第3章平面应力和平面应变

弹性力学-平面应力-平面应变问题

平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为数学方程进行求解。适用于简单几何形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布，通常需要制作模型并进行加载测试。适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通过求解每个单元的平衡方程来得到整个物体的应力分布。适用于复杂几何形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物体受到的应力作用在某一平面内，且在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳等二维结构，其中应力分量在某一平面内变化，而垂直于该平面的方向上，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究可能会带来新的思想和理论。例如，与物理学、化学、生物学等学科的交叉可能会为弹性力学的研究提供新的视角和思路。
实验与理论的结合
实验技术的发展将有助于更好地验证理论的正确性和实用性。同时，理论的发展也将为实验提供更好的指导。因此，实验与理论的结合将是未来研究的一个重要方向。

1 平面应力和平面应变

x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论：平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy

试述平面应力问题和平面应变问题的特点。

平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。

它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。

2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。

3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。

4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。

平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。

2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。

3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。

4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。

这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。

它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。

弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件

系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在内)
几何方程物理方程
ε tu σDε
(在内) (在内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ，为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z

midas有限元理论-3 平面应力单元&平面应变单元

For triangular element
fi
(ξ
,η
)
=

1 2 1 4
(1+η ) (1+ ξiξ
)
(1
−
η
)
for i = 3 for i = 1, 2
For quadrilateral element
fi
(ξ
,η
)
=
1 4
(1+
ξiξ
)
(1
+
ηiη)
for i = 1, 2,3, 4
σ = Dε = DBq
where, D is the elasticity matrix defining mechanical properties of the material. Also, the matrix D is the
only difference that distinguishes plane stress elements from plain strain elements in finite element
∂v ∂x

=

∂x 0
∂ ∂y

∂
0

∂x
∂ u
∂y

v

=

0
∂
∂
∂x
∂y

0

∂ f1
∂y

0
∂
∂x
0 f1
f2 0
0 ... fn
f2
0
u1

v1

0

平面应力问题和平面应变问题

平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。

应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。

应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。

其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。

应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。

最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。

总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。

弹性力学平面应力问题和平面应变问题

特点
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's

弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件

系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在内)
几何方程物理方程
ε tu σDε
(在内) (在内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ，为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
得
x
1
E
1 x
y
y
1
E
1 y
x
xy
1 G
x
y
21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x
E(1) (1)(12)
x
1y
y
E(1) (1)(12)
1x
y
xy
E
2(1)
xy
E(1) (1)(12)
12 2(1)
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy
??2???????????????????1?zyxxe???????????1111??2???????????????????1?zyxye???????????1111???2????????e?e?e??1e???????1?????????????zyxz??????????111??xyxy????12??yzyz????12??zxzx????12若令???????????t?zxyzxyzyx??????tzxyzxyzyx??????代表应变列阵和应力列阵则应力应变关系可写成矩阵形式可写成矩阵形式?????????d其中??d??22???????????????????????????????????11????????11??2????????????221000111111111称对e????????????????1??1??2??22100000210000称为弹性矩阵弹性矩阵由弹性常数e和决定