2014北京市高考压轴卷理科数学试题和答案

2014北京市高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知11xyi i=-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则123()()()f x f x f x ++的值为()A.正B.负C.零D.可正可负3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π 4.如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( )A ．-1B ．CD ．15.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为A． B．C． D．7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）B8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）9.已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，则实数a 的值为________________.10.已知如图所示的流程图(未完成)，设当箭头a 指向①时输出的结果S ＝m ，当箭头a 指向②时，输出的结果S ＝n ，求m ＋n 的值．11.若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ． 12.展开式中有理项共有 项．13.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是_______14.设a ∈R ，若x ＞0时均有[（a ﹣1）x ﹣1]（x 2﹣ax ﹣1）≥0，则a= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．15.已知向量)4cos ,4(cos ),1,4sin 3(2x x x ==．记x f ⋅=)( (I)求)(x f 的周期；(Ⅱ)在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a —c)cos B=b cosC ， 若f (A )=，试判断∆ABC 的形状． 16.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”． ①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 下面临界值表供参考：参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题. 17.已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.19.已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.20.已知函数2()2ln f x x x ax =-+（a ∈R ）.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()g x f x ax m =-+在1[e]e ,上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(0)(0)A x B x ，，，，且120x x <<， 求证：12()02x x f +'<（其中()f x '是()f x 的导函数）．2014北京市高考压轴卷数学理参考答案1. 【答案】D 【解析】1()1,2,1,12x x xi yi x y i =-=-∴==+故选D ． 2. 【答案】B【解析】∵3()f x x x =--，∴函数()f x 在R 上是减函数且是奇函数，∵120x x +>，∴12x x >-，∴12()()f x f x <-，∴12()()f x f x <-，∴12()()0f x f x +<， 同理：23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +<，∴123()()()0f x f x f x ++<.3. 【答案】A【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．故选A ． 4. 【答案】A. 【解析】5. 【答案】C【解析】①若m⊥n，m⊥α，则n 可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确 ③过直线m 作平面γ交平面β与直线c ， ∵m、n 是两条异面直线，∴设n∩c=O， ∵m∥β，m ⊂γ，γ∩β=c∴m∥c， ∵m ⊂α，c ⊄α，∴c∥α，∵n ⊂β，c ⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α ∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m ，n ⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确 故正确命题有三个，故选C6.【答案】C.【解析】由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数，，，，在是减函数，所以由得，，即，故选7.【答案】C.【解析】设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选C．8.【答案】A.【解析】由f（1+x）=f（1﹣x）可得函数f（x）的图象关于x=1对称，方程在区间[﹣3，3]根的个数等价于f（x）与y=图象的交点的个数，而函数y=图象可看作y=的图象向下平移1个单位得到，作出它们的图象如图：可得两函数的图象有5个交点，故选A【解析】①若a-3=-3,则a=0，此时：}1,1,3{},3,1,0{--=-=B A ,}3,1{-=⋂∴B A ,与题意不符，舍 ②若2a-1=-3,则a=-1，此时：}2,4,3{},3,1,0{--=-=B A ，}3{-=⋂∴B A ，∴a=-1 ③若a2+1=-3,则a 不存在 综上可知：a=-1 10. 【答案】20.【解析】当箭头指向①时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0，S ＝1； i ＝2，S ＝0，S ＝2； i ＝3，S ＝0，S ＝3； i ＝4，S ＝0，S ＝4； i ＝5，S ＝0，S ＝5； i ＝6结束． ∴S＝m ＝5．当箭头指向②时，计算S 和i 如下． i ＝1，S ＝0， S ＝1； i ＝2，S ＝3； i ＝3，S ＝6；i ＝4，S ＝10； i ＝5，S ＝15； i ＝6结束． ∴S＝n ＝15． ∴m＋n ＝20． 11. 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====【解析】展开式通项公式为T r+1==若为有理项时，则为整数，∴r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项， 故答案为：3 13.【答案】4.【解析】设过坐标原点的一条直线方程为y kx =，因为与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，所以0k >，且联列解得,P Q ⎛ ⎝，所以4PQ ==≥14. 【答案】【解析】（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a ≠1，构造函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1，y 2=x 2﹣ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 考查函数y 1=（a ﹣1）x ﹣1：令y=0，得M （，0），∴a ＞1；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣1，显然过点M （，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：15. 【解析】211()cos cos cos 4442222x x x x x f x +=++1sin 262x π⎛⎫=++⎪⎝⎭（I ）π4=T（Ⅱ 根据正弦定理知：()2cos cos (2sin sin )cos sin cos a c B b C A C B B C -=⇒-=12sin cos sin()sin cos 23A B B C A B B π⇒=+=⇒=⇒=∵()f A =∴1sin 262263A A πππ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭或23π3A π⇒=或 π 而203A π<<，所以3A π=，因此∆ABC 为等边三角形.……………12分16. 【解析】（Ⅰ）由表中数据得K 2的观测值k =42×(16×12－8×6)224×18×20×22=25255≈4.582>3.841. ……2分 所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分 （Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学． 方法一：令事件A 为“甲被抽到”；事件B 为“乙丙被抽到”，则P(A∩B)=33318C C ，P(A)=217318C C .所以P(B|A)=P(A∩B )P(A)=33217C C =217×16 =1136. ……7分 方法二：令事件C 为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”， 则P(C)=22217C C =217×16=1136. ②由题知X 的可能值为0，1，2.依题意P(X =0)=316318C C =3551；P(X =1)=21162318C C C =517；P(X =2)=12162318C C C =151. 从而X 的分布列为……10分 于是E(X)=0×3551＋1×517＋2×151=1751=13. ……12分17. 【解析】证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A BC D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. ………1分 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分因为1AA AC A =,所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD AC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-uuuu r uuu r . 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu rn n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分 令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（Ⅰ）可知平面1AAC 的法向量为 (2,2,0)DB =u u u r. ……7分所以cos ,DB <>==uu u rn ……8分 因为二面角11--A AC D 为钝二面角，所以二面角11--A AC D的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r. 因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. ………11分 设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ，所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u rm m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分 令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . ………13分 若平面11ACD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=. 所以当113CP PC =时，平面11ACD ⊥平面PBD . ………14分 18.【解析】（Ⅰ）由条件2,a b =…………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分 （Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立. 设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ， 直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分 令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x yN ， 所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422yy x x =+-- 122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++ 34k =-所以k k '⋅为定值43-. …………13分19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分 所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分 即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分 所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分 所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分所以210n n a qa ++-=. 因为0n a >， 所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分 （２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分20. 【解析】（Ⅰ）当2a =时，2()2ln 2f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，切点坐标为(11)，， 切线的斜率(1)2k f '==，则切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-. ····························· 2分（Ⅱ）2()2ln g x x x m =-+，则22(1)(1)()2x x g x x xx-+-'=-=，∵1[e]e x ∈，，故()0g x '=时，1x =.当11ex <<时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<.故()g x 在1x =处取得极大值(1)1g m =-. ·············································································· 4分 又211()2e e g m =--，2(e)2e g m =+-，2211(e)()4e 0e e g g -=-+<，则1(e)()eg g <，∴()g x 在1[e]e，上的最小值是(e)g . ······················································································· 6分()g x 在1[e]e ，上有两个零点的条件是2(1)10,11()20,eeg m g m =->⎧⎪⎨=--≤⎪⎩解得2112e m <≤+， ∴实数m 的取值范围是21(12]e+，. ··························································································· 8分（Ⅲ）∵()f x 的图象与x 轴交于两个不同的点12(0)(0)A x B x ，，，，∴方程22ln 0x x ax -+=的两个根为12x x ，，则211122222ln 0,2ln 0,x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩两式相减得1212122(ln ln )()x x a x x x x -=+--.又2()2ln f x x x ax =-+，2()2f x x a x'=-+，则1212124()()2x x f x x a x x +'=-+++1212122(ln ln )4x x x x x x -=-+-. 下证1212122(ln ln )40x x x x x x --<+-（*），即证明2111222()ln 0x x x x x x -+<+，12x t x =， ∵120x x <<，∴01t <<，即证明2(1)()ln 01t u t t t -=+<+在01t <<上恒成立. ·················· 10分 ∵22222(1)2(1)114(1)()(1)(1)(1)t t t u t t t t t t t -+---'=+=-=+++，又01t <<，∴()0u t '>， ∴()u t 在(0,1)上是增函数，则()(1)0u t u <=，从而知2111222()ln 0x x x x x x -+<+， 故（*）式＜0，即12()02x x f +'<成立………….12分。