6-1弹性力学平面问题(基本理论)
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平面问题的基本理论
平⾯问题的基本理论弹性⼒学⽹上辅导3平⾯问题的基本理论⼀、两类平⾯问题1.平⾯应⼒问题。
这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板,体⼒、⾯⼒和约束都只有xy 平⾯内的量，都不沿Z向变化；并且⾯⼒和约束只作⽤于板边，在板⾯上没有任何⾯⼒和约束的作⽤。
平⾯应⼒问题特征是：⑴由于板⾯上⽆⾯⼒和约束作⽤，以及薄板很薄，可以得出（σz，τzx和τxy）=0（在平⾯域A内）。
因此，只有σx，σy，τxy三个平⾯内的应⼒分量。
⑵由于物体形状和外⼒、约束沿z向均不变化，因此应⼒分量只是X，y两变量的函数。
以后还可从物理⽅程得出，应变分量也只是X，y的函数；⽽从⼏何⽅程积分求位移可见，位移与Z有关。
归纳起来讲，所谓平⾯应⼒问题，就是只有平⾯应⼒分量（σx，σy和τxy）存在，且仅为X，y的函数的弹性⼒学问题。
例如，厚度较薄的浅梁和深梁，受上部荷载及⾃重的墙，以及有分缝的重⼒坝等，都属于平⾯应⼒问题，凡是符合上述这两点的问题，均属于平⾯应⼒问题。
2.平⾯应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截⾯的很长柱体，体⼒、⾯⼒和约束条件与平⾯应⼒问题相似，只有xy平⾯内的体⼒、⾯⼒和约束的作⽤，且都不沿z向变化。
这个问题可以简化为平⾯应变问题。
平⾯应变问题特征是：⑴假想柱体为⽆限长时，则任⼀截⾯（z⾯）都是对称⾯，于是ω=0，只有平⾯位移分量u和v存在，因此，此问题可称为平⾯位移问题；同样由于对称性，εz =0和γzx，γzy=0（相应的τzx，和τzy=0），只有平⾯应变分量εx ，εy, τxy存在，所以此问题⼜称为平⾯应变问题。
⑵由于截⾯形状、体⼒、⾯⼒及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。
由此可见，所谓平⾯应变问题，就是只有平⾯应变分量（εz ，εy和τxy，）存在，且仅为x，y的函数的弹性⼒学问题。
进⽽可认为，凡是符合这两点的问题，也都属于平⾯应变问题。
⼆、平衡微分⽅程平衡微分⽅程表⽰区域内任⼀点（x，y）的微分体的平衡条件。
弹塑性力学第六章
26
§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
2019/10/28
27
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
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第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
1.1 平面应力问题
受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X 板表面无面力，坐标系（x1 ,
3 x2
Z ,
0 ，在薄
x3）放在板
厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
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7
§6-1平面问题的分类
最后应力分量解为其特解加通解：
x
y2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
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弹性力学 第二章平面问题的基本理论
体位移。
如果各点(或部分点）间的相对距离发生 变化，则物体发生了变形。这种变形一方面 表现在微线段长度的变化；另一方面表现在 微线段间夹角的变化。因此，物体变形程度 用形变分量（ε，γ）来描述。
0
A
B
0'
A'
B'
二、 几何方程
几何方程——描述任一点的微分线段 上形变分量与位移分量之间的关系。
P点的形变分量与位移分量的关系？
cos(900 1 ) cos1
m1 l1
由(a)式得：
tan1
1 x xy
设 σ2与 x 轴的夹角为α2
（b）
ta n 2
s i n 2 cos2
cos(900 2 ) cos2
m2 l2
由(a)式得：ta n 2
xy 2
y
tan1
1 x xy
ta n 2
xy 2 y
由式： σ1 +σ2 = σy +σx
作用的等厚度薄板，若板边上只受x、y方向的面力或约束且不
沿厚度变化时，其状态接近平面应力状态还是应变状态？
解：由于板面上处处受法向约束，故
z 0, z 0
不受切向面力作用，则
zx 0, zy 0,
故该薄板不属于平面应力状态。
ox y
0z y
zx 0, zy 0,
可见，其应变分量只有εx ，εy ，γxy 存在，且仅为x、y的函 数，所以其状态接近平面应变状态。
n l 1 l 2 ( 2 1 )
l 2 l 4 ( 2 1 )
1 4
(1 2
l2
)2
(
2
1
)
n
1 4
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
基本方程是二维的。
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
弹性力学_第6章_平面问题的变分法
x
对于其余各项也进行同样的处理，则
U l x m xy u l xy m y v dS x xy xy y u v dxdy
A
x
将上列两方程中的应力分量通过物理方程用形变分量 表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即 得：
E 2 A 1 E 2 A 1
2u 1 2u 1 2 v 2 X um dxdy 0 2 2 y 2 xy x 2 v 1 2 v 1 2u Y vm dxdy 0 2 2 2 x 2 xy y
E
三
外力势能
弹性体在域 A 所受的体力 X , Y 和边界 S 所受的 面力 X , Y ，在实际位移上所做的功，称为外力功。
W
A
( X u Yv)dxdy
S
( X u Yv)ds
将外力能做功的状态看作是具有能做功的势能。 所以，外力功等于外力势能的减小。将无位移的状态 下的势能作为零势能状态，则外力势能为
U X u Y v dxdy
A S
X u Y v ds
这个方程就是所谓位移变分方程。其中X,Y为体力分 量， X , Y 为面力分量。
三
极小势能原理 由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中， 外力的大小和方向可以当做保持不便，只是作用点有 了改变。利用变分的性质，位移变分方程可改写为：
1 U1 x x y y xy xy 2
比能用应力分量表示
U1 1 2 2 2 x 2 2 1 y x y xy 2E
弹性力学-第二章
(a)
(b)
y
o
z
a
b
x
(c) 刚性槽
2.平面问题的应力边界条件 设在S 部分边界上给定了面力分量 f x ( s) 和 f y ( s) ， 则可由边界上任一点微分体的平衡条件，导出应力 与面力之间的关系式。
0 o y P y
tyx txy
x
B
y
fx
A
x
P
x
fy
fx
n
fy
f
斜面上的应力
由式 (2-3)
x=-b为负x 面
l cos n, x cos180 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xb f x , (t xy ) x b f y
n
b a x
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
应力边界条件的两种表达式： （1）公式写法 公式写法通常只用于 边界为非坐标面时
x=a为正x 面
l cos n, x cos 0 1
m cos n, y cos 90 0
(σ x ) xa f x , (t xy ) xa f y
b a x
n
fx fy
σx
σx
fx fy
t xy
y
t xy
当边界面为坐标面时
(l x mt xy ) s f x ( s) (m y lt xy ) s f y ( s)
( 2) 斜边 y x tan
l cos n, x cos 90 sin
m cos n, y cos
弹性力学平面问题总结
P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。
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l2 cos( N , y) cos
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
滚柱
厚壁圆筒
x
z 1
任取一横截面（与 z 无关）， b 因无限长，可视为对称面，则其 上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。 所以
由物理方程
显然
只与x、y有关。 可由 表出
所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。
即 但 （3）位移分量 通过几何方程分析 由 可知： u、v仅为x、y的函数
当为理想平面应力问题（t 0）时，
若为稳定平衡（不发生翘曲）， 则 w 0 当为广义平面应力问题（t 0）时， 由
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解
是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条
件，才是唯一正确解。
例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变 场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场 与位移可能应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （1） x x y ， y y ， xy xy 3； 2 4
比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？
四. 应力法
仿Beltrami-Michell位移方程推导
平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为
Fbx Fby ( x y ) (1 ) x y 平面问题的平衡微分方程为 x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
l1 cos 2 cos 1 sin 1 l2
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h l1 1, l2 0 代入应力边界条件公式
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
三. 两种平面问题物理方程的关系
根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程 对于平面应力问题，由z 0
对于平面应变问题，由 z xy)
与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题
2
u v w G v ( G ) Fb y 0 y x y z
2
G 、 E 、
E 2 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 2 x E 2 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 2 y
一. 平面应力问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸小得多。
b x t y a y z
t a ， t b
—— 等厚薄平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 2. 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。 3. 简化分析 （1）应力分量 如图选取坐标系，以板的中 面为xy平面，垂直于中面的任一 直线为z轴。
§6-2
平面问题的基本解法
一. 平面问题基本方程
1. 平衡微分方程
x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
2. 几何方程
u x 应变协调方程 v y y v u xy x y
x
x 2 2 xy y x
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px p y 0 AB 边界： l1 cos 1 , l2 sin 1
由应力边界条件公式，有
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
2
2 y
2 xy
3. 物理方程
或
当为平面应变问题时，E1E、1 。
二. 边界条件
1. 位移边界条件 2. 应力边界条件
u S u
v S v
( x ) S l1 ( yx ) S l2 px ( xy ) S l1 ( y ) S l2 p y
式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。
例6-2
如图所示，试写出其边界条件。
p(x) A
(1) AB段（y 0）： l1 0, l2 1 代入边界条件公式，有
p0
B
x px 0, p y p( x) p0 l
N l C
x
h
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)
3 3
—— 满足
式（a）是静力可能的应力场
将式（a）代入相容方程： 2 2 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 ( y y ) 2 2 ( x y y ) 3 y 3x 3 y 0 4 y 2 y x x ∴ 式（a）不是一组实际可能的应力场。
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
但
简化的主要依据是
二. 平面应变问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
平面问题用位移表示的应力边界条件
E 1 2 E 1 2平面 Nhomakorabea题的位移边界条件
u v 1 u v l1 l2 p x x y S 2 y x S v u 1 v u l1 l2 p y y x S 2 x y S
2
（平面应变用1替换）
平面问题的应力边界条件
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
平面问题的位移边界条件
(u ) Su u ( v) Su v
问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题
说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。
2 2 2 xy y x （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程： 2 2 xy y x 2 2 2 xy 2 x y xy 2 y 2 x 2 2C 2C 0 2C 2C 0 2 2 2 xy xy y y x x
第六章
§6-1
弹性力学平面问题
平面问题的概念
§6-2
§6-3
平面问题的基本解法
应力函数与应力函数解法
§6-4
§6-5
平面问题在直角坐标系下求解
平面问题在极坐标系下求解
§6-1
平面问题的概念
应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。 平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。 弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。
x cos 1 xy sin 1 0
y sin 1 xy cos 1 0
（ 1）
（ 2）
x cos 1 xy sin 1 0 y sin 1 xy cos 1 0
AC 边界：
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
b x t y a y z
z z t
板面无面力，则
zx z t
2
0 因板很薄，且外力
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 0 各点都有：
2
zy z t 2
由切应力互等定理 因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。 故认为各应力分量与z无关 所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。 即 （2）应变分量
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
滚柱
厚壁圆筒
x
z 1
任取一横截面（与 z 无关）， b 因无限长，可视为对称面，则其 上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。 所以
由物理方程
显然
只与x、y有关。 可由 表出
所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。
即 但 （3）位移分量 通过几何方程分析 由 可知： u、v仅为x、y的函数
当为理想平面应力问题（t 0）时，
若为稳定平衡（不发生翘曲）， 则 w 0 当为广义平面应力问题（t 0）时， 由
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解
是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条
件，才是唯一正确解。
例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变 场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场 与位移可能应变场（不计体力）。
3 2 2 1 4 （1） x x y ， y y ， xy xy 3； 2 4
比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？
四. 应力法
仿Beltrami-Michell位移方程推导
平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为
Fbx Fby ( x y ) (1 ) x y 平面问题的平衡微分方程为 x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
l1 cos 2 cos 1 sin 1 l2
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。 左侧面： x h l1 1, l2 0 代入应力边界条件公式
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
三. 两种平面问题物理方程的关系
根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程 对于平面应力问题，由z 0
对于平面应变问题，由 z xy)
与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题
2
u v w G v ( G ) Fb y 0 y x y z
2
G 、 E 、
E 2 2u 1 2u 1 2 v Fbx 0 2 2 2 2 y 2 xy 1 2 x E 2 2 v 1 2 v 1 2u Fby 0 2 2 2 2 x 2 xy 1 2 y
一. 平面应力问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸小得多。
b x t y a y z
t a ， t b
—— 等厚薄平板
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等 2. 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。 3. 简化分析 （1）应力分量 如图选取坐标系，以板的中 面为xy平面，垂直于中面的任一 直线为z轴。
§6-2
平面问题的基本解法
一. 平面问题基本方程
1. 平衡微分方程
x yx Fbx 0 x y xy y Fby 0 x y
2. 几何方程
u x 应变协调方程 v y y v u xy x y
x
x 2 2 xy y x
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px p y 0 AB 边界： l1 cos 1 , l2 sin 1
由应力边界条件公式，有
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
2
2 y
2 xy
3. 物理方程
或
当为平面应变问题时，E1E、1 。
二. 边界条件
1. 位移边界条件 2. 应力边界条件
u S u
v S v
( x ) S l1 ( yx ) S l2 px ( xy ) S l1 ( y ) S l2 p y
式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。
例6-2
如图所示，试写出其边界条件。
p(x) A
(1) AB段（y 0）： l1 0, l2 1 代入边界条件公式，有
p0
B
x px 0, p y p( x) p0 l
N l C
x
h
x 0 xy (1) 0 y (1) yx 0 p( x)
3 3
—— 满足
式（a）是静力可能的应力场
将式（a）代入相容方程： 2 2 2 3 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 ( y y ) 2 2 ( x y y ) 3 y 3x 3 y 0 4 y 2 y x x ∴ 式（a）不是一组实际可能的应力场。
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。 即
但
简化的主要依据是
二. 平面应变问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
平面问题用位移表示的应力边界条件
E 1 2 E 1 2平面 Nhomakorabea题的位移边界条件
u v 1 u v l1 l2 p x x y S 2 y x S v u 1 v u l1 l2 p y y x S 2 x y S
2
（平面应变用1替换）
平面问题的应力边界条件
( x ) s l1 ( xy ) s l2 px ( y ) s l1 ( xy ) s l2 p y
平面问题的位移边界条件
(u ) Su u ( v) Su v
问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题
说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。
2 2 2 xy y x （2） 将式（b）代入应变表示的相容方程： 2 2 xy y x 2 2 2 xy 2 x y xy 2 y 2 x 2 2C 2C 0 2C 2C 0 2 2 2 xy xy y y x x
第六章
§6-1
弹性力学平面问题
平面问题的概念
§6-2
§6-3
平面问题的基本解法
应力函数与应力函数解法
§6-4
§6-5
平面问题在直角坐标系下求解
平面问题在极坐标系下求解
§6-1
平面问题的概念
应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。 平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。 弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。
x cos 1 xy sin 1 0
y sin 1 xy cos 1 0
（ 1）
（ 2）
x cos 1 xy sin 1 0 y sin 1 xy cos 1 0
AC 边界：
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
b x t y a y z
z z t
板面无面力，则
zx z t
2
0 因板很薄，且外力
0
沿 z 轴方向不变。 可认为整个薄板的 0 各点都有：
2
zy z t 2
由切应力互等定理 因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。 故认为各应力分量与z无关 所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。 即 （2）应变分量