弹性力学第六章温度应力问题的基本解法
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
弹性力学与有限元完整版
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x
y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
弹性力学第六章
介绍温度应力的基本 概念及其求解过程
温度应力基本概念
物体表面和内部温度发生变化会引起物体膨 胀与收缩
¾ 若物体不受任何阻力，则不引起内力；但物 体与外界总有接触，它的某一部分的伸缩受到 限制，产生阻止自由伸缩的内力—热应力； ¾ 物体内部单元间的变形不能任意，互相之间 有约束—产生阻止自由伸缩的内力—热应力；
−
Eα [
b
Trdr
+
A] + C
=0
a2
b2 a
∫ ∫ A = a 2
b
Trdr ,
C=
Eα
b
Trdr
b2 − a2 a
b2 − a2 a
∫ ∫ σ r
=
Eα r2
[r2 b2
− a2 − a2
b
r
Trdr − Trdr]
a
a
∫ ∫ σθ
=
Eα [ r 2 r2 b2
+ a2 − a2
b
Trdr
+
荷，则满足相容方程的应力函数可以取为：
ϕ = cy 2
相应地，应力分量为：
σ ′x′
=
∂ 2ϕ ∂y 2
=
2c
σ
′y′
=
∂ 2ϕ ∂x 2
=
0
τ ′x′y
=
−
∂ 2ϕ ∂x∂y
=
0
总的应力分量为：
σ
x
=σ
′x
+σ
′x′
=
2c
−
EαT0 (1 −
y2 b2
)
σ y = σ ′y + σ ′y′ = 0 τ xy = τ ′xy + τ ′x′y = 0
弹性力学--热应力 ppt课件
第五节 微分方程的求解
在求解微分方程（14）时，应分两步进行。
1. 求出微分方程的任一组特解。
2. 不计变温T, 求出微分方程的一组补充解， 并使它和特解叠加以后满足边界条件。 为了求得微分方程的一组特解，引用一个 函数φ（x,y），使
u' x
v' y
u.’v’为微分方程的特解。
十一章 热应力
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改 变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各 部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不 能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。 为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热 传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度, 得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学, 根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。
T T n0 n
(1)
n0为沿等温面法线方 向的单位矢量。
PPT课件
4
温度梯度在各坐标轴的分量为:
(2)
4. 熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热 量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面 面积的热流速度称为热流密度，即 q 熱流密度
dQ q dt S
PPT课件
S 等温面面积
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
Байду номын сангаас
又u.v都是常量，所以取： 2 2
2 (1 )T 2 x y
(16)
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。 PPT课件
26
将
u x
1 2 y ( y x ) (1 )T E 1
xy
2(1 ) xy E
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹性力学基础 应力应变
上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分
量的边界值与面力分量之间的关系。
过一点任意斜面的正应力与切应力
问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ 平面ABC上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方向 n的投影：
s n lp x mpy npz 平面ABC上的切应力tn则由
2 yz 2 xz
s x t xy t xz I 3 t yx s y t yz t zx t zy s z
过一点任意斜面的主应力与主方向
s I1s I 2s I 3 0
3 2
主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3 分别表示这
三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任 意一点主应力。
弹性体内任意一点的最大正应力为s1，最小正应力为s 3
最大切应力可以通过主应力计算，等于(s 1-s3)/2 。 最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用 平面通过s 2 应力主方向，并且平分s 1和s 3应力主方向的 夹角（即45°角）。
(t n )极值
(s 1 s 3 ) 2
由泰勒级数展开，求各面应力
空间问题的平衡微分方程
分析问题方法：空间力系和力矩的平衡条件（6个）
F M
x
0,
x
0,
F 0, F 0 M 0, M 0
y z y z
切应力互等定理
平衡微分方程
t yx s x t zx fx 0 x y z t xy s y t zy fy 0 x y z t yz t xz s z fz 0 x y z
空间问题的基本未知量与方程
温度应力问题
T ij = Tij
y
S
z x E E y z x y E E
S xy
1 xy G
zS
S yz
1 yz G
x
S
x y z E E
2 2
2 xy 2G xy
2 yz 2G yz
2 2 z 2G x 2 y 2
2 zx 2G zx
特解并不满足边界条件
平面应力问题在极坐标下的解
r 1 r T E ur r 1 r T E u 1 r r 21 r E
平衡微分方程解法
• 可分两步求解： （1）找出任意一组特解，这组特解并不一定满足边界条件； （2）找出齐次方程（T=0）的解，即等温下无体力作用的弹性问解，
这组解与特解叠加后所得的解能满足边界条件。
非齐次方程特解
u x 2 1 T x 1 x
2 1 T
2 1 1 2 r 2 r r r 2 2
2
E 1 1 2 r 2 2 1 r r r
E 2 1 r 2
K r 2 ln b ln r 1 ln b ln a r 2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
K 1 T 41
2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
热传导基本概念
• 对于不同物体，从高温物体向低温物体传递
• 对于同一物体，热量从温度较高的部位向较低的部位传递
传热与热应力问题
传热与热应力问题引言传热与热应力问题是热力学和材料科学领域的重要研究方向之一。
热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程，而热应力则是由于温度梯度引起的物体内部的应力分布。
在工程实践中，传热与热应力问题对于材料的选择、结构设计和工艺优化具有重要影响。
本文将从传热和热应力的基本概念、传热机制、热应力的产生机理以及相关解决方法等方面进行详细介绍。
传热机制传热机制主要包括热传导、对流传热和辐射传热。
热传导是指热量通过物质内部的分子传递。
对流传热是指热量通过流体的对流传递，其中包括自然对流和强制对流两种形式。
辐射传热是指热量通过电磁辐射的方式传递，不需要介质的存在。
热传导是最常见的传热方式，其传热速率可以通过傅里叶热传导定律描述。
傅里叶热传导定律表明，热流密度与温度梯度成正比，与物质的导热系数成反比。
对于均匀材料，热传导可以通过导热系数、温度梯度和传热面积来计算。
对流传热是在流体介质中传递热量的过程，其传热速率可以通过牛顿冷却定律描述。
牛顿冷却定律表明，传热速率与温差和传热面积成正比，与流体的传热系数成正比。
对于自然对流，流体的传热系数可以通过格拉瑟数来计算；对于强制对流，流体的传热系数可以通过雷诺数和普朗特数来计算。
辐射传热是通过电磁辐射的方式传递热量的过程，其传热速率可以通过斯特藩-玻尔兹曼定律描述。
斯特藩-玻尔兹曼定律表明，辐射传热速率与物体的表面温度的四次方成正比，与物体的表面发射率成正比。
辐射传热在高温条件下起主导作用，是太阳能利用、高温热处理等领域的重要研究内容。
热应力的产生机理热应力是由于温度梯度引起的物体内部的应力分布。
当物体的温度发生变化时，由于不同部分的热膨胀系数不同，就会产生内部的应力。
热应力的产生机理可以通过热弹性力学和热塑性力学来描述。
热弹性力学是研究材料在温度变化下的弹性行为的学科。
根据胡克定律，弹性体的应力与应变成正比，比例系数为弹性模量。
当材料受到温度变化的影响时，其体积或尺寸也会发生变化，从而引起应力的产生。