7第七讲、弹性力学平面问题(课堂PPT)
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弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
冯西桥弹性力学07平面问题B
果，但应注意选其中反映问题本质的那些变化规律
。
d) 灵活应用叠加原理。把几个能满足域内方程的解
叠加起来去共同满足边界条件。
•
第三步的关键是要正确地给定边界条件。在
主要边界上应逐点给定力或位移的边界条件；在放
松边界上则以积分形式给定合力和合力矩的边界条
件；在集中力作用处，应转化为附近球面上的积分
形式条件。
非轴对称问题
•q
1
•y •q
2
•x
•a
•q
•q2 •y
1
•=
•x
•a
•+
•＋
•y •q ’
•q
• •x
•a •q
’
’
•q’
•Chapter 7.7
•y •q
非轴对称问题
•q ’
’
• •x
•a •q
’
•关于 =45°的反对称问题的解
•q’
•周期函数
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•q ’
•y •q ’
非轴对称问题
•+C03 (不引起应力
)
•+C13rcos (不引起应力) •+C’13rsin (不引起应力)
•Chapter 7.7
非轴对称问题
•几个典型问题
(1) 闭合圆环形域：边界： • r =常数 的 复连通域，周期
性 (2)曲梁： 单连通域。 边界： • r =常数（主要边），
• =常数（次要边）
•位移单值条件要求：B=0
•对于两端自由的轴对称问题，无 论轴向有多长都属于平面应力问题 。
•Chapter 7.6
轴对称问题
弹性力学平面问题
( x, y , z )
弹性力学基本方程
4 物理方程
1 2(1 ) x [ x ( y z )], xy xy E E 1 2(1 ) y [ y ( z x )], yz yz E E 1 2(1 ) z [ z ( x y )], zx zx E E
单元虚应变： 虚位移原理：
* B
(e)
(e)
d *
(e)
{d }
* (e)T
{F }
(e)
A( e )
{ }
* (e) T
{ }( e ) tdxdy
{d }
由虚位移的任意性可得： 单元刚度矩阵：
* (e)T
A( e )
[ B ]T [ D ][ B ]{d }( e ) tdxdy
1 br bs 2 cr cs Et [ k rs ] 2 1 4(1 ) cr bs br cs 2
(i, j x, y, z )
( x, y , z )
3 几何方程
u u v , xy x y x v v w y , yz y z y w w u z , zx z x z
x
张量表示：
1 ij (ui , j u j ,i ) 2 (i, j x, y, z )
δ{ } { }dxdy δ{u} { f }dxdy δ{u} { f }dS
T T T S x
或者：
(
δ x y δ y xy δ xy )dxdy (f x δu f y δv)dxdy
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹性力学 第七章平面问题的极坐标解答
x r cos
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
得
x
1
E
1 x
y
y
1
E
1 y
x
xy
1 G
x
y
21
E
xy
平面应变问题
应力：如果用应变分量来表示应力分量，则有
x
E(1) (1)(12)
x
1y
y
E(1) (1)(12)
1x
y
xy
E
2(1)
xy
E(1) (1)(12)
12 2(1)
xy
由上面的分析可知，独立的应力分量只有 σx、σy 和xy
??2???????????????????1?zyxxe???????????1111??2???????????????????1?zyxye???????????1111???2????????e?e?e??1e???????1?????????????zyxz??????????111??xyxy????12??yzyz????12??zxzx????12若令???????????t?zxyzxyzyx??????tzxyzxyzyx??????代表应变列阵和应力列阵则应力应变关系可写成矩阵形式可写成矩阵形式?????????d其中??d??22???????????????????????????????????11????????11??2????????????221000111111111称对e????????????????1??1??2??22100000210000称为弹性矩阵弹性矩阵由弹性常数e和决定
弹性力学平面问题
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
§3.1 弹性力学基本概念
4)完全弹性假设 ❖ 假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。
同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。
5）微小变形假设 ❖ 假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸， 应变分量和转角均远小于1。 •上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称 为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性 体的问题称为线性弹性力学。
第三章 弹性力学平面问题有限元法
§3.1 弹性力学基本概念
• 弹性力学研究方法概述 1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程； 2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应 变分量和位移分量之间的微分方程。 3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。 4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界 条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。 上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，
§3.1 弹性力学基本概念
四、弹性力学中的基本量
• 弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应 力、应变、位移。
❖ 外力 1) 体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力 （矢量）。如：重力、惯性力等。 2) 表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力 （矢量）。如：静水压力、接触力等。
❖ 通过前面的基本方程求解弹性力学 问题时，必须考虑上述边界上位移 的协调和力的平衡——边界条件。
❖ 边界条件描述如下：
1）位移边界条件
u = u,v = v 在 Su 上
2）应力边界条件
l x + m xy = t x m y + l xy = t y
弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解
第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
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应力边界条件：
l( x )s m( xy )s fx
（2-17）
x
E
1 2
u x
v y
y
E
1 2
v y
u x
（a）
m( y )s l( xy )s f y
将式（a）代入，得
xy
E 2(1
)
v x
u y
E
1
2
E
1 2
l
u x
v y
s
m
1
2
m
v y
u x
s
l
1
2
u y
v x
s
s
v x
u y
s
fx
（2-21）
fy
§2-9 按应力求解平面问题
相容方程
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
按应力求解平面问题的未知函数： x (x, y), y (x, y), xy (x, y)
平衡微分方程：
x
xy
x y
fx 0
y
)
y0
x
dx
P
h 2
sin
x
h
Fx 0
h
yx
dx P cos
y0
0
yx
y
h
( h
yx ) y0dx
P
cos
y
注意： y , xy
可见，与前面结果相同。
必须按正向假设！
本讲主要内容ห้องสมุดไป่ตู้
§2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程
（重点） §2-10 常体力情况下的简化
将几何方程代入，有
x
E
1 2
u x
v y
y
E
1 2
v y
u x
（a）
xy
E 2(1
)
v x
u y
E
1 2
E
1 2
2u x2 2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy
fx fy
0 0
（2-20）
（2）将边界条件用位移表示
位移边界条件： us u , vs v
h
h ( yx ) y0dx P cos
注意： y , xy
必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0
h
h
y
dx
y0
P sin
0
h
h
y
dx P sin
y0
M O 0
h h
y
xdx
y0
P h sin 0
2
P
h h
(
弹性力学
主讲 ：张 盛 能源科学与工程学院
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
ZS
上讲回顾（引言）
§2-5 物理方程
弹性模量， 泊松比
§2-6 边界条件
应力边界，位移边界，混合边界
§2-7 圣维南原理
静力等效， 原理应用
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
x xh 0
xy
xh
0
右侧面： l 1, m 0 f x y, f y 0
代入应力边界条件公式，有
x xh y
xy xh 0
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
h
y方向力等效：
h
(
y
)
dx
y0
P
sin
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效：
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
§2-8 按位移求解平面问题
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
3. 物理方程
x
x
yx
y
fx
0
x
1 E
(
x
y)
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
y
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
3. 物理方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
（2-9）
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
（2-15）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移： 应力：
uvss
u v
（2-17）
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
（2-18）
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出
y yx
水坝的应力边界条件。
左侧面： l 1, m 0 f x f y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s f x m( y )s l( xy )s f y
v x
u y
s
fx fy
（2-21）
式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程
说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。
（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。
（3）按位移求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
E
1 2
E
1 2
2u x2 2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy
fx fy
0 0
（2-20）
（2）边界条件：
位移边界条件： us u , vs v
（2-17）
应力边界条件：
E
1
2
E
1 2
l
u x
v y
s
m
1
2
m
v y
u x
s
l
1
2
u y
v x
（2-18）ZS
2、弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、
v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与
形变分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分 量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出
形变分量与位移。
（3）混合求解
以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将， 并求出这些未知量，再求出其余未知量。
3、按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
x
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
（2-19）
xy
E 2(1
)
xy
将式(a)代入平衡方程，化简有
1 E
(
y
x)
（2-15）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
（2-9）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移：
uvss
u v
（2-17）
xy
v x
u y
l( x )s m( xy )s fx 应力： m( y )s l( xy )s f y
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
yx
x
y
y
fy 0
（2-2） 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程，从形变、形
变与应力的关系建立补充方程。
1、变形协调方程（相容方程）
将几何方程：
x
u x
,y
v y
,
xy
u y
v x
作如下运算： 2 x 3u
y2 xy2
2 y
x2
3v yx2
2 xy
xy
l( x )s m( xy )s fx
（2-17）
x
E
1 2
u x
v y
y
E
1 2
v y
u x
（a）
m( y )s l( xy )s f y
将式（a）代入，得
xy
E 2(1
)
v x
u y
E
1
2
E
1 2
l
u x
v y
s
m
1
2
m
v y
u x
s
l
1
2
u y
v x
s
s
v x
u y
s
fx
（2-21）
fy
§2-9 按应力求解平面问题
相容方程
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
2020/4/22
ZS
按应力求解平面问题的未知函数： x (x, y), y (x, y), xy (x, y)
平衡微分方程：
x
xy
x y
fx 0
y
)
y0
x
dx
P
h 2
sin
x
h
Fx 0
h
yx
dx P cos
y0
0
yx
y
h
( h
yx ) y0dx
P
cos
y
注意： y , xy
可见，与前面结果相同。
必须按正向假设！
本讲主要内容ห้องสมุดไป่ตู้
§2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题 相容方程
（重点） §2-10 常体力情况下的简化
将几何方程代入，有
x
E
1 2
u x
v y
y
E
1 2
v y
u x
（a）
xy
E 2(1
)
v x
u y
E
1 2
E
1 2
2u x2 2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy
fx fy
0 0
（2-20）
（2）将边界条件用位移表示
位移边界条件： us u , vs v
h
h ( yx ) y0dx P cos
注意： y , xy
必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
Fy 0
h
h
y
dx
y0
P sin
0
h
h
y
dx P sin
y0
M O 0
h h
y
xdx
y0
P h sin 0
2
P
h h
(
弹性力学
主讲 ：张 盛 能源科学与工程学院
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
ZS
上讲回顾（引言）
§2-5 物理方程
弹性模量， 泊松比
§2-6 边界条件
应力边界，位移边界，混合边界
§2-7 圣维南原理
静力等效， 原理应用
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2020/4/22
x xh 0
xy
xh
0
右侧面： l 1, m 0 f x y, f y 0
代入应力边界条件公式，有
x xh y
xy xh 0
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
h
y方向力等效：
h
(
y
)
dx
y0
P
sin
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效：
HPU
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2020/4/22
ZS
§2-8 按位移求解平面问题
HPU
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2020/4/22
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
3. 物理方程
x
x
yx
y
fx
0
x
1 E
(
x
y)
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
y
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
3. 物理方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
（2-2）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
（2-9）
x
1 E
(
x
y)
y
1 E
(
y
x)
（2-15）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移： 应力：
uvss
u v
（2-17）
l( x )s m( xy )s fx
m( y )s l( xy )s f y
（2-18）
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出
y yx
水坝的应力边界条件。
左侧面： l 1, m 0 f x f y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s f x m( y )s l( xy )s f y
v x
u y
s
fx fy
（2-21）
式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程
说明： （1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。
（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。
（3）按位移求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程：
E
1 2
E
1 2
2u x2 2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy
fx fy
0 0
（2-20）
（2）边界条件：
位移边界条件： us u , vs v
（2-17）
应力边界条件：
E
1
2
E
1 2
l
u x
v y
s
m
1
2
m
v y
u x
s
l
1
2
u y
v x
（2-18）ZS
2、弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、
v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与
形变分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分 量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出
形变分量与位移。
（3）混合求解
以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将， 并求出这些未知量，再求出其余未知量。
3、按位移求解平面问题的基本方程
（1）将平衡方程用位移表示
由应变表示的物理方程
x
E
1 2
( x
y )
y
E
1 2
( y
x )
（2-19）
xy
E 2(1
)
xy
将式(a)代入平衡方程，化简有
1 E
(
y
x)
（2-15）
2. 几何方程
x
u x
y
v y
（2-9）
xy
2(1 E
) xy
（平面应力问题）
4. 边界条件
位移：
uvss
u v
（2-17）
xy
v x
u y
l( x )s m( xy )s fx 应力： m( y )s l( xy )s f y
HPU
ZS《Rock Mass Mechanics》
yx
x
y
y
fy 0
（2-2） 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程，从形变、形
变与应力的关系建立补充方程。
1、变形协调方程（相容方程）
将几何方程：
x
u x
,y
v y
,
xy
u y
v x
作如下运算： 2 x 3u
y2 xy2
2 y
x2
3v yx2
2 xy
xy