[2018年最新整理]弹性力学_第六章_平面问题的直角坐标解
弹性力学-平面问题的直角坐标解答.
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x
0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
h 2 h 2
x y dy M
h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
弹性力学直角坐标解答
根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入
弹性力学_第六章 平面问题的基本理论讲解
将6-3式代。入得：
n l 2 x m 2 y 2lm xy
6-4
n lm y x l 2 m 2 xy
6-5
由式（6-4）及（6-5）就可以求得经过P点的任意斜面
上的正应力 n及切应力 n 。
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6.3 平面问题中一点的应力状态
力的增量； 2）在推导任何基本方程时，通常都以正的物理量来表示，
这样可以避免带负号物理量的运算。因此，图 6-3中的 体力、应力都以正方向、正号表示； 3）在列平衡方程时应力和体力应分别乘以其面积和体积， 才能得出其合力； 4）在导出平衡微分方程时，应用了两个基本假定：一是连 续性假定；二是小变形假定。
2. 求斜面应力分量
设斜面AB的长度为 ds，则PB面及PA面的面积分
别为lds及mds ，而PAB的体积为ldsmds/ 2 ，通 过三角形微分体的平衡条件 Fx 0， Fy 0 ，可得：
px AB xy PA x PB 0
py AB xy PB y PA 0
25
6.3 平面问题中一点的应力状态
再利用关系 l 2 m2 1 可得：
n l 2 (1 2 ) 2 从上式可以看出 n 的最大值为 1 而最小值
为 2 ，这就是说，两个主应力也就是最大 值与最小值的正应力。
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6.3 平面问题中一点的应力状态
再利用式（6-7），可得：
tan 2
xy 1 x
由式（b）及式（c）可有：
（c）
tan1 tan 2 1
也就是说， 1 的方向与 2 的方向互相垂直，如图6-
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
6-1弹性力学平面问题(基本理论)
y a
y
（2）应变分量 因位移分量与 z 无关，且 w 0，则由几何方程易知
（3）应力分量 由物理方程
1 E x x y 1 1 2 1 1 E y x y 1 1 1 2
三. 位移法
仿拉梅位移方程推导
平面问题用位移表示的平衡微分方程为
E 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 x E 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 y
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px p y 0 AB 边界： l1 cos 1 , l2 sin 1
由应力边界条件公式，有
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
平面问题用位移表示的应力边界条件
E 1 2 E 1 2
平面问题的位移边界条件
u v 1 u v l1 l2 p x y S 2 y x S x v u 1 v u l1 l2 p y x S 2 x y S y
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
但
简化的主要依据是
二. 平面应变问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
第六章 弹性力学平面问题
外力边界：τ xy (x,0) = 0⎫
σ y (x,0) = 0⎬ ⎭ τ xy (x, b) = 0⎫ σ y (x, b) = 0⎬ ⎭
q0
受力边界
0≤ x ≤a 0≤ x ≤a
x
0≤ y ≤b
弹塑Байду номын сангаас力学
位移边界
位移边界： u(0, y) = 0⎫ ⎬ v(0, y) = 0⎭
由物理方程：⎧ε x = 1 (σ x −νσ y ) ⎪
可得到： ⎧
E ⎪σ x = 1 − ν 2 (ε x + νε y ) ⎪ E ⎪ (ε y + νε x ) σy = ⎨ 2 1 −ν ⎪ E ⎪ τ = γ xy xy ⎪ 2(1 + ν ) ⎩
代入平衡方程得到：
⎧ E ⎡ ∂ 2u 1 −ν + ⎪ 2 ⎢ 2 2 ⎪1 − ν ⎣ ∂x ⎨ E ⎡ ∂ 2 v 1 −ν ⎪ + ⎪ 1 − ν 2 ⎢ ∂y 2 2 ⎣ ⎩
σ z = 0, ε z ≠ 0, ε z = −
ν
E
(σ x + σ y )
(ii).对平面应变问题：
⎧ 1 −ν 2 ν (σ x − σ y) εx = ⎪ 1 −ν E ⎪ 1 −ν 2 ν ⎪ (σ y − σx) εy = ⎨ 1 −ν E ⎪ ⎪γ = 2(1 + ν ) τ xy ⎪ xy E ⎩
∂2 (σ 2 ∂y
x
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
利用平衡方程有： ⎪ ⎪ ∂y
∂2 − νσ y ) + (σ 2 ∂x ⎧ ∂ τ xy
⎨ ∂τ xy ⎪ ⎪ ∂x ⎩
6-1弹性力学平面问题(基本理论)
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
6-3弹性力学平面问题(极坐标)
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
1 1 2 r , 0 （展开共8项） 2 2 r r r r 将O-xy坐标系旋转至 x 与 r 重合，即 0，此时
2 2 2
所以
y
r
x
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程
x r
P
r r
r
r
视 P-r 为旧坐标，P点的应力状态为 r、、r r ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
（3）体力分量的坐标转换 设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。 将其分别向 x、y 方向投影得
y r x
以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
x r x r 0 y 1 2 r r y 0 r
xy r r x 0 xy 1 r r r y 0 r
Fb O
x
r
P Fbr r
y
2. 极坐标系下的平衡微分方程 由直角坐标系下的平衡微分方程推导
x sin cos r cos2 sin 2 2 r sin cos x r r
cos3
2 2
2
（无体力）
F F F 或 2 r 1 br br 1 b （计体力） r r r
应力分量 （不计体力）
( r ) s l1 ( r ) s l2 pr ( r ) s l1 ( ) s l2 p
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第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。
如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。
因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。
设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。
而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。
所以物体的位移为2、基本物理量根据几何方程平面应变问题的应变分量x，y，xy 均为坐标x,y的函数，而其余应变分量z = xz= yz = 0。
由于这类问题的位移和应变都是发生在Oxy平面内的，所以称为平面应变问题。
根据物理方程可得所以回代可得平面应变问题的物理方程其中因此，平面应变问题只有应力x，y，z = (x+y)和xy不等于零，而且这些应力均为x，y的函数，与坐标z无关。
3、基本方程据上述的分析，可以将弹性力学的基本方程在平面应变问题中大为简化。
平衡微分方程将简化为两个几何方程简化为三个变形协调方程由六个简化为一个面力边界条件也简化为两个4、应力表示的变形协调方程应用上述平衡、物理、几何方程和变形协调方程，再配以一定的边界条件，例如面力边界条件，则可求解平面应变问题。
弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为平衡微分方程和变形协调方程。
变形协调方程是应变分量表达的，对于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程。
将物理方程代入变形协调方程，可得在体力为常数的条件下，可以利用平衡微分方程简化上式，既对平衡微分方程的两个公式分别对x，y求偏导数后相加，可得回代到变形协调方程，并作整理可得以上方程是平面应变问题中的由应力表示的变形协调方程，它表达了物体内的变形协调关系，称为莱维（Lévy，M.）方程。
§6.2 平面应力问题学习思路:平面应力问题讨论的弹性体为薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用。
因此应力沿厚度方向不变。
平面应力问题与平面应变问题在应力解法条件下，有类似的基本方程。
学习要点：1、平面应力问题；2、基本物理量与本构方程；3、基本方程与边界条件1、平面应力问题平面应力问题和平面应变问题的力学模型是完全不同的。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，如图所示薄壁厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用。
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以应力分量不随z改变。
根据边界条件可得而其余应力分量为坐标x, y的函数，即由于应力分量均发生在薄板的中面，所以称为平面应力问题。
2、基本物理量与本构方程根据物理方程的第三式可得与平面应变问题相比较，这里z≠0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。
但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。
因此平面应力问题的物理方程为因此在平面应力问题中，只有应变存在，而且这些应变均为坐标x，y的函数，与z无关。
3、基本方程与边界条件根据与平面应变问题相同的分析，平面应力问题的基本方程也可以作相应的简化。
平衡、几何、变形协调方程以及面力边界条件均简化为与平面应变问题相同的形式，其简化形式分别为平衡微分方程几何方程变形协调方程边界条件§6.3 平面问题的应力函数解法学习思路:本节讨论平面问题的应力函数解法。
考察平面问题的弹性力学基本方程－平衡微分方程和应力表示的变形协调方程，在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。
这样问题的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。
将应力函数代入基本方程，可以得到由应力函数表达的基本方程—双调和方程。
因此弹性力学平面问题的求解转化为确定应力函数—双调和函数。
学习要点：1、平面问题的基本方程；2、应力分量与应力函数；3、应力函数与双调和方程1、平面问题的基本方程如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基本方程归结为在给定的边界条件下求解平衡微分方程和应力表示的变形协调方程。
对于平衡微分方程的解，可以分解为其齐次方程的通解与任一特解之和。
齐次方程就是体力为零的平衡微分方程显然，平衡微分方程的特解是容易寻找的，下列应力分量均为齐次方程的特解，或者2、应力分量与应力函数根据微分方程理论，必有函数 f（x，y），令则齐次方程的第一式恒满足。
同理必有函数g（x，y），如果则齐次方程的第二式恒满足，所以引入任意函数 (x，y)，使得将上式分别回代，可得应力分量表达式上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。
对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分方程的。
3、应力函数与双调和方程将平衡微分方程特解代入应力表达式，则自然满足平衡微分方程。
应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得上式说明函数 (x，y）应满足双调和方程。
根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。
因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。
综上所述，弹性力学平面问题的应力解法，包括平面应力和平面应变问题，归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。
这里，函数 (x，y)称为艾里（Airy）应力函数，一般简称为应力函数。
§6.4 平面应力问题的近似性学习思路:对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。
但是问题的z方向应力和位移不同。
应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。
问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。
对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。
学习要点：1、平面应变与平面应力问题；2、平面应力问题与基本方程；3、平面应力问题的误差1、平面应变与平面应力问题对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。
因此，它们的应力分量x，y和xy也相同，应力分量xz和yz均等于零，所不同的是 z 向应力分量z，应变z和位移分量w。
平面应变问题平面应力问题z向应力分量z =(x+y ) z＝0z向位移分量w＝0 w≠0正应变分量上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。
2、平面应力问题与基本方程虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。
但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。
由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。
这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求这要求z 为x，y的线性函数，因此z = ax+by+c，但平面应力问题又要求，这要求x+y满足线性分布。
这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。
这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的3、平面应力问题的误差由于平面应力问题z≠0，这使得问题的求解困难相对。
为了简化分析，对于薄板问题，z很小，可以认为z近似为零。
这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。
对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。
假如重新假定应力分量x，y，xy是x，y，z的函数，应力分量z，xz和yz 仍然等于零，则可以选取新的应力函数求解平面应力问题。
如果上式中函数 (x，y）为双调和函数，则应力函数(x，y，z)完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。
显然，新的应力函数(x，y，z)与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。
根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。
由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。
对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。
§6.5 应力函数的物理意义及边界条件表示学习思路:边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。