弹性力学的平面问题解法
弹性力学第四章平面问题的极坐标解答
圆环或圆筒受均布压力（1）
q2 q1
边界条件：
圆环或圆筒受均布压力（2）
q2
q1
两个方程三个未知数，不能求解A，B，
C。因此，需引入位移单值条件：
该项必须为零，否则在环上同一点有两 个不同的位移，故B=0
圆环或圆筒受均布压力（3）
பைடு நூலகம்q2
q1 因此，得到圆筒受均匀压力的拉梅 （ me,1795—1870 ，法国）解答：
小孔口问题的特点：
1.集中性，孔附近的应力远大于较远处的应力。
2.局部性，孔口附近的应力扰动主要发生在距孔 边1.5倍孔口尺寸的范围内。在此区域外，由于开 孔引起的应力扰动一般小于5%，可以忽略不计。
注：圆孔的应力集中程度较低，有凹尖角的孔口 应力集中程度较高，因此，在设计结构时应尽量 避免有凹尖角的孔口。
o
x 在仅有径向位移的情况下，段
P P’ A
PA没有转动，因此：
A’
B
C
y
B’
极坐标中的几何方程（5）
— 纯环向位移下的线应变
o
x
很小，导致P’’A’’与PA
P P’’
的差别可以忽略，因此：
A
B B’’
D
D’
A’’
y
极坐标中的几何方程（6）
— 纯环向位移下的切应变
o
x
P
P’’
A
B B’’
D
D’
A’’
阶，因此假定：
半面体在边界上受集中力（2）
F
ao
c
ρ
代入极坐标中的相容方程：
b
得到：
半面体在边界上受集中力（3）
代入：
F
ao
5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
6-1弹性力学平面问题(基本理论)
v 0 x x l
x ( sin ) xy cos 0 y cos yx ( sin ) 0
例6-3
图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖 点A处无应力存在。
（a） （b）
（2） x C ( x 2 y 2 )， y Cy 2， xy 2Cxy；
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x xy Fbx 0 x y yx y Fby 0 x y
3xy 2 3xy 2 0
y y 0
y
xy
x y y 0 p( x) p0 l (2) BC段（x l）： l1 1, l2 0
u |x l 0, v |x l 0
u y 0,
x l
y 0
0
(3) AC段（y x tan）:
l1 cos( N , x) cos(90 ) sin
( x ) s l1 ( yx ) s l2 px ( xy ) s l1 ( y ) s l2 p y
px p y 0
x x h 0
xy x h
0
右侧面： x h l1 1, l2 0 px y, p y 0 代入应力边界条件公式，有
l O x a b
z p
y
l a ， l b ——近似认为无限长
2. 受力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝 3. 简化分析
（1）位移分量
《弹性力学》第五章平面问题的复变函数法
在非线性弹性力学中的应用
解决几何非线性问题
01
通过引入复变函数法，可以更精确地描述和分析材料
的几何非线性行为，如大变形、弯曲和扭转等。
分析材料非线性特性
02 复变函数法可用于研究材料的非线性本构关系，包括
弹性模量、泊松比和屈服强度等随应变变化的规律。
求解非线性弹性力学方程
03
利用复变函数法的数学工具，可以更有效地求解非线
03
典型应力集中问题的 复变函数解法
通过实例详细讲解复变函数法在求解 典型应力集中问题中的应用，如圆孔 、椭圆孔、矩形孔等孔边应力集中的 求解。
裂纹问题的复变函数解法
裂纹问题的定义和 分类
介绍裂纹的概念、分类以及裂 纹对材料和结构的影响，如疲 劳裂纹、脆性裂纹等。
复变函数法在裂纹 问题中的应用
阐述如何利用复变函数法求解 裂纹问题，包括裂纹尖端应力 场的求解、裂纹扩展的判据等 。
在迭代计算过程中，要判断 计算结果的收敛性。如果结 果不收敛，应调整计算参数 或改进算法。误差Fra bibliotek析程序实现
分析计算结果的误差来源， 如模型误差、离散化误差、 舍入误差等。尽量减小误差， 提高计算精度。
编写稳定、可靠的程序，实 现复变函数法的数值计算。 程序应具有良好的可读性和 可维护性。
06 复变函数法在弹性力学中 的拓展应用
04 复变函数法在平面问题中 的应用
应力集中问题的复变函数解法
01
应力集中问题的定义 和分类
阐述应力集中的概念，如孔边应力集 中、缺口应力集中等，以及不同类型 的应力集中对材料和结构的影响。
02
复变函数法在应力集 中问题中的应用
介绍如何利用复变函数法求解应力集 中问题，包括应力函数的构造、边界 条件的处理等。
第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答讲解
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零， 满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时， ，得
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
弹性力学第6章---用有限单元法求平面问题
2.FEM分析的主要步骤：
1.将连续体变换为离散化结构 2.对单元进行分析 位移模式 应变列阵 应力列阵
结点力列阵 等效结点荷载列阵 3.整体分析
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
e T
位移模式 三角形单元
FEM是取结点位移δi 为基本未知数的。问题是如何求 应变、应力。
( δ 来求出单元 首先,必须解决由单元的结点位移 δ i δ j δ m T d ((, u xy ) v (, xy ) 。 的位移函数 e 该插值公式表示了单 δ 应用插值公式,可由 求出位移 d 。 元中位移的分布形式,因此称为位移模式。 在结点三角形单元中,可以假定位移分量只是坐标的线性 函数,也就是假定：
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
求解方法
每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同 性的完全弹性体。因单元内部仍是连续体，应按弹性力学 方法进行分析。 T 取各结点位移 δ 为基本未知量，然后 ( uv ) ( i 1 , 2 , ) i i i 对每个单元,分别求出各物理量,并均用 δ i 1 ,2 , )来表示。 i( 单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
e T δ ( δ δ δ ) i j m 求单元的位移函数
,
T d ((, u xyvxy ) , (, ) ) .
该插值公式称为单元的位移模式,记为 d Νδe .
(2)应用几何方程,由单元的位移函数d,求出单元的应变 ε Bδe .
FEM的分析过程(2) 2.单元分析
单元分析的主要内容： (1)应用插值公式, 由单元结点位移
FEM的分析过程(3) 3.整体分析
求解方法
作用于结点i上的力有：
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
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弹性力学的平面问题解法
发表时间：2018-10-22T13:37:54.003Z 来源：《防护工程》2018年第14期作者：朱曼丽
[导读] 文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段
朱曼丽
哈尔滨铁道职业技术学院黑龙江哈尔滨 150000
摘要：本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下基础。
着眼于弹性力学求解方法中一些方法，通过其在平面问题中的应用来介绍几种方法的研究思路，研究方法以及优缺点。
弹性力学作为固体力学的一个重要分支，它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件,它是研究弹性固体由于受外力作用，边界约束或者温度改变及其他一种或多种外界条件作用下产生的应力、应变和位移。
它的研究对象是板、壳、实体以及单根杆件。
关键词：弹性力学；平面问题；解法
前言：弹性力学是材料力学问题的精确解，是结构力学，塑性力学等力学学科的基础，其广泛应用于土木工程、航空航天工程及机械工程等多个学科领域。
并且随着科学技术手段的进步，电子计算机得以应用到弹性力学的计算分析中，这极大地促进了弹性力学问题的分析计算更加深入，促使了有限单元法得以实现。
本文从弹性力学最基本的平面问题出发，通过求解平面问题的解析法、数值法和试验方法来感受弹性力学研究问题的手段、方法，体会弹性力学的魅力，并为其它力学学科的学习打下坚实的基础。
1 问题解法
1.1解析法
解析法是根据研究对象在结构中的静力平衡条件，几何关系和物理关系建立边界条件，平衡微分方程，几何方程和物理方程，并以此求解应力分量，应变分量和位移分量的一种平面问题的精确解法。
按求解时的基本未知量选取不同可分为按位移求解的位移法和按应力求解的应力法。
第一个位移法：以位移为基本未知量时的基本方程如下：
位移边界条件如下
从上面的公式可以看出位移法求解平面问题时的基本未知量只有两个，与应力法的三个基本未知量相比求解简单很多，并且不但能求解位移边界条件，还能求解应力边界条件与混合边界条件。
第二个应力法：应力法以应力分量作为基本未知量，由此平面问题的平衡微分方程，几何方程，物理方程以及边界条件经过推导可变为如下形式：
基本方程：
应力边界条件：
值得注意的是按应力求解时边界条件应全部为应力边界条件。
对于位移边界条件，虽然在局部边界上可用圣维南定理转化为应力边界条件，但此时得到的解答已不是精确解，同时上述推导过程是基于平面应力问题的，对于平面应变问题应把弹性常数作相应调整。
1.2 数值解法
弹性力学平面问题的解法虽然针对某些问题来说可以得到精确解，但是其不适合实际工程中复杂问题的计算。
相反的，数值分析方法虽然只是对实际问题的近似解答，但其求解时的过程清晰，步骤明确，便于编程，并且工程上常有安全系数的保证，因此近似解与不会对实际工程造成太大影响。
从而使数值分析方法在工程问题中得到大量应用。
数值分析方法有以下三种：差分法：用差分方程替代平衡微分方程，将求解微分方程变为求解代数方程，简化了计算。
变分法：变分法其实是一种能量法，以外力所做的功及弹性体的应变势能来建立弹性力学的求解方程。
其中基本未知量为弹性体的虚位移，运用的基本原理为虚位移原理和最小势能原理。
有限单元法：在力学模型上进行近似将弹性体简化为有限个单元体，且各单元体之间仅在有限个结点处交铰结而成的结构物。
然后进行单元分析，形成单元刚度矩
阵，进行整体分析，集成整体刚度矩阵，并运用矩阵位移法求解。
有限单元法便于编程，因此随着电子计算机技术的发展得以广泛应用于工程实践的各个方面。
相关软件有 ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS。
1.3 有限单元法
从物理概念上看,弹性力学有限单元法是杆系结构力学的矩阵位移法(即杆系结构的有限单元法)的推广.对杆系结构,很自然地将杆件作为单元.但是对于弹性力学问题,无论是平面问题,还是空间问题,弹性体是个连续体.为了能用结构力学的矩阵方法来计算弹性力学问题,首先必须对弹性体进行离散化.也就是将连续的弹性体分割成有限个有限大小的构件,它们通过有限个点互相联系.这些有限大小的构件就成为有限单元,简称有限元,而连接它们的点就称为结点.对平面问题,最简单、最常用的是三结点三角形单元,并在结点处取铰接.在结点位移或其某一分量可以不计之处,就在该结点上设置一个铰支座或相应的连杆支座.图1为深梁和水坝的离散化模型.通过离散化后,由于单元之间只通过结点联系,力与变形也只通过结点来传递,所以物体所受到的体力和面力,都应按静力等效的原则移置到结点上,成为结点荷载.这样,通过离散化就得出了一个由若干个单元在结点处铰接,并受已知结点荷载的结构体系,这就是有限单元法的计算模型.计算时通常采用位移法,即取结点的未知位移为基本未知量.对单元选择适当的位移模式即形状函数,则单元内任一点的位移可由结点位移表示.通过对单元进行变形几何关系、物理关系、静力平衡关系的分析就能得到应变、应力分量及结点对单元的作用力,即结点力和结点位移的关系.这样,所有欲求的力学量都用结点位移表示,这一步称单元分析.再对每一结点建立结点荷载与结点力的平衡关系,则对整个体系可以得到一组以结点位移为未知量的代数方程,这一步称整体分析.引人支承条件,求解线性代数方程组,求出结点位移,进而求出其它的力学量.这就是弹性力学的有限单元法,对于这种方法,已经有许多成熟的有限元软件可以使用,如:ANSYS,NASTRAN等,它们不但可以求解平面问题,而且可以方便地求解弹性力学的空间问题.
1.4 应力函数法
艾瑞(Airy)引入了一个自然满足平衡微分方程的应力函数,使得3个应力分量由一个应力函数来决定。
这样,就把基本方程的未知函数减少到1个,使问题得到简化。
该法称为应力函数法。
应力函数法,是弹性力学中应用最广泛的一种方法。
这种方法,不需要考虑平衡微分方程,因为应力函数h本身就是平衡微分方程的解,这当然给解题带来了极大的方便。
特别是对于那些应力函数h只是某一坐标的函数而与其他坐标无关时,相容方程变成一个常微分方程,使得应力函数的求解相当方便。
这种情况下,用应力函数法求解,一定能取得很好的效果。
然而,对于应力情况复杂,或者几何形状不规则,或者属于混合边值问题而且边界条件又比较复杂的情况,采用应力函数法进行计算就比较困难了。
我们用应力作为基本变量求解弹性力学的平面问题,在体力为常量时,归结为在给定的边界条件下,求解平衡方程
直接求解弹性力学问题往往是很困难的,有时可以使用逆解法和半逆解法,例如:在直角坐标系下用多项式逆解法来解答一些具有矩形边界且不计体力的平面问题(如矩形板或梁),用三角级数求解等,也可以通过量纲分析来确定应力函数的形式.还有一种方法,它的基本思想是以材料力学的结果作为基础,验证它是否满足弹性力学的全部方程,如果不满足,就设法加以修正,直到满足全部方程和全部边界条件为止.
2 实验的方法
除了解析法和数值分析方法外，工程上常用的简单实用的方法还有实验法。
将弹性体贴上应变片，连接上计算机便可以轻松模拟计算弹性体的内力分布情况。
3 结语
弹性力学问题求解的解析法，数值分析方法和实验法各有千秋，应结合具体的工程实际问题选用合适的方法。
同时也应认识到目前弹性力学求解方法并不完善，在工程中中仍有许多问题还无法得到令人满意的结果。
因此学习掌握弹性力学的现有方法，并结合科学技术的发展和认识了解的加深提出新的，更加符合实际工程要求的弹性力学求解方法才是弹性力学研究的根本目的所在。
参考文献:
[1]程渭民.对弹性与塑性力学基础教学的思考田.南昌大学学报(I学胸,2以力,22(4):133一135. [2J吴家龙.弹性力学I间北京:高等教育出版社,2001.。