第六章 弹性力学 柱形体的扭转
工程力学 第6章扭转
max
M n max Wn
式中：
max — —横截面圆周处的最大 剪应力。
M n max — —横截面上的最大扭矩 。 Wn — —抗扭截面系数 (m m3 ),只与截面形状和大小有 关的几何量。
抗扭截面系数计算公式： Wn
对于直径为D的实心圆截面： Wn
I R
0.2 D 3
A
2 dA
2 4 令： dA I — —极惯性矩（ mm ） A
得：
Mn I
剪 应 力 分 布 图
结论：（1）圆轴扭转时其横截面上只有剪应力而无正应力。 （2）圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力与该点到 圆心的距离成正比，与半径垂直。
三.圆轴扭转强度计算
3.圆轴扭转的强度条件:
D 3
16
D D 3 对于内外径比为 的空心圆截面： Wn 1 4 0.2 D 3 1 4 d 16
三.圆轴扭转强度计算
4.强度条件的应用
（1）校核轴的扭转强度。
（2）确定圆轴的直径。 （3）确定轴所能传递的功率或转速。
解：（1）求A、B、C点的剪应力
截面上的扭矩： M n M e 4 106 N mm
一.扭转的概念
1.扭转变形 受力特点——两外力偶作用面与杆件轴线垂直。 变形特点——杆件相邻两横截面绕轴线发生相对转动。
2.在工程中，作用在圆轴上的外力偶矩通常根据轴所传递的 功率和轴来的转速来计算。 外力偶矩的计算公式：
N (kW ) m 9549 n(r / min)
式中： m——外力偶矩（牛米） N——轴传递的功率（千瓦） n——轴的转速为（转/分）
弹性力学 柱体的扭转
扭转问题的位移解法学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数(x，y)。
基本未知量翘曲函数(x，y)。
确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转，侧面边界不受力。
根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点：1. 扭转位移假设；2. 扭转翘曲函数满足的基本方程；3. 扭转边界条件；4. 扭转端面边界条件；当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z 轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形，设坐标为 z 的横截面的扭转角为，则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角z。
对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论，对柱体内部位移作以下的假设：1．刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示。
当扭转角很小时，设OP=，则P点的位移为2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=(x，y)。
建筑力学 第6章 扭转
【 150(a例k)所N6-·示3m】、，一M请实2确＝心定4圆0该k轴轴N直·的m径许、为可M13应0＝0力3m0值mk，[Nτ]·。受m三，个其外转力向偶如M图16＝解：本题受扭情况同上题，其轴的扭矩图如图6—5(b)所示。 其应力许可值可由公式6-8计算：
(a)
)
(b
(c)
(d) 图6-5
解：1、用m-m截取轴的左侧一段如图65(b)所示，
由 T1＋10＝0 有 T1＝-10(kN·m)；
2、用n-n截取轴的左侧一段如图6-5(c)所 示，
由 T2＋10-40＝0 有 T2＝30(kN·m)；
3、将计算的扭矩值画于轴线上，如图65(d)。
6.2 圆轴扭转时的截面应力分布
(a)
(b) 图6-8
解：根据本题条件，可绘出其轴的扭矩图，如图6—8(b)所示。 其最大应力值出现在到横截面外沿的圆周上，其切应力值的计 算可用公式(6-6)解出：
由公式(6-8)，有
可见，该轴的强度符合要求。
max
Tmax Wp
30103 (N) 1000(mm) 0.2 1003 (mm)3
4)
，其中， d D
IP的单位长度是四次方，常用mm4。
最大切应力τmax在圆周处
max
T m ax
Ip
T R Ip
令 Wp=IP/R，称为抗扭截面系数，有
max
Mn Wp
直径为D的圆截面的计算公式为
解：本题受扭情况同上题，其轴的扭矩图如图6—5(b)所示。 其轴的外径可通过公式(6-10)计算：
弹塑性力学第六章
26
§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
2019/10/28
27
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
2019/10/28
1
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
2019/10/28
7
§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
2019/10/28
35
弹性力学 第六章 柱体的扭转与弯曲
利用其求端面合力分量得
ν ∂ψ R x = ∫∫ Tx dA = Gθ ∫∫ − y dA ∂x A A ν ∂ψ R y = ∫∫ T y dA = Gθ ∫∫ ∂y + x dA A A
68
第七章 柱体的扭转与弯曲
式中 R x 为端面的 x 向合力，因 R y 为 y 向合力，A 为截面定义域。由于在截面内 (7.1.4) 式 成立，可有如下变换：
D = 2G ∫∫ ΦdA
A
(7.1.17)
当是复连域时，例如二连域，环路积分成为
k 0 ∫ xdy − ydx − k1 ∫ xdy − ydx = 2k 0 A0 − 2k1 A1
C0 c1
代替 2kA 并且用 A0 − A1 代替 A ，其中可以取 k 0 = 0 ，则有
D = 2G ∫∫ Φ dA + 2k1 A1
∂ 2ψ ∇ τ = 2G θ 2 + ∂x 2
2
∂ 2ψ + 2 ∂y
71
第七章 柱体的扭转与弯曲
由于有此式的结果， τ 2 被称为上调和函数，如在域内有极大值, 根据复合函数求极值的法 则，应有某点 ( x0 , y 0 ) ∈ A
§7.1 位移法
现在我们来讨如图 7.1 所示的柱体的自由扭转，根据观察，柱体扭转时从纵向看过去 截面形状不变，截面作刚体运动；截面产生翘曲且沿轴不变。如选定某一截面其转角为α的 话，参见图 7.2, 那末所选定截面中的任一点的位移分量
0
z
y
α x
y
x
图 7.1
x
可写成： u = −αy, v = αx 和w ，即
A
第6章_柱体的扭转.薄板弯曲
第6章 变分原理在结构力学中应用--柱体的扭转、薄板的弯曲本章继续介绍变分原理在结构力学中的应用，前三节是讲柱体扭转问题，后八节讲薄板弯曲问题。
6.1 柱体扭转的基本方程图6.1柱体扭转6.1.1变形假设柱体扭转时，其横截面在原平面上的投影只有刚体转动、但允许有轴向的自由翘曲。
如果取轴向为z 轴，横截面为xy 平面，α为单位长度的转角，z α为某个横截面的转角。
在xOy 平面内某一点在变形前后的位置分别为图6.2横截面变形cos ,sin x r y r θθ=='cos(),sin()x r y r θδθδ=+=+δδθθδθy r r r x x u -≈-≈-+=-=sin sin cos )cos(' δδθθδθx r r r y y v ≈≈-+=-=sin cos sin )sin('其中θ为该点变形前的角度，z αδ=为该点转过的角度。
因此位移场为zy u α-= zx v α=),(y x w αϕ=这里),(y x ϕ为自由翘曲函数，由此对应的应变为 0,0x y z xy εεεγ====)(y xxz -∂∂=ϕαγ)(x yyz +∂∂=ϕαγ 对应的变形协调条件为αγγ2-=∂∂-∂∂xy yzxz (6.1.1)6.1.2 平衡方程根据广义Hook 定律，由于 0,0x y z xy εεεγ====从而有0===z y x σσσ，因此应力平衡方程只剩一个0=∂∂+∂∂yx yzxz ττ (6.1.2)6.1.3 边界条件柱体两端边界上应用圣维南原理，有()d yz xz T x y S ττ=-⎰⎰ (6.1.3)其中T 为作用在柱体上的扭矩。
柱体两个侧面自由, 没有任何载荷, 那么应力边界条件为0=+y yz x xz n n ττ (6.1.4)其中(,)x y n n 为侧面的外法线方向。
6.2 柱体扭转的应力函数解法根据应力平衡方程0=∂∂+∂∂yx yzxz ττ 可以引进应力函数(,)x y Φ，也就是说假设 xz G yΦτα∂=∂ (6.2.1)yz G xΦτα∂=-∂ (6.2.2) 这样的xz τ和yz τ自动满足平衡方程。
工程力学第6章 扭转
T 2 A0
6.2.2 切应力互等定理
从薄壁圆筒中包括横截 面取出一个单元体
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
根据力偶平衡理论
y
(dydz )dx ( dxdz)dy
dy
dz
在相互垂直的两个平面 上，切应力必成对出现， 两切应力的数值相等， 方向均垂直于该平面的 x 交线，且同时指向或背 离其交线。
对于各向同性材料，在弹性变形范围内，切变 模量G 、弹性模量E 和泊松比之间有下列关系：
G
E （1 ） 2
6-3 实心圆轴扭转时的应力和强度条件
6.3.1 、 扭转剪应力在横截面上的分布规律
Ⅰ. 横截面上的应力 表面 变形 情况 推断 横截面 的变形 情况 横截面 上应变 应力-应变关系
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力 成对存在，且数值相等、符号相反，这称为 剪应力互等定理。
例题 3
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各 单元体上的切应力是否正确。
10 kN
30 kN 50 kN
10 kN
20 kN
50 kN 30 kN
20 kN
30 kN
6.2.3 剪切胡克定律(Hooke’s law in shear) Me Me
n
主轴
主动轮 叶片
本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的 情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要
研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工
作的情况。
6-1 概述
1. 扭转的概念 4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一 特点： 圆截面轴（实心、空心）
建筑力学6-扭转
(2) 计算各段的扭矩 AB段：考虑AB段内任一截面的左侧，由计算扭 矩的规律有 TAB=mA=1756N·m BC段：考虑右侧 TBC=mC=702.4N·m (3) 画扭矩图 根据以上的计算结果，按比例作扭矩图(图6.3(b))。 由扭矩图可见，轴AB段各截面的扭矩最大，其值 Tmax=TAB=1756N·m
6.3.3 横截面上的变形
圆轴扭转时的变形，用两个横截面间绕轴线的相 对扭转角φ来度量。由上节式（e)可得相距为l的两个截 面之间的扭转角为 l T ϕ = ∫ dϕ = ∫ dx l 0 GI P 当轴在l长度范围内T、G和Ip均为常量时，有
T ϕ= GI P T Tl ∫0 GI P dx = GI P
第六章 扭转
6-1，概述
1，扭转的概念： 杆件在一对大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的外力偶 矩T的作用下，杆件任意两截面挠杆轴线发生相对转动，这种基本变 形称为扭转。 共同特点：杆件受到外力偶的作用，且力偶的作用平面垂直于杆件的 轴线，使杆件的任意横截面都绕轴线发生相对转动。 杆件的这种由于转动而产生的变形称为扭转变形。工程中将扭转 变形为主的杆件称为轴。 ：
l
GIp称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转 变形的能力。
从上式可知，φ的大小与轴的长度有关， 为了消除长度的影响，用单位长度扭转角θ 来表示扭转变形的程度，即
T θ= = l GI P
ϕ
式中θ的单位是弧度每米(rad/m)，由于 工程上θ的单位常用度每米（°/m），则
T 180 θ= GI P π
图6.2
∑mx(F)=0,T1-mA=0 T1=mA=1910N·m (3) 计算2-2截面的扭矩 假想将轴沿2-2截面截开，取左端为研究对象，截 面上的扭矩T2按正方向假设，受力图如图6.2(c)所示。 由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2+mB-mA=0 T2=mA-mB=716N·m 若取2-2截面的右端为研究对象，受力图如图6.2(d) 所示。由平衡方程 ∑mx(F)=0,T2-mC=0 T2=mC=716N·m
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t zx
y
,
-t
yz
x
2 C
s 0
2dxdy M
（6-2） （6-3） （6-4） （6-5）
（二）扭转位移
• 将式（6-1）（8-2）代入物理方程（3-a），得
x 0, y 0, z 0
xy
0,
yz
-
1 G
x
,
zx
1 G
y
代入几何方程（2），得
u 0, v 0, w 0, v u 0
• 取杆上端面为xOy面， M
Oz 轴向下。
O
x
y
M
z
O
x
-dx
dy ds
y
• 分析：由材料力学结果，柱体在扭转时，纵向 纤维间无挤压，也不伸缩，则：
s x s y s z t xy 0
（6-1）
• 只有横截面上存在剪应力t zy ,t zx 。体力为零。
将（6-1）式代入平衡方程(1)，得
（6-2）
• 将式（6-1），式（6-2）代入相容方程（4-b）， 前四式自然满足，其余两式为
2t zx 0, 2t yz 0
将式（6-2）代入，得
2 0, 2 0
x
y
由上式可知，2 应为常数，即
2 C
（6-3）
（一）边界条件分析
1.在杆的侧面上，有n=0及面力 X Y Z 0 ，将式（6-1）
• 由式（6-2），在应力函数 上加减一个常数，对应力 分量没有影响。故在单连通截面（即实心杆）的情况 下，可取
s 0
（6-4）
• 对多连通截面（即空心杆）的情况，应力函数 在
每一个边界上都是常数，但各常数一般不相同。只能
把其中的一个边界上的 s 取为零。
通常取外边界s0的 0 0 ，即
s 0 0 0
-
t
xzdxdy
-
y
dy
dx
-
(B
-
A
)dx
A,B 为截面边界上A，B点的 值，等于零。故合力条件
式自然满足。
( yX - xY )dxdy - ( yt zx - xt zy )dxdy
-
y
y
x
x
dxdy
-
dx
y
y
dy
-
dy
x
x
dx
- dx
同理：
y
y
dy
- dx ( yBB - yAA ) - dy
t zx 0 , t zy 0 , t zx t zy 0
z
z
x y
由前两式可知 t zy和t zx 应只是 x 和 y 的函数，不
随 z 变化。
• 第三式可写成
t zx (-t zy )
x y
必存在某一函数 (x, y)，使得：
t zx
y
,
-t
yz
x
称(x, y)为扭转问题的应力函数，
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
x
-
yz
x
zx
y
xy
z
2
2 yz
u x
y
yz
x
-
zx
y
xy
z
2
2 zx
v y
z
yz
x
zx
y
-
xy
z
2 2
xy
w z
(4-a)
(1
v) 2s
x
2Q x 2
0
(1
v) 2s
y
2Q y 2
0
(1
v) 2s
z
2Q z 2
-
dy
x
x
dx
dxdy
dxdy
2dxdy M
（6-5）
对多连通截面，设内部各边界
边界上的 值为i
si
所围截面积为 Ai ，各
n
M 2dxdy 2i Ai i 1
（6-6）
小结：对于扭转问题，只需式（6-3）和式（6-4）求出应
力函数 ，并由扭矩公式（6-5）或（6-6）定出所含
的待定常数，再由式（6-2）求出应力分量。
x y z
x y
w v - 1 , u w 1
y z G x z x G y
通过积分运算，如不计刚体位移，得位移分量为
u -Kyz
v Kxz
（6-7）
• K的几何意义：
在垂直于Oz轴的截面上取任 一点m(x,y)，变形后位移到m’ 点。令q为单位长度扭转角，a 为总扭转角。得
a qz , mm' rqz
代入应力边界条件（5-b）中，可见前两式自然满足，第三 式为
l(t zx )s m(t yz )s 0
由式（6-2）代入，且在边界上有
l
dy , ds
m - dx ，则
ds
y
s
dy ds
-
x
s
dx ds
ห้องสมุดไป่ตู้
d
ds
0
即在杆的侧面上（横截面的边界上），应力函数 所取的
变界值 s 应当是常数。
sj j
s0
sn
x
s2
s1
j为其他边界的待定常数。
y
2. 在杆的任一端面，l=m=0，n=-1，由应力边界条件式，
有
-t xz X , -t zy Y
在两端面，面力 X ,Y 合成力偶矩M，所以有： A
Xdxdy 0,
O
x
Ydxdy 0
B
( yX - xY )dxdy M
y
Xdxdy
0
(1
v)2t xy
2Q xy
0
(1
v) 2t
yz
2Q yz
0
(1
v) 2t
zx
2Q zx
0
(4-b)
边界条件：
位移边界条件：对于给定的表面Su，其上沿x，y，
z方向给定位移为
，则
(5-a)
应力边界条件：给定表面上的面力为
(5-b)
§6-1 等截面直杆的扭转
• 设等截面直杆，体力不计，在两端平面内受到 转向相反的两个力偶矩M作用。
y z G x z x G y
• 将式（6-8）代入上式的后两式，得
w - 1 -qx , w 1 qy
y G x
x G y
• 将上式分别对x,y求导，然后相减，得
2 -2Gq
即式（6-3）中的常数C为：
O
sin b y ， cosb x
r
r
u v
mm' mm'
rqz sin b rqz cosb
-qyz
qxz
（6-8）
y
比较式（6-7）和（6-8）得：
K q
（6-9）
B A
x
b
am m’
• 几何方程
u 0, v 0, w 0, v u 0
x y z
x y
w v - 1 , u w 1
第六章 柱形体的扭转
• 柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。
• 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平 面假设。
• 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平 面，即截面产生翘曲。
• 对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲 不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的 翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条 件下，杆中会产生附加正应力。
• 本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。
• 空间问题的基本方程：
平衡方程
(1)
几何方程
x
u x
xy
u y
v x
y
v y
yz
w y
v z
(2)
z
w z
zx
u z
w x
• 物理方程
(3-a) ✓ 各种弹性常数之间的关系
(3-b)
• 相容方程
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2 2 2
z x zx x2 z2 zx