（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，
求出单元的应变，表示为ε Bδe。（b）
（4）应用物理方程，由单元的应变ε ，求 出
单元的应力，表示为
σ Sδe。
（c）
（5）应用虚功方程，由单元的应力σ，求出
单元的结点力，表示为
F e (Fi Fj Fm kδe。 （d）
结力法求解
Fi (Fix Fiy T——结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
FEM中应用的方程：
几何方程
ε
(
u x
v y
u x
v y
)T
。
应用的方程
(a)
物理方程
σ Dε,
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题
是
1 μ 0
D
E 1 μ
2
μ
0
1 0
0 。 1 μ
2
(c)
应用的方程
虚功方程
(δ* )T F
(ε* )T σdxdyt, A
FEM求解过程。 1. 结构离散化——将连续体变换为离散 化结构；
结构离散化
结构力学的研究对象是离散化结构。如桁 架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没 有其他联系（图（a））。
弹性力学的研究对象，是连续体（图（b）)
(a) 桁架
图 6-2
(b) 深梁（连续体）
结构离散化
将连续体变换为离散化结构（图（c））： 即将连续体划分为有限多个、有限大小的单 元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结 起来，构成所谓‘离散化结构’。
图（c）的平面离散化结构。其中应注意，
三角形单元内部仍是连续体，应按弹性力 学方法进行分析。
分析步骤如下：
结力法求解
（1）取各结点位移 δi (ui vi )T (i 1,2,)为基 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理
量,并均用δi (i 1,2,) 来表示。
（2) 应用插值公式, 由单元结点位
并从而求出各单元的应变和应力。
归纳起来，FEM分析的主要内容：
结力法求解
1. 将连续体变换为离散化结构。 2.应用结构力学方法求解离散化结构,
导出方法
4. FEM的两种主要导出方法: 应用结构力学方法导出。 应用变分法导出。
5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
基本物理量
基本物理量：
体力
（e）
(7) 对每一结点建立平衡方程。
结力法求解
作用于结点i上的力有：
各单元对i 结点的结点力Fi ,
各单位移置到i 结点上的结点荷载 FLi ,
Fi FLi , (i 1,2,)
(f)
e
e
其中 表示对围绕i 结点的单元求和；
e
FLi 为已知值, Fi 是用结点位移表示的值。
通过求解联立方程 ( f )，得出各结点位移值，