弹性力学_平面应力_平面应变问题
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弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
1 平面应力和平面应变
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
特点
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
弹性力学平面应力平面应变问题
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问
题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水
（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴
的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y
y
o z
y
o z
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位 移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平 面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于 其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时， 都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况 下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
yx
xy
yx
d’
a’
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
弹性力学
1平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵向为z轴，试简述z面上的应力情况及原因。
Z面上由于z方向的伸缩杯阻止，所以所有一切应力分量，形变分量和位移分量都不沿z方向变化，所以σz不等于0，由于对称条件τzx=0，τzy=0.2、在什么条件下平面应力问题和平面应变问题的3个应力分量σxσy和τxy与材料特性无关？并简述原因当体力为常量事，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性体具有相同边界形状，收到同样的分布外力，那么句不管这两个弹性体的材料是否相同，在平面应力或平面应变情况下σxσy和τxy的分布是相同的，因为在体力为常量的情况下，平衡微分方程，相容方程，和应力便捷条件中都不包含弹性常数3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？并简述原因平衡方程，几何方程相同，物理方程不同。
在平面问题中，因为物体的搜有各点都不沿z方向移动即w=0，多亿z方向的线段都没有伸缩，即εz=0，σz=μ（σx+σy）带入其中可得4、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形5、有限单元法中，位移模式应满足什么条件？下列位移函数甜=aix+a2y+a3x2v=blx+b2y+b3y2能否作为三结点三角形单元的位移模式？简要说明理由。
位移模式必须能反应单元的钢铁位移，6弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（B．边界条件）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
7弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系(平衡方程、几何方程相同，物理方程不同)8根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列(A．静力上等效)的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计9三结点三角形单元中的位移分布为(B．线性分布)。
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(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在 各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。 以上基本假定将作为问题简化的出发点。
Y 0
Z 0
xy x
y y
zy z
Y 0
xz yz z Z 0 x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回 顾
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x
yz zx
1 z z x y E
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
E 1 x x y z 1 1 2 1 1 E 1 y x y z 1 1 2 1 1 E 1 z x y z 1 1 2 1 1 E xy xy 21 E yz yz 21 E zx zx 21
（HookeΒιβλιοθήκη s Law）弹塑性范围 弹性范围 斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
1 x x y z E 1 y y z x E
xy
1 xy G 1 yz G 1 zx G
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
h z 时 2
z 0
zx 0
zy 0
y
h
2
y
h
2
o
x
o
z
h
平面应力问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 弹性力学基本概念
§2-2 弹性力学的基本方程
§2-3 平面应变和平面应力问题
§2-1 弹性力学基本概念
位 移
回 顾
物体变形后的形状
应 变
物体的变形程度
应 力
物体的受力状态
弹 性 模量 量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
1
对 1 0 0 0 1 2 21 0 0
1 0 0 0
1 2 21 0
称 1 2 21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回 顾
Y、 Z 。设 弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为 X 、 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为 X nx x n y xy nz xz Y nx yx n y y nz yz Z nx zx n y zy nz z
uu
vv ww uu
(在 u 上)
用矩阵形式表示为：
(在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回 顾
平衡微分方程
几何方程 物理方程
σ b 0
ε t u
σ Dε
(在 内)
( 在 内) ( 在 内)
边界条件
nσ t
uu
(在 t 上)
(在 u 上)
§2-2 弹性力学基本方程
回 顾
b
zx
zx zy xz xz zy
c
b’
a
c’
yz
yz
xy
yx yx
d
a’
xy
d’ a’
1.平衡微分方程 由力平衡条件
回 顾
X 0
有
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
生在与坐标面xoy平行的平面内。
平面应变问题
zx 0 代入物理方程 将 yz 0，
yz
zx
E yz 21
E zx 21
得
yz 0
zx 0
1 z z x y E
T
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]
回 顾
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
B1 θ
θ1
A1
2
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
u x x
xy
v u x y
v y y
w z z
yz
w v y z
u w z x
zx
回 顾
几何方程式的矩阵形式为
ε t u
其中 t 为微分算子 的转置
x 0 0 t y 0 z
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy 三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力
问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z 轴方向) 远小
于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴； (3) 由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： (1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同；
(3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没 有变化；
(4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题 任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、
应变和位移必然是三向的。一般说来，
它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐
0 y 0 x z 0
0 0 z T 0 y x
3.物理方程：应力-应变的关系 由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状 态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关 系，即 σx = Eεx
Y
这就是虎克定律。 应力
得
1 1 x y x E 1 1 y x y E 1 21 xy xy xy G E
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
E (1 ) x x y (1 )(1 2 ) 1 E (1 ) y x y (1 )(1 2 ) 1 E E (1 ) 1 2 xy xy 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 )
u u v x 1 x, y , xy 2 x, y x y x v v w y 3 x, y , yz 0 y z y w u w z 0, zx 0 z z x
将 z 0 代入物理方程 得
z x y
在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。
平面应变问题
将 z x y 代入物理方程
1 x x y z E 1 y y z x E
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问 题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水 （油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴 的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y y
o z y z
o
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位
移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平
标（如x、y）的函数。平面问题可以进而
分为平面应变问题和平面应力问题两大类。
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于
横向（x，y）尺寸，且
与纵轴垂直的各截面都
相同；受到垂直于纵轴
但不沿长度变化的外力 （包括体积力X、Y，
同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿
长度变化。
平面应变问题
其矩阵表达式为
其中，面积力向量
t nσ
n x n0 0 0 ny 0 0 0 nz ny nx 0 0 nz ny
(在
t 上)
t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为
Y 0
Z 0
xy x
y y
zy z
Y 0
xz yz z Z 0 x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回 顾
σ b 0
其中， 是微分算子
x 0 0 0 y 0 0 0 z y x 0 0 z y z 0 x
yz zx
1 z z x y E
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
E 1 x x y z 1 1 2 1 1 E 1 y x y z 1 1 2 1 1 E 1 z x y z 1 1 2 1 1 E xy xy 21 E yz yz 21 E zx zx 21
（HookeΒιβλιοθήκη s Law）弹塑性范围 弹性范围 斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
1 x x y z E 1 y y z x E
xy
1 xy G 1 yz G 1 zx G
体积力沿板厚不变，且沿z轴方向的分力Z=0。在板 的前后表面上没有外力作用。即
h z 时 2
z 0
zx 0
zy 0
y
h
2
y
h
2
o
x
o
z
h
平面应力问题
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 弹性力学基本概念
§2-2 弹性力学的基本方程
§2-3 平面应变和平面应力问题
§2-1 弹性力学基本概念
位 移
回 顾
物体变形后的形状
应 变
物体的变形程度
应 力
物体的受力状态
弹 性 模量 量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
1
对 1 0 0 0 1 2 21 0 0
1 0 0 0
1 2 21 0
称 1 2 21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回 顾
Y、 Z 。设 弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为 X 、 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为 X nx x n y xy nz xz Y nx yx n y y nz yz Z nx zx n y zy nz z
uu
vv ww uu
(在 u 上)
用矩阵形式表示为：
(在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回 顾
平衡微分方程
几何方程 物理方程
σ b 0
ε t u
σ Dε
(在 内)
( 在 内) ( 在 内)
边界条件
nσ t
uu
(在 t 上)
(在 u 上)
§2-2 弹性力学基本方程
回 顾
b
zx
zx zy xz xz zy
c
b’
a
c’
yz
yz
xy
yx yx
d
a’
xy
d’ a’
1.平衡微分方程 由力平衡条件
回 顾
X 0
有
yx x dx dydz x dydz yx dy dxdz yx dxdz x x y zx zx dz dxdy zx dxdy Xdxdydz 0 z x yx zx X 0 化简得到 x y z
不等于零的三个应变分量是εx、εy和γxy，而且应变仅发
生在与坐标面xoy平行的平面内。
平面应变问题
zx 0 代入物理方程 将 yz 0，
yz
zx
E yz 21
E zx 21
得
yz 0
zx 0
1 z z x y E
T
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]
回 顾
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0 x y
xy x y y Y 0
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
B1 θ
θ1
A1
2
2.几何方程：位移-应变的关系
回 顾
六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
u x x
xy
v u x y
v y y
w z z
yz
w v y z
u w z x
zx
回 顾
几何方程式的矩阵形式为
ε t u
其中 t 为微分算子 的转置
x 0 0 t y 0 z
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy 三个。
平面应力问题
对于具有如下特征的构件，可作为平面应力
问题处理。
(1)物体沿一个坐标方向的尺寸(如沿z 轴方向) 远小
于沿其它两个方向的尺寸，如图所示的等厚度薄板；
(2)外力作用在周边上，并与xoy面平行，板的侧面 没有外力，体积力垂直于z轴； (3) 由于板的厚度很小，故外载荷面积力和体积力 都可看作是沿z轴方向均匀分布，并且为常量。
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待： (1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同；
(3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没 有变化；
(4) 物体的约束(支承)条件不随z轴变化。
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题 任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、
应变和位移必然是三向的。一般说来，
它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐
0 y 0 x z 0
0 0 z T 0 y x
3.物理方程：应力-应变的关系 由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状 态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关 系，即 σx = Eεx
Y
这就是虎克定律。 应力
得
1 1 x y x E 1 1 y x y E 1 21 xy xy xy G E
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
E (1 ) x x y (1 )(1 2 ) 1 E (1 ) y x y (1 )(1 2 ) 1 E E (1 ) 1 2 xy xy 2(1 ) (1 )(1 2 ) 2(1 )
u u v x 1 x, y , xy 2 x, y x y x v v w y 3 x, y , yz 0 y z y w u w z 0, zx 0 z z x
将 z 0 代入物理方程 得
z x y
在z轴方向没有应变，但其应力 σz并不为零。
平面应变问题
将 z x y 代入物理方程
1 x x y z E 1 y y z x E
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问 题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水 （油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴 的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y y
o z y z
o
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位
移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平
标（如x、y）的函数。平面问题可以进而
分为平面应变问题和平面应力问题两大类。
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于
横向（x，y）尺寸，且
与纵轴垂直的各截面都
相同；受到垂直于纵轴
但不沿长度变化的外力 （包括体积力X、Y，
同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿
长度变化。
平面应变问题
其矩阵表达式为
其中，面积力向量
t nσ
n x n0 0 0 ny 0 0 0 nz ny nx 0 0 nz ny
(在
t 上)
t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为