如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
如何区分平面应力与平面应变问题
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
ﻫ平面应力:只在平面内有应力,与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
ﻫ平面应变:只在平面内有应变,与该面垂直方向的应变可忽略,例如水坝侧向水压问题。
具体说来：ﻫ平面应力是指所有的应力都在一个平面内,如果平面是OXY平面,那么只有正应力σx,σy，剪应力τｘy(它们都在一个平面内）,没有σz,τyz，τｚx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内,同样如果平面是OＸY平面,则只有正应变εx，εy和剪应变γxy,而没有εz,γyz，γzx。
举例说来：ﻫ平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体,横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变;柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板,薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用.
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弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
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有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
1 平面应力和平面应变
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
df1 ( y ) dy
积分(e) ，得：
df 2 ( x) dx (d)
(e)
u f1 ( y ) v f 2 ( x)
1 v2 v x ( x y) E2 1 v 1 v v y ( y x) E 1 v 2(1 v) xy xy E
注：
（16）
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
（15）
—— 平面应力问题的 物理方程
1 x x v( x z ) E 1 y y v( z x ) E 1 z z v( x y ) E
yz
zx
注： (1)
E xy xy 2(1 v)
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（15）
（9）
未知量数： x , y , xy , x , y, xy , u , v
方程数： 8个 8个
结论： 在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
平面问题分为平面应力和平面应变问题
201330131867张伟
若干平面问题汇总
平面问题分为平面应力和平面应变问题，平面应力问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远小于另外两个方向的尺寸；受力方面，外力平行于板面且不沿厚度方向变化。
平面应变问题的特征：尺寸方面，一个方向的尺寸远大于另外两个方向的尺寸;受力方面，外力平行于横截面且不沿长度方向变化。
不同的材料有不同的弹性模量，泊松比，其本构关系也不同。
相容方程的推导可知物体必须变形满足几何方程，且各个应变分量是互相关联的。
应力相容方程建立在应变相容方程的基础上，常体力下的相容方程是应力相容方程的一种特例。
应力函数的相容方程是建立在平衡微分方程的基础上，该方程又叫双重调和方程。
由单纯的几何方程推导出来应变相容方程，然后加上物理方程，发展成了应力相容方程。
由单纯的平衡微分方程推导出了双重调和方程。
平面问题的解法有位移法，应力法，混合法。
在体力为常量，用应力法求解平面问题的方法有逆解法和半逆解法。
逆解法先设定Ф函数，求应力分量，验算是否满足边界条件，不满足就修改Ф函数，直到满足。
半逆解法根据问题，实际状况，假定部分应力分量的函数形式，然后积分求出应力函数，回代求出全部应力分量，，验算是否满足边界条件，不满足就重新假定应力分量函数，直到满足。
圣维南原理：较小的面力的影响效应产生在接触范围域内，远离这个域，效应会降低到忽略不计。
、
工程科研方法：有限元法，实验法，解析法。
平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。
应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。
应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。
其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。
应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。
最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。
总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。
别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。
让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。
平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。
而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。
这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。
这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。
这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。
胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。
换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。
那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。
假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。
现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。
我们想要知道板子发生了多大的形变。
我们需要计算出板子受到的总应力。
因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。
接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。
根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。
将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。
什么是平面应变与平面应力
平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。
在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。
例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。
在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。
上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。
本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。
三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。
平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。
通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。
平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。
通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。
平面应力和平面应变
N lm( 2 1 )
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
结论
（4）最大、最小剪应力 由
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
y yx
yx x
y
dx dy ds
斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
xy
B
YN
cos( N , x) l cos( N , y) m
由微元体平衡： Fx 0, x dy 1 yx dx 1 X N ds 1 0
dx ds m dy ds l
建立边界条件：
（1）应力边界条件； （2）位移边界条件；
O §3-2 平面问题基本方程
P
y
x
yx A
X
x
y
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
d
dy
y
y y
xy
xy x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
2 2
y
xy N
B YN
N
s
N
（5）
（1）运用了剪应力互等定理： xy 说明： （2） N 的正负号规定
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
（6） —— 任意斜截面上应力计算公式
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如何区分平面应力与平面应变问题
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：
平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有
σz，τyz，τzx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
举例说来：
平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用.。