北京2011丰台数学理

正视图俯视图丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）2011.1一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．集合2{90}P x x =-<，{13}Q x x =∈-≤≤Z ，则P ∩Q =A ．{33}x x -<≤B ．{13}x x -≤<C ．{10123}-，，，，D ．{1012}-，，，2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ．32225+π B ．3225πC ．3225π D ．12825π 3．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是A ．1x ∀>，210x ->B ．1x ∀>，210x -≤C ．1x ∃>，210x -≤D ．1x ∃≤，210x -≤4．如果向量(,1)a k =r 与(61)b k =+r，共线且方向相反，那么k 的值为 A ．-3B ．2C ．17-D ．175．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有 A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种6．设偶函数()f x 在[0)+∞，上为增函数，且(2)(4)0f f ⋅<，那么下列四个命题中一定正确的是A ．(3)(5)0f f ⋅≥开始2a =,1n =输出a结束3a a =1n n =+ 2010n >是 否B ．(3)(5)f f ->-C ．函数在点(4(4))f --，处的切线斜率10k <D ．函数在点(4(4))f ，处的切线斜率20k ≥7．程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中*n ∈N 且2010n ≤．那么数列{}n a 的通项公式为 A ．123n n a -=⋅B ．31nn a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+8．用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{}f x x x =，1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是A ．3512B ．5924C ．578D ．9112二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．复数21ii+= ． 10．在△ABC 中，如果::3:2:4a b c =，那么cos C = ．11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．12．过点(34)-，且与圆22(1)(1)25x y -+-=相切的直线方程为 ．13．已知x ，y 满足约束条件1260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，，， 那么3z x y =+的最小值为 ．14．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分 15.（本小题共13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．16.（本小题共14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，点D 在AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅲ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．AA 1B CDB 1C 117.（本小题共13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响． （I ） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18.（本小题共13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(20)M -，的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点．（I ）若12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率． 19.（本小题共14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （I ）求()f x 的单调区间；（II ）当0<a <2时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值．20.（本小题共13分）已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115，…；当2a =时，得到常数列2，2，2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0． （Ⅰ）若30a =，求a 的值；（Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区高三数学第一学期期末理科参考答案及评分标准2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9．1+i 10．14-11．85，3.2 12．43240x y -+= 13．11214．γ>α>β注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．,.（Ⅰ）求()4f π的值； （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 21)14f x x x x ωωωπ=--=--．因为22T π=，所以 T =π，1ω=．所以 ())14f x x π=--．所以()04f π= ………………………7分（Ⅱ）())14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，所以 当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()1f x =， 当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………………………13分16.（本小题满分14分）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =5，AC =4，BC =3，AA 1=4，点D 在AB 上． （Ⅰ）求证：AC ⊥B 1C ；（Ⅱ）若D 是AB 中点，求证：AC 1∥平面B 1CD ； （Ⅲ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．AA 1B CDB 1C 1 E 证明：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 AB =5，AC =4，BC =3，所以 AC 2+ BC 2= AB 2， 所以 AC ⊥BC ．因为 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以 C C 1⊥AC ．因为 BC ∩AC =C ，所以 AC ⊥平面B B 1C 1C ．所以 AC ⊥B 1C ． ………………………5分（Ⅱ）证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，DE ．因为 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，D 是AB 中点， 所以 侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE // AC 1． 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ， 所以AC 1∥平面B 1CD ． ………………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，所以如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ． 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 0, c )，B 1 (3, 0, 4)． 设D (a , b , 0)（0a >，0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =u u u r u u u r ．所以 2a =，43b =，4(1,,0)3BD =-u u u r ．所以 1(3,0,4)B C =u u u r ，(3,4,0)BA =-u u u r ，4(2,,0)3CD =u u u r ．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =u u r．设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =u u r，由 120B C n ⋅=u u u r u u r ，20CD n ⋅=u u u r u u r， 得3404203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以 43x =-，2y =，24(,2,1)3n =-u u r ．设二面角1B CD B --的大小为θ，所以1212cos n n n n θ⋅==u u r u u r u u r u u r ． 所以二面角1B CD B --的余弦值为61． ………………………14分17.（本小题满分13分）某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是0.6，答对第二题的概率是0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响． （I ） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率；（Ⅱ）记ξ为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．解：（I ）设“学生答对第一题”为事件A ,“学生答对第二题”为事件B ．所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为()()()()P P AB AB AB P AB P AB P AB =++=++0.40.50.60.50.50.60.8=⨯+⨯+⨯=． ………………………5分（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～(3,0.8)B ．3(0)0.20.008P ξ===，123(1)0.80.20.096P C ξ==⨯⨯=，223(2)0.80.20.384P C ξ==⨯⨯=，3(3)0.80.512P ξ===．所以，ξ的分布列为30.8 2.4E ξ=⨯=． ………………………13分18.（本小题满分13分）已知O 为平面直角坐标系的原点，过点(2,0)M -的直线l 与圆221x y +=交于P Q 、两点．（Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的方程；（Ⅱ）若OMP ∆与OPQ ∆的面积相等，求直线l 的斜率． 解：（Ⅰ）依题意，直线l 的斜率存在，因为 直线l 过点(2,0)M -，可设直线l ：(2)y k x =+．因为 P Q 、两点在圆221x y +=上，所以 1OP OQ ==u u u r u u u r，因为 12OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，所以 1cos 2OP OQ OP OQ POQ ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r所以 120POQ ︒∠= 所以 O 到直线l 的距离等于12．,.所以12 =，得15k=±，所以直线l的方程为20x-+=或20x++=．………………………6分（Ⅱ）因为OMP∆与OPQ∆的面积相等，所以2MQ MP=u u u u r u u u r，设11(,)P x y，22(,)Q x y，所以22(2,)MQ x y=+u u u u r，11(2,)MP x y=+u u u r．所以212122(2)2x xy y+=+⎧⎨=⎩即21212(1)2x xy y=+⎧⎨=⎩（*）；因为P，Q两点在圆上，所以2211222211x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩把（*）代入，得2211221114(1)41x yx y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，所以1178xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线l的斜率MPk k==，即9k=±．………………………13分19.（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x=+-+．（I）求()f x的单调区间；（II）当0<a<2时，求函数2()()1g x f x x ax=---在区间[03]，上的最小值．解：（I）定义域为(1,)-+∞．12(2)()2(1)11x x f x x x x +'=+-=++． 令()0f x '>，则2(2)01x x x +>+，所以2x <-或0x >． 因为定义域为(1,)-+∞，所以0x >． 令()0f x '<，则2(2)01x x x +<+，所以20x -<<． 因为定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<．所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-． ………………………7分（II ）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x a g x a x x x--'=--=++． 因为0<a <2，所以20a ->，02a a>-． 令()0g x '> 可得2a x a>-． 所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a a+∞-上为增函数． ①当032a a <<-，即302a <<时， 在区间[03]，上，()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,3)2a a-上为增函数． 所以min 2()()2ln 22a g x g a a a==---． ②当32a a ≥-，即322a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数． 所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--． 综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a =--； 当322a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--． ………………………14分20.（本小题满分13分） 已知函数2()1f x x=+，数列{}n a 中，1a a =，1()n n a f a +=*()n ∈N ．当a 取不同的值时，得到不同的数列{}n a ，如当1a =时，得到无穷数列1，3，53，115…；当2a =时，得到常数列2,2,2，…；当2a =-时，得到有穷数列2-，0．（Ⅰ）若30a =，求a 的值； （Ⅱ）设数列{}n b 满足12b =-，1()n n b f b +=*()n ∈N ．求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）如果当2n ≥时，都有533n a <<，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 30a =，且3221a a =+， 所以 22a =-． 同理可得123a =-，即23a =-． ………………………3分 （Ⅱ）证明：假设a 为数列{}nb 中的第*()i i ∈N 项，即1i a a b ==；则211()()i i a f a f b b -===；3212()()i i a f a f b b --===；………121()()2i i a f a f b b -====-；12()10i i ia f a a +==+=， 即1()(2)0i i a f a f +==-=。