任意定义三个不相等的整数,由大到小排序
(完整word版)数据结构 第八章排序
第八章排序：习题习题一、选择题1．在所有排序方法中，关键字比较的次数与记录的初始排列次序无关的是( )。
A.希尔排序B.冒泡排序C.插入排序D.选择排序2．设有1000个无序的记录，希望用最快的速度挑选出其中前10个最大的记录，最好选用( )排序法。
A.冒泡排序B.快速排序C.堆排序D.基数排序3．在待排序的记录序列基本有序的前提下，效率最高的排序方法是( )。
A.插入排序B.选择排序C.快速排序D.归并排序’4．不稳定的排序方法是指在排序中，关键字值相等的不同记录的前后相对位置( )。
A.保持不变B.保持相反C.不定D.无关5．内部排序是指在排序的整个过程中，全部数据都在计算机的( )中完成的排序。
A. 内存储器B.外存储器C.内存储器和外存储器D.寄存器6．用冒泡排序的方法对n个数据进行排序，第一趟共比较( )对记录。
A.1B.2C.n-lD.n7．直接插入排序的方法是从第( )个记录开始，插入前边适当位置的排序方法。
A.1B.2C.3D.n8．用堆排序的方法对n个数据进行排序，首先将n个记录分成( )组。
A.1B.2C.n-lD.n9．归并排序的方法对n个数据进行排序，首先将n个记录分成( )组，两两归并。
A.1B.2C.n-lD.n10．直接插入排序的方法要求被排序的数据( )存储。
A.必须是顺序B.必须是链表C.顺序或链表D.二叉树11．冒泡排序的方法要求被排序的数据( )存储。
A.必须是顺序B.必须是链表C.顺序或链表D.二叉树12．快速排序的方法要求被排序的数据( )存储。
A.必须是顺序B.必须是链表C.顺序或链表D.二叉树13．排序方法中，从未排序序列中依次取出记录与已排序序列（初始时为空）中的记录进行比较，将其放入已排序序列的正确位置上的方法，称为( )。
A.希尔排序B.冒泡排序C.插入排序D.选择排序14．每次把待排序的记录划分为左、右两个子序列，其中左序列中记录的关键字均小于等于基准记录的关键字，右序列中记录的关键字均大于基准记录的关键字，则此排序方法叫做( )。
《数据结构》复习题
山东大学计算机学院计算机信息管理2006级夜大专科数据结构复习题一、填空题1、数据结构可以定义为一个两元组（D，S），其中 D 是数据元素的有限集，S 是的有限集。
2、在线性表中，线性表的长度指的是。
3、栈中元素的进出原则为 ____________。
4、深度为 k 的二叉树其结点数至多有个。
5、一棵深度为6的满二叉树有______个非终端结点。
6、若一棵二叉树中有8个度为2的结点,则它有_____个叶子。
7、设数组A[1..10,1..8]的基地址为2000,每个元素占2个存储单元,若以行序8、为主序顺序存储,则元素A[4,5]的存储地址为_____；若以列序为主序顺序存储,则元素A[4,5]的存储地址为______。
9、哈希表是一种查找表，可以根据哈希函数直接获得。
10、在单链表中，删除指针 P 所指结点的后继结点的语句是：。
11、有向图 G 用邻接矩阵 A[1..n，1..n] 存储表示，其第 i 行的所有元素之和等于顶点 i 的。
12、在一个单链表p所指结点之后插入一个s所指结点时，应执行s→next=____和p→next=_____的操作。
13、设有33个值，用它们组成一棵哈夫曼树，则该哈夫曼树中共有____个结点。
14、设需将一组数据按升序排序。
在无序区中依次比较相邻两个元素a i和a i+1的值，若a i的值大于a i+1的值，则交换a i和a i+1。
如此反复，直到某一趟中没有记录需要交换为止，该排序方法被称为_________。
15、数据结构在计算机中的表示称为数据的。
16、一棵含999个结点的完全二叉树的深度为_______。
17、广义表的深度是指_______。
18、称算法的时间复杂度为O(f(n))，其含义是指算法的执行时间和_______的数量级相同。
19、在一个长度为n的单链表L中，删除链表中*p的前驱结点的时间复杂度为_________。
20、在队列中，允许插入元素的一端称为_________。
可数集与不可数集
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基数间的≤是偏序关系
• 定理4.2.3 基数之间的小于或等于关系 “ ”是一个偏序关系,即对任何集合A , B和C, 有: (1)|A| |A|; (2)若|A| |B|且|B| |A| ,则 |A|=|B|; (3)若|A| |B|且|B| |C| , 则|A| |C| .
2021/2/7
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离散数学
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整数集是可数集
例1：整数集Z是可数集。 证明：可定义N到Z的映射如下： (n) =n/2 (n为偶数） (n) =(1-n)/2 (n为奇数） 不难验证为双射,故N~Z, 则Z是可数集。
说明：映射 将 10，偶数正整数， 奇数（除1外） 负整数。
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离散数学
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如何判别一集合是可数的
定理4.3.1 A是可数无限集当且仅当A的所 有元素可以如下编号排出： a1 , a2 , a3 , , an ,
• 此定理告诉我们，任何集合只要它的元 素可以排序，就是可数的。
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离散数学
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可数集的子集仍是可数的
定理4.3.2 可数集的子集仍是可数集。 证明：设A是可数集，若A是有限集，则它的 子集仍是有限集，当然也是可数集。若A是无 限集，则由定理4.3.1知，A的元素可排列成：
5
例3：A=[0, 1）, B=[0, 1] , A,BR.显然
A B.构造一A到B的双射,说明A～B.
解: 令 A1={0,1/2,1/3,…,1/n,…}.作f: AB为: f(0)=0
f(1/n)=1/(n-1) (n>1 , 1/n∈A1 , n∈N)
f(x)=x
(x∈[0,1)－A1 )
a1 , a2 , a3 , , an ,
第10章NP完全问题(自己写的)
主讲：王培崇
对一个已确定是可计算的问题，人们总试图寻求实现它的最优算法。然而 对有些问题，这个工作难度很大，目前还不能做到这点。
1、P类问题：问题的时间复杂性是多项式阶的，这只须设 计一个实现它的时间复杂性是多项式阶的算法即可，例如分类 （又称排序）问题。 2、顽型问题：人们已经设计出实现它的时间复杂性为指数阶 的算法，并且已证明该问题不存在多项式阶的算法，例如梵塔 问题；但是有这样一类问题， 3、NP问题：人们目前已设计的实现它的算法其时间复杂性 为指数阶的，但还不能肯定它有或没有多项式阶的算法。
如果是，则停机回答yes，如果不是则停 机回答no。
（上述是以图灵机计算模型实现的。）
• 定义10.3
NP类问题由下面的判定问题组成，对 于它们存在着多项式时间内运行的不确定性 算法。
例子10.4
coloring问题：
（1）设I是coloring的一个实例，s宣称是I的 解。容易建立一个确定性算法验证s选择、送餐车辆指派问题、车 间调度问题等。
见表1.1，现存的求解方法，中等输入也 需要几百年时间才能求解成功。
4、NP问题的描述转换 转换为判定问题。
两种答案：yes或no。 最优化问题：关心的是某个量的最大化或 最小化问题。
5、问题转化举例： 10.1设s是一个实数序列，EU问题是：是否S 中的所有的数都不相同。
判定问题：
输入：一个整数序列S； 问题：在S中存在两个数据相等吗。 10.2 给出一个无向图G=(V,E)，用k种颜色对G 着色.......，使得图中没有两个邻接点有相同的 颜色。
• 判定问题： 输入：一个无向图G=(V,E)和一个正整数k>=1； 问题：G可以k着色吗？即G最多可以用k种颜 色着色吗？
题型六-新定义阅读理解题
题型六新定义阅读理解题1. (2016重庆B卷)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)＝pq.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝3 4.(1)如果一个正整数a是另外—个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18.那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．2. (2017重庆A卷)对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123.对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213 ＋321＋132 ＝666，666÷111＝6，所以，F(123) ＝6.(1)计算：F(243)，F(617)；(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数)，规定：k＝F（s）F（t）.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．3. (2015重庆A卷)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”．再如22，545，3883 ，345543，…，都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为x(1≤x≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．4. (2017张家界)阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；(1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：i3＝________，i4＝________；(2)计算：(1＋i)×(3－4i)；(3)计算：i＋i2＋i3＋ (i2017)5. (2018原创)若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达数”．(1)已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”．(2)已知两位正整数t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，其中x，y为自然数)，交换其个位上的数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t.6. (2017重庆南开模拟)若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b.定义：若数K＝a2＋b2－ab，则称数K为“尼尔数”．例如：若P所表示的数为3，则a＝2，b＝4，那么K＝22＋42－2×4＝12；若P所表示的数为12，则a ＝11，b＝13，那么K＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．7. (2017重庆一外一模)若一个三位数t＝abc(其中a，b，c不全相等且都不为0)，重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为T(t)．例如，357的差数T(357)＝753－357＝396. (1)已知一个三位数a1b(其中a＞b＞1)的差数T(a1b)＝792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数．(2)若一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数2ab被4除余1，再将新数的个位数字移到百位得到另一个新数b2a 被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612＝4×153，261＝4×65＋1，126＝4×31＋2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T(t)的最大值．8. (2017重庆八中一模)一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132.(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等(a≠0, b≠0)．若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．9. (2017重庆大渡口区模拟)我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数abcd(千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d)是“吉祥数”．请解答下面几个问题：(1)已知785x是“吉祥数”，则x＝________.(2)若正整数abcd是“吉祥数”，试说明：d＋4(a＋b＋c)能被2整除．(3)小明完成第(2)问后认为：四位正整数abcd是“吉祥数”，那么d＋4(a＋b＋c)也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．10. —个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：123的第—位“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“精巧数”．(1)若四位数123k是一个“精巧数”，求k的值；(2)若一个三位“精巧数”2ab各位数字之和为—个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”．11. (2017重庆巴蜀模拟)阅读材料：欢喜数——若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”，如1005、2211等都是欢喜数；半和数——一个数，若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数；平方差数——一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题：(1)证明所有的三位“半和数”均能被11整除；(2)若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m的值．12. 一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m′(m′可以与m相同)，记m′＝abc，在m′所有的可能情况中，当|a ＋2b－c|最小时，我们称此时的m′是m的“幸福美满数”，并规定K(m)＝a2＋2b2－c2.例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3＋2×8－1|＝18，|8＋2×1－3|＝7，|1＋2×3－8|＝1，1＜7＜18，所以138是318的“幸福美满数”，K(318)＝12＋2×32－82＝－45.(1)若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n(1≤n≤9，n为自然数)，个位上的数字为0，求证：K(t)＝0；(2)设三位自然数s＝100＋10x＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，且x＜y.交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若19s＋8s′＝3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K(s)的最大值．13. (2018原创)如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数叫循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数．它是2阶6位循环数；再如：11是1阶2位循环数，789789789是3阶9位循环数，345634563456是4阶12位循环数….(1)请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由；(2)已知一个能被13整除的2阶4位循环数，设循环节为xy，(0<x<5)，求y与x 之间的函数关系．14. (2018原创)若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100(x ＋y)＋10y＋x，则称实数t为“加成数”．将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h，规定q＝t－h，f(m)＝q9.例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，∴q＝321－213＝108，f(m)＝1089＝12.(1)当f(m)最小时，求此时对应的“加成数”t的值；(2)若f(m)是24的倍数，则称f(m)是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．15. (2017重庆渝中区校级二模)对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后(包括本身)，得到一个新的三位数abc(a≤c)，在所有重新排列的三位数中，当|a＋c－2b|最小时，称此时的abc为t的“最优组合”，并规定F(t)＝|a－b|－|b －c|，例如：124重新排序后为：142、214，因为|1＋4－4|＝1，|1＋2－8|＝5，|2＋4－2|＝4，所以124为124的“最优组合”，此时F(124)＝－1.(1)三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F(t)＝0(2)一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能被1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m＝200＋10x＋y(0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数)，m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值．16. (2018原创)如果两个实数a ，b ，使得a 2＋b 与a ＋b 2都是有理数，我们则称(a ，b )是“完美数对”．如：(12)2＋13＝14＋13＝712，12＋(13)2＝12＋19＝1118，因为712，1118是有理数，所以(12，13)是“完美数对”；(2)2＋1＝3，2＋12＝1＋2，因为1＋2为无理数，所以(2，1)不是“完美数对”．(1)请判断(12＋2，12－2)是否是“完美数对”，并说明理由；(2)若(a ，b )是“完美数对”，且a ＋b ＝2，证明：a ，b 都是有理数．17. 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明．根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分：m＝a＋b＋c(a、b、c均为质数，且a≥b≥c)，在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分．并规定：P(m)＝a－c.例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2>3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P(9)＝0.(1)由上述条件，可得：P(11)＝________；若P(n)＝1，则n＝________；若P(n)＝0，证明n必定能被3整除；(2)t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y(1≤x≤y≤9，x、y为整数)．若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P(t)的最大值．18. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”. 比如：2017的兄弟数为1720, 168的兄弟数为681.根据以上阅读材料，回答下列问题．(1)求证：—个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；(2)已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的4倍，求满足条件的原六位数．19. (2017重庆南开模拟)一个自然数m，若将其数字重新排列可得—个新的自然数n，如果m＝3n，我们称m是一个“希望数”，例如：3105＝3×1035，71253＝3×23751，371250＝3×123750.(1)请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”；(2)一个四位“希望数”M记为abcd，已知abcd＝3·cbad，且c＝2，请求出这个四位“希望数”．20. (2017重庆西大附中月考)一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位效字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13＋31＋12＋21＋32＋23＝132，所以132是“公主数”．—个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．(1)判断123是不是“公主数”？请说明理由．(2)证明：当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则z＝2x.(3)若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．21. (2018原创)若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝1n －1n ＋1，那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”，例如12＝1－12，∴12是第1个“1阶倒差数”，16＝12－13，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝1n －1n ＋2，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且1d －1c ＝22，求c ，d 的值．22. (2017重庆八中二模)若在一个两位正整数N 的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N 的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将—个两位正整数M 加2后得到一个新数，我们称这个新数为M 的“立达数”，如34的“立达数”为36.(1)求证：对任意一个两位正整数A ，其“诚勤数”与”立达数”之差能被6整除；(2)若一个两位正整数B 的“立达数”的各位数字之和是B 的各位数字之和的一半，求B 的值．23. (2017重庆南岸区二模)若一个两位正整数m 的个位数为8，则称m 为“好数”．(1)求证：对任意“好数”m ，m 2－64一定为20的倍数；(2)若m＝p2－q2，且p，q为正整数，则称数对(p，q)为“友好数对”．规定：H(m)＝qp.例如68＝182－162，称数对(18，16)为“友好数对”，则H(68)＝1618＝89.求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值．24. (2018原创)定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”．例如，12，123，1234等都是“格调数”．根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是123456789.而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是3456789.(1)已知四位“格调数”m和n，若m－n＝3333，求m的值；(2)规定：任意一个能被18整除的数，称为“发财数”．对于任意一个三位“格调数”t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)，交换其个位和百位上的数字，得到新的三位数k，令q＝k－t，猜想q是否为“发财数”，请说明理由．25. (2017重庆一中一模)人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，若两个不同的自然数的所有真因数(即除了自身以外的正因数)之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的正因数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和为1＋2＋3＋6＋9＝21；51的正因数有1、3、17、51，它的真因数之和为1＋3＋17＝21，所以称18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头(首位与末位)都是1的数为“两头蛇数”．例如：121、1351等．(1)8的真因数之和为________；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍的差，能被7整除；(2)一个百位上的数为4的五位“两头蛇数”能被16的“亲和数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”．26. (2018原创)依次排列的几个数，如：a，b，c，…，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，并将所得的差写在这两个数之间，从而产生一个新数串：a，b－a，b，c－b，c，…，我们称这样的一次操作为“差变增数列”．例如，对于依次排列的两个数，1，2，做一次“差变增数列”所得数串为1，1，2；再做一次“差变增数列”所得数串为1，0，1，1，2.(1)已知依次排列的3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，所得新数串所有数字的和是________；做m次“差变增数列”后，所得新数串所有数字的和为________(用含m的代数式表示)；(2)若依次排列的3个数：x，8，y；其中，0≤x<y≤9，且x，y均为整数，做100次“差变增数列”后所得数串的所有数字和为216，求x和y的值．27. (2017重庆江北区一模)一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1＋4，y＝2＋3，因为x＝y，所以1423是“和平数”．(1)直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是________；(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”．求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．28. (2017重庆南岸区一模)对任意一个正整数m，如果m＝k(k＋1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如，56＝7×(7＋1)，则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．(1)求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；(2)把“矩数”p与“矩数”q的差记为D(p，q)，其中p＞q，D(p，q)＞0.例如，20＝4×5，6＝2×3，则D(20，6)＝20－6＝14.若“矩数”P的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当D(p，q)＝30时，求st的最大值．29. (2017重庆一外二模)若一个多位自然数t＝abc…fg的各数位上的数字满足b－a＝c－b＝…＝g－f＝k(k≠0)，则称该数为“k”类自然数，把自然数t各数位上的数字从左往右数，所有奇数位上的数字之和的平方减去所有偶数位上的数字之和的平方，记为F(t)．例如：135是一个“2”类自然数．F(135)＝(1＋5)2－32＝274321是一个“－1”类自然数．F(4321)＝(4＋2)2－(3＋1)2＝20(1)证明：任意一个三位“k”类自然数与它百位上的数字之和一定能被4整除；(2)如果—个四位自然数，交换其个位数字与千位数字得到的新数减去原数所得的差能够被18整除，则称这个数为“成年数”．若一个“k”类自然数t是“成年数”，求F(t)的最小值．30. 阅读下列材料解决问题：两个多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“调和数”．例如：37与82，它们各数位上的数字和分别为3＋7，8＋2，∵3＋7＝8＋2＝10，∴37与82互为“调和数”；又如：123与51，它们各数位上的数字和分别为1＋2＋3，5＋1，∵1＋2＋3＝5＋1＝6，∴123与51互为“调和数”．(1)若两个三位数a43、2bc(0≤b≤a≤9，0≤c≤9且a、b、c为整数)互为“调和数”，且这两个三位数之和是17的倍数，求这两个“调和数”；(2)若A、B是两个不相等的两位数，A＝xy，B＝mn，A、B互为“调和数”，且A 与B之和是B与A之差的3倍，求证：y＝－x＋9.答案1. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当q＝p时，p·q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1；(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的吉祥数为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57＝3×19，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，则F(13)＝113，F(24)＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝319，F(68)＝417，F(79)＝179，∵57>23>417>319>223>113>179，∴“吉祥数”中F (t )的最大值为F (35)＝57.2. 解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9，F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14；(2)∵s ，t 都是相异数．∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6，∵F (s )＋F (t )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7，∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数．∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1，∵s 是相异数，∴x ≠2，x ≠3，∵t 是相异数，∴y ≠1，y ≠5，∴满足条件的有⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2，∴⎩⎨⎧F （s ）＝6F （t ）＝12或⎩⎨⎧F （s ）＝9F （t ）＝9或⎩⎨⎧F （s ）＝10F （t ）＝8， ∴k ＝F （s ）F （t ）＝612＝12或k ＝F （s ）F （t ）＝99＝1或k ＝F （s ）F （t ）＝108＝54， ∵12＜1＜54，∴k 的最大值为54.3. 解：(1)1331，2442，1001；猜想：任意一个四位“和谐数”能被11整除．理由：设一个四位“和谐数”记为xyyx ，用十进制表示为： 1000x ＋100y ＋10y ＋x ＝1001x ＋110y ＝11(91x ＋10y )， ∵x 、y 是0～9之间的整数，∴11(91x ＋10y )能被11整除；∴任意一个四位“和谐数”能被11整除；(2)设这个三位的“和谐数”为xyx ，用十进制表示为： 100x ＋10y ＋x ＝101x ＋10y ，∵它是11的倍数，∴101x ＋10y 11为整数，∵101x ＋10y 11＝99x ＋11y ＋2x －y 11＝9x ＋y ＋2x －y 11，x ，y 是0～9之间的整数，∴2x －y 11是整数．又∵1≤x ≤4，0≤y ≤9，∴2≤2x ≤8，－9≤－y ≤0，∴－7≤2x －y ≤8，∵要使2x －y 11是整数，则2x －y 只能是0，∴2x －y ＝0，即y ＝2x ，∴y 与x 之间的函数关系式是y ＝2x (1≤x ≤4，x 为自然数)．4. 解：(1)－i ；1；【解法提示】∵i 2＝－1，∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2＝(－1)×(－1)＝1.(2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2＝3－i ＋4＝7－i ；(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016＝1，i 2017＝i ，∵i＋i2＋i3＋i4＝0，2016÷4＝504，∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2017＝i2017＝i.5.解：(1)设这个奇数为2n＋1，n为任意整数，由题意知m＝(2n＋1)2－1＝4n2＋4n＋1－1＝4n(n＋1)，4n（n＋1）8＝n（n＋1）2，是整数，即4n(n＋1)是8的倍数，∴m是“发达数”；(2)由题意知s＝10y＋x，∴s＋t＝10y＋x＋10x＋y＝11x＋11y＝11(x＋y)，又∵1≤x≤y≤9，∴2≤x＋y≤18，要使11(x＋y)是发达数，则x＋y是发达数，∴x＋y＝8或x＋y＝16，当x＋y＝8时，x＝1，y＝7，t＝17，x＝2，y＝6，t＝26，x＝3，y＝5，t＝35，x＝4，y＝4，t＝44，当x＋y＝16时，x＝7，y＝9，t＝79，x ＝8，y ＝8，t ＝88，故所有符合条件的两位正整数t 有17，26，35，44，79，88.6. 解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3，∴⎩⎨⎧m 1＝5m 2＝2， ∴⎩⎨⎧K 1＝228K 2＝39. 7. 解：(1)∵一个三位数a 1b (其中a ＞b ＞1)的差数T (a 1b )＝792，∴a ＝9，∵三位数a1b(其中a＞b＞1)的各数位上的数字之和为一个完全平方数，∴1＋a＋b＝n2，10<1＋a＋b≤19，∴n＝4，∴b＝16－9－1＝6，∴这个三位数是916；(2)∵一个三位数ab2(其中a、b都不为0)能被4整除，∴b＝1或3或5或7或9，∵将新数个位数字移到百位得到另一个新数b2a被4除余2并且a＜5，∴a＝2，∴所有小于500的4的“闺蜜数”t是212，232，252，272，292，T(t)的最大值是922－229＝693.8. (1)证明：设M＝xyz(x≠y≠z≠0)，则M的友谊数是yxz，∴xyz－yxz＝(100x＋10y＋z)－(100y＋10x＋z)＝90x－90y＝90(x－y)＝15×6(x －y)，∵6(x－y)是整数，∴xyz－yxz能被15整除．故M与其“友谊数”的差能被15整除；(2)解：由团结数定义可知，N 的团结数为：(20＋a )＋(20＋b )＋(10a ＋2)＋(10a ＋b )＋(10b ＋2)＋(10b ＋a )＝22a ＋22b ＋44，∵N 的团结数与N 之差为24，∴(22a ＋22b ＋44)－(200＋10a ＋b )＝24，即a ＝15－74b ，∵a 、b 为整数，1≤a ≤9，1≤b ≤9，a ≠b ，∴⎩⎨⎧a ＝8b ＝4或⎩⎨⎧a ＝1b ＝8， ∴N ＝284或218.9. 解：(1)4；(2)∵正整数abcd 能被6整除，∴d 能被2整除．设d ＝2k ( k 为自然数)，则d ＋4(a ＋b ＋c )＝2k ＋4(a ＋b ＋c )＝2[k ＋2(a ＋b ＋c )]．∴d ＋4(a ＋b ＋c )能被2整除；(3)小明的说法正确．理由如下：∵四位正整数abcd能被6整除，∴a＋b＋c＋d能被3整除．设a＋b＋c＋d＝3m(m为自然数)，则d＋4(a＋b＋c)＝(a＋b＋c＋d)＋3(a＋b＋c)＝3m＋3(a＋b＋c)．∴d＋4(a＋b＋c)既能被2整除，也能被3整除，∴也能被6整除．10.解：(1)根据精巧数的定义，得123k能被4整除，则1230＋k能被4整除，∵1230＋k＝1228＋(2＋k)，∴2＋k能被4整除，又∵0≤k≤9，且k为整数，∴k＝2或6；(2)∵2ab是“精巧数”，∴a为偶数，且2＋a＋b是3的倍数，∵a＜10，b＜10，∴2＋a＋b＜22，∵2ab各位数字之和为一个完全平方数，∴2＋a＋b＝32＝9，∴当a＝0时，b＝7，当a＝2时，b＝5，当a＝4时，b＝3，当a＝6时，b＝1，∴所有满足条件的三位“精巧数”有：207，225，243，261.11. (1)证明：设三位数abc是一个半和数，则a＋b＋c＝2b，∴a＋c＝b.∵这个三位数为100a＋10b＋c＝100a＋10(a＋c)＋c＝110a＋11c＝11(10a＋c)，且10a＋c为整数，∴这个三位数是11的倍数，能被11整除．(2)解：∵四位数abbc是欢喜数，∴10a＋b＝2(10b＋c)，∴10a－19b－2c＝0①.∵bmc是半和数，∴b＋c＝m.∵bmc是平方差数，∴m＝b2－c2＝(b＋c)(b－c)，∴b －c ＝1，∴b ＝1＋c ②，②代入①得a ＝21c ＋1910，∵a 是1～9的正整数，∴c ＝1，∴b ＝2，∴m ＝2＋1＝3.12. (1)证明：由题意得，t 按上述方法可得新数：n 0n ，nn 0，∵|n ＋2×0－n |＝0，|n ＋2n －0|＝3n ，0＜3n ，∴n 0n 是t 的“幸福美满数”，K (t )＝n 2＋2×02－n 2＝0；(2)解：s ＝100＋10x ＋y ，s ′＝100＋10y ＋x ，19s ＋8s ′＝3888，即19(100＋10x ＋y )＋8(100＋10y ＋x )＝3888.得到2x ＋y ＝12，∵x ＜y ，且均为自然数，∴⎩⎨⎧x ＝2y ＝8或⎩⎨⎧x ＝3y ＝6， ∴“梦想成真数”为128或136，通过计算，K (128)＝－55，K (136)＝－17或－25，又∵－55<－25＜－17，∴K(s)的最大值为－17.13.解：(1)依照2阶6位循环数的定义，可任意写出3个2阶6位循环数：131313；272727；868686.任意一个2阶6位循环数能被7整除，理由如下：结合数字的特点可得知：2阶6位循环数为任意的一个两位数×10101得出的．∵10101÷7 ＝1443.∴任意一个2阶6位循环数能被7整除；(2)结合(1)的规律可知：2阶4位循环数为任意的一个两位数×101得出的．∵101为质数．∴xy为13的倍数，又∵0＜x＜5，∴y＝3x.∵当x＝4时，y＝3×4＝12，当x＝5时，y＝3×5＝15均不符合题意．∴0<x<4，且x为整数，∴y与x之间的函数关系为y＝3x(x＝1，2，3)．14.解：(1)根据题意知t＝100(x＋y)＋10y＋x，∴h＝100y＋10x＋x＋y，∴q＝t－h＝(100x＋100y＋10y＋x)－(100y＋10x＋x＋y)＝90x＋9y，∴f(m)＝q9＝90x＋9y9＝10x＋y.∵0不能在百位，∴t的十位和百位均不可以为0，∴x的最小值为0，y的最小值为1，∴f(m)的最小值为1，此时“加成数”t为110；(2)∵f(m)是24的倍数，∴10x＋y＝24n(n＝1，2，3，…)，∵0≤x≤8，1≤y≤9，且1≤x＋y≤9，∴当n＝1时，10x＋y＝24，x＝2，y＝4，当n＝3时，10x＋y＝72，x＝7，y＝2；综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72.15. (1)证明：∵三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，∴重新排序后，其中两个数位上数字的和是另一个数位上的数字的2倍，∴a＋c－2b＝0，∴F(t)＝0；(2)解：∵m＝200＋10x＋y是“善雅数”，∴x为偶数，且2＋x＋y是3的倍数，∵x<10，y<10，∴2＋x＋y<30，∵m的各位数字之和为一个完全平方数，∴2＋x＋y＝32＝9，∴当x＝0时，y＝7，当x＝2时，y＝5，当x＝4时，y＝3，当x＝6时，y＝1，∴所有符合条件的“善雅数”有：207，225，243，261，∴所有符合条件的“善雅数”中F(m)的最大值是|2－3|－|3－4|＝0.16. (1)解：是．理由如下：∵(12＋2)2＋(12－2)＝14＋2＋2＋12－2＝114，是有理数；(12＋2)＋(12－2)2＝12＋2＋14－2＋2＝114，是有理数．∴(12＋2，12－2)是“完美数对”；(2)证明：∵(a ，b )是“完美数对”，∴a 2＋b 与a ＋b 2都是有理数，∴(a 2＋b )－(a ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b －1)是有理数．设t ＝(a －b )(a ＋b －1)＝(a －b )×(2－1)＝a －b ，∴t ＝a －b 是有理数．解⎩⎨⎧a ＋b ＝2a －b ＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋t 2b ＝1－t 2， ∵t 是有理数，∴a ，b 都是有理数．17. 解：(1)2；8；证明：假设P (n )的质数为a ，b ，c ，由P (n )＝0可知，a ＝b ＝c ，∴P (n )＝a ＋a ＋a ＝3a ，∴3a÷3＝a，为整数，∴若P(n)＝0，n必定能被3整除；(2)(x＋y)×8＋10x＋y＝99，∴2x＋y＝11；∵1≤x≤y≤9，∴期盼数：35，27，19，35＝11＋11＋13；27＝7＋7＋13；19＝7＋7＋5；P(35)＝2，P(27)＝6，P(19)＝2，∴P(t)max＝6.18. (1)证明：设原来的三位数为：100a＋10b＋c，其兄弟数为：100b＋10c＋a，则(100a＋10b＋c)－(100b＋10c＋a)＝99a－90b－9c＝9(11a－10b－c)，∵(11a－10b－c)为整数，∴一个三位数与其兄弟数之差一定可以被9整除．(2)解：设这个六位数的前4位是M，后2位是N，则这个数可表示为：(100M＋N)，其兄弟数可表示为：(10000N＋M)，∴4×(100M＋N)＝10000N＋M，∴化简得19M＝476N，∴N一定是19的倍数，∵N是2位数，∴满足条件的N＝19，38，57，76，95；又∵M是4位数，∴N＝19，38都不满足条件，舍去；∴N＝57，76，95，相应的：M＝1428，1904，2380，∴满足条件的六位数有三个142857，190476，238095.19. (1)证明：∵3×14＝42≠41，∴41不是希望数．假设存在两位数是希望数，记为ab，∴ab＝3ba.∵3b为一位数，且b是3a的个位数，∴b＝1，2，3.当b＝1时，a＝7，3×17＝51≠71；当b＝2时，a＝4，3×24＝72≠42；当b＝3时，a＝1，3×31＝93≠13.综上可知：假设不成立，即任意两位数都不可能是“希望数”；(2)解：∵abcd＝3·cbad，∴3d的个位是d，∴d＝0或5.当d＝0时，∵3a的个位是c，c＝2，∴a＝4，此时3c＝6＞4，不合适；当d＝5时，∵3a的个位＋1是c，c＝2，∴a＝7，又∵abcd＝3·cbad，∴3b＋2＝10＋b，解得：b＝4.∴这个四位“希望数”为7425.20. (1)解：123的百位与十位数字组成的数为12，21，百位与个位数字组成的数为13，31, 十位与个位数字组成的数为23，32，则各数和为12＋21＋13＋31＋23＋32＝132≠123，显然不是公主数；(2)证明：∵xyz是一个公主数，∴(10x＋y＋10y＋x)＋(10x＋z＋10z＋x)＋(10y＋z＋10z＋y) ＝100x＋10y＋z，∴78x＝12y＋21z①；∵xyz是一个伯伯数，∴y＝x＋z②，代入①得66x＝33z，∴z＝2x；(3)解：设这个伯伯数为xyz，则y＝x＋z，∴100x＋10y＋z＝110x＋11z.∵110x＋11z＋132＝11(10x＋z＋12)，∵能被13整除，∴10x＋z＋12是13的倍数．当10x＋z＋12＝26时，x＝1，z＝4，y＝5，这个数为154；当10x ＋z ＋12＝39时，x ＝2，z ＝7，y ＝9，这个数为297；当10x ＋z ＋12＝52时，x ＝4，z ＝0，y ＝4，这个数为440；当10x ＋z ＋12＝65时，x ＝5，z ＝3，y ＝8，这个数为583；当10x ＋z ＋12＝78时，x ＝6，z ＝6，y ＝12，不符合；当10x ＋z ＋12＝91时，x ＝7，z ＝9，y ＝16，不符合．故满足条件的数有154，297，440，583.21. 解：(1)132不是“1阶倒差数”，235；【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴132不是“1阶倒差数”．第5个“2阶倒差数”为15－17＝235.(2)设m 是由两个连续奇数2x －1，2x ＋1组成的“2阶倒差数”，则m ＝12x －1－12x ＋1＝2x ＋1－（2x －1）（2x ＋1）（2x －1）＝24x 2－1. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，∴可设c ＝24y 2－1，d ＝24z 2－1，∵1d －1c ＝22，∴4z 2－12－4y 2－12＝22，即z 2－y 2＝11，∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，∴z ＞y .∵11＝1×11，∴⎩⎨⎧z ＋y ＝11z －y ＝1，解得⎩⎨⎧y ＝5z ＝6， ∴c ＝24×52－1＝299，d ＝24×62－1＝2143. 22. (1)证明：设A ＝xy ，则其“诚勤数”为x 2y ，“立达数”为10x ＋y ＋2， ∴x 2y －(10x ＋y ＋2)＝100x ＋20＋y －10x －y －2＝90x ＋18＝6(15x ＋3)， ∵15x ＋3为整数，∴6(15x ＋3)能被6整除，即对任意一个两位正整数A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；(2)解：设B ＝10a ＋b ，1≤a ≤9，0≤b ≤9(13加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位)，B ＋2＝10a ＋b ＋2，则B 的“立达数”为10(a ＋1)＋(b ＋2－10)，a ＋1＋b ＋2－10＝12(a ＋b )，整理得：a ＋b ＝14，∵1≤a ≤9，0≤b ≤9，∴⎩⎨⎧a ＝8（舍）b ＝6、⎩⎨⎧a ＝6b ＝8，⎩⎨⎧a ＝9（舍）b ＝5、⎩⎨⎧a ＝5b ＝9，经检验：86和95不符合题意舍去，∴所求两位数为68或59.23. (1)证明：设m ＝10t ＋8，1≤t ≤9，且t 为整数．∴m 2－64＝(10t ＋8)2－64＝100t 2＋160t ＋64－64＝20(5t 2＋8t )．∵1≤t ≤9，t 为正整数，∴5t 2＋8t 是正整数．∴m 2－64一定为20的倍数；(2)解：∵m ＝p 2－q 2，p ，q 为正整数，∴10t ＋8＝(p ＋q )(p －q )，当t ＝1时，18＝1×18＝2×9＝3×6，没有满足条件的p ，q .当t ＝2时，28＝1×28＝2×14＝4×7.其中满足条件的p ，q 的数对有(8，6)，即28＝82－62，∴H (28)＝68＝34.当t ＝3时，38＝1×38＝2×19，没有满足条件的p ，q . 当t ＝4时，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8.满足条件的p ，q 的数对为⎩⎨⎧p －q ＝2p ＋q ＝24或⎩⎨⎧p －q ＝4p ＋q ＝12或⎩⎨⎧p －q ＝6p ＋q ＝8，解得⎩⎨⎧p ＝13q ＝11或⎩⎨⎧p ＝8q ＝4或⎩⎨⎧p ＝7q ＝1. 即48＝132－112＝82－42＝72－12.∴H (48)＝1113或H (48)＝48＝12或H (48)＝17.∵1113＞34＞12＞17，∴H (m )的最大值为1113.24. 解：(1)∵m ，n 都是四位“格调数”，则设m ＝a (a ＋1)(a ＋2)(a ＋3)，n ＝b (b ＋1)(b ＋2)(b ＋3)， 即m ＝1000a ＋100(a ＋1)＋10(a ＋2)＋(a ＋3)＝1111a ＋123， n ＝1000b ＋100(b ＋1)＋10(b ＋2)＋(b ＋3)＝1111b ＋123， ∴m －n ＝1111a ＋123－(1111b ＋123)＝1111(a －b )＝3333， ∴a －b ＝3，即a ＝b ＋3.∵m是四位“格调数”，∴1≤a≤6，∴1≤b＋3≤6，∴1≤b≤3，∴b为1，2或3，则a为4，5或6，∴m为4567，5678或6789；(2)q是“发财数”．∵t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)＝111a＋12，∴k＝100(a＋2)＋10(a＋1)＋a＝111a＋210，∴q＝k－t＝(111a＋210)－(111a＋12)＝210－12＝198，∵198÷18＝11，∴198是18的整倍数，即198是“发财数”，∴q是“发财数”．25. 解：(1)7；证明：设这个四位“两头蛇数”为1ab1，由题意得：1ab1－3ab＝1001＋100a＋10b－30a－3b＝1001＋70a＋7b＝7(143＋10a＋b)∵a 、b 为整数，∴143＋10a ＋b 为整数，∴一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的三倍能被7整除；(2)∵16的真因数有：1，2，4，8.∴1＋2＋4＋8＝15，∵15＝1＋3＋11，∴16的“亲和数”为33.设这个五位“两头蛇数”为1x 4y 1，由题意得：1x4y133为整数， ∴315＋30x ＋10x ＋10y ＋633为整数， ∴10x ＋10y ＋6＝66，∴x ＋y ＝6，∵0≤x ≤9，0≤y ≤9，且为整数，x ＜y∴⎩⎨⎧x ＝0y ＝6或⎩⎨⎧x ＝1y ＝5或⎩⎨⎧x ＝2y ＝4. ∴这个五位“两头蛇数”为10461或11451或12441.26.解：(1)22；17＋5m.【解法提示】将3个数：2，8，7，做一次“差变增数列”，得到的数字为2，6，8，－1，7，所有数字的和为2＋6＋8＋(－1)＋7 ＝22；∵将数串a，b，c做一次“差变增数列”得到a，b－a，b，c－b，c，所有数字和的增加量M＝(a＋b－a＋b＋c－b＋c)－(a＋b＋c)＝c－a，∴将一个数串每做一次“差变增数列”，所有数字的和的增加量相同，均为原数最后一个数与第一个数的差∵数串2，8，7中，7－2＝5.∴每做一次“差变增数列”，所有数字的和增加5，∴做m次“差变增数列”后，所得数字的和为2＋8＋7＋5m，即17 ＋5m. (2)∵数串：x，8，y，∴做100次“差变增数列”，所得数字的和为x＋8＋y＋100(y－x)＝－99x＋101y＋8，根据题意得－99x＋101y＋8 ＝216，即y＝208＋99x101，∵y是整数，∴208＋99x是101的正整数倍，当208＋99x＝101时，x无正整数解；。
小学数学理解数字的百分数的排列顺序
小学数学理解数字的百分数的排列顺序百分数的排列顺序在小学数学中是一个重要的概念。
通过理解和掌握百分数的排列顺序，学生可以更好地应用百分数进行计算和解决实际问题。
本文将就小学数学中理解数字的百分数的排列顺序展开讨论。
一、百分数的定义与意义百分数是指以100为基数，表示百分之几的数。
百分数在日常生活中广泛应用，用于表示比例、比率、频率等概念。
掌握百分数的排列顺序，有助于学生准确理解和运用百分数进行数值计算。
二、百分数由小到大的排列顺序在数学中，我们常常需要对一系列百分数进行排序。
为了更好地理解数字的百分数的排列顺序，我们可以采用以下步骤：1.比较整数部分：首先比较每个百分数的整数部分。
整数部分大的排在前面，整数部分相同的则比较小数部分。
举例说明：- 85%、92%、76%、83%、88%我们首先比较整数部分，可以得到：92% > 88% > 85% > 83% > 76%。
2.比较百分数大小：如果整数部分相同，我们再比较小数部分。
小数部分大的排在前面，小数部分相同的则比较百分数的大小。
举例说明：- 76.34%、76.45%、76.21%、76.12%整数部分相同，我们再比较小数部分。
可以得到：76.45% >76.34% > 76.21% > 76.12%。
通过以上步骤，我们可以将一系列百分数按照由小到大的排列顺序排列出来，从而更好地理解数字的百分数的排列顺序。
三、百分数由大到小的排列顺序除了由小到大的排列顺序外，我们还常常需要将一系列百分数按照由大到小的顺序排列。
类似于由小到大的排列顺序，我们也可以采用类似的步骤来进行操作：1.比较整数部分：首先比较每个百分数的整数部分。
整数部分小的排在前面，整数部分相同的则比较小数部分。
举例说明：- 92%、88%、85%、83%、76%我们首先比较整数部分，可以得到：76% < 83% < 85% < 88% < 92%。
湖大c语言机试题
1.某一门课程考试之后，需要统计考生（10人）的平均成绩，并找出其中的最高分和最低分。
2.从键盘输入两个正整数，输出这两个整数的商，要求商的小数点后保留5位。
例如输入355和113，输出3.14159。
3.用while循环结构编写程序打印ASCII码为33－127的字符。
4.用do-while,for循环结构编写程序打印ASCII码为33－127的字符。
5.用for循环结构编写程序打印ASCII码为33－127字符。
6.在1－500中，找出能同时满足用3除余2，用5除余3，用7除余4的所有整数，用循环结构。
7.输入一个整数将其倒着输出，如54321——12345。
8.计算s=1+1/3+1/5+…+1/n，截止到1/n<10-4。
9.从键盘输入一整数n，计算1*1+2*2+...+n*n的值。
10.用 while 循环计算1+2+……+100的和。
11.用 do while循环计算1+2+……+100的和。
12.用 for 循环计算1+2+……+100的和。
13.输入一个小于等于10的整数n ，计算n!。
14.输入两个正整数m和n，计算m!+n!，m和n的值均小于10。
15.用循环语句，计算1~100之间的所有3的倍数之和。
16.用循环语句，计算100－200之间的所有7的倍数之和。
17.输出1-100之间,7的整数倍数或数字尾数为7的数字,统计出这些数字个数。
18.输入一行字符，分别统计出其中英文字母，空格，数字和其他字符的个数。
19.输入一个整数，统计它有几位数。
如输入367，则该数有3位数。
20.编写程序,输出1到50中间所有能被3整除的正整数。
21.把100~200之间不能被3整除的输出。
22.编程Y=1+3+5+7+...111。
23.编程y=1*1/2*1/3*1/4*1/5*1/6*...前十项之积。
24.编程输出九九乘法表。
25.求1到100奇数和。
26.求1到100偶数和。
北航大一上c语言第四五六七八次作业
3. 字母频率统计【问题描述】编写程序从标准输入中读入一段英文，统计其中小写字母出现次数，并以柱状图的形式显示其出现次数。
【输入形式】在标准输入上输入一段英文文章（可能有一行，也可能有多行），在新的一行的开头输入ctrl+z键表示结束。
【输出形式】在屏幕上依次输出表示每个小写字母出现次数的柱状图（以“*”字符表示柱状图，空白处用空格字符表示，某个小写字母出现多少次，就显示多少“*”字符；柱状图的高度以出现最多的字母次数为准），在最后一行依次输出26个小写字母。
【样例输入】The computing world has undergone arevolution since the publication ofThe C Programming Language in 1978.【样例输出】【样例说明】在输入的英文短文中，小写字母a出现了6次，所以其上输出了6个字符"*"。
出现次数最多的是字母n，所以柱状图的高度为9个字符。
字母j没有出现，所以其上都为空格字符。
【评分标准】该题要求输出柱状图表示的字母出现次数，共有5个测试点。
上传C语言文件名为bar.c。
【输入形式】从标准输入读取顶点坐标。
格式为：第一行是点的个数N（3≤N≤15），后面紧接着N 行，每行两个数字（由空格隔开），分别表示该点的X、Y坐标（0≤X，Y≤32767）。
所有点的坐标互不相同，且按顺时针次序给出。
输入数据确保该多边形是一个凸多边形。
【输出形式】向标准输出打印一个浮点数，是该多边形的面积。
该浮点数保留两位小数。
【输入样例】 43 330101 2【输出样例】5.00【样例说明】输入数据表示了如图所示的四边形。
其面积为5.00。
提示：求三角形面积可用海伦公式，求平方根可用<math.h>头文件中定义的sqrt函数。
【评分标准】结果完全正确得20分，每个测试点4分。
提交程序名为：points.c。
22春[0772]《中学代数研究》西大网络答案
1、高中代数课程的基本主线是（ ）.方程 . 不等式.函数.数列2、用复数的棣莫弗公式，可以推导（ ）.三角函数的n 倍角公式. 一元二次方程的求根公式 .点到直线的距离公式3、不定方程求解的算理依据是（ ）. B. 孙子定理 . 辗转相除法. 单因子构件法 .拉格朗日插值法4、 在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（ ）. 形式推导 . 直观理解.恒等变换5、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（ ）. 连续性 . 完备性 .稠密性.可数性6、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为（）.方程和函数.古典代数和近代代数.数列和算法.抽象代数和近世代7、下列说法，哪个是正确的（）.复数集是一个有序域.复数可以比较大小.复数可以排序8、下列哪个说法是错误的（）.用尺规作图可以三等分角.用尺规作图可以二等分角.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线.用尺规作图可以画出根号5的数9、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有（）.完备性.稠密性.可数性.连续性10、三角形的余弦定理同（）有内在联系.二维柯西不等式.二维排序不等式 .二维均值不等式11、下列说法，哪一个是错误的（ ）.有理数集是可数的 .实数集是可数的.自然数集是可数的12、两个集合A 和B 的笛卡尔积的子集，被称为（ ）. F. 关系. 对偶. 序偶 .结构13、高中教材“函数”的定义采用的是（ ）. 函数“对应说”；. 函数“变量说”； .函数“关系说”14、用（ ）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。
. 拉格朗日插值公式. 数列的母函数.高阶数列的求和递推公式15、不定方程求解的算理依据是（ ）. 孙子定理.单因子构件法.辗转相除法.拉格朗日插值法16、点到直线的距离公式，可以用（）推出.C. 加权平均不等式. D. 柯西不等式.均值不等式.排序不等式17、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（）.正弦定理.孙子定理.代数基本定理.韦达定理判断题18、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。
C语言程序设计试题_练习题
C语言程序设计试题_练习题一、选择题：（20分，每题2分）1．以下不正确的C语言标识符是（）。
A.ABCB.abcC.a_bcD.ab.c2．C程序是由构成的。
A.主程序与子程序B.主函数与若干子函数C.一个主函数与一个其它函数D.主函数与子函数3．以下说法中正确的是：A.在C语言中，实参与其对应的形参各占独立的存储单元；B.在C语言中，实参与其对应的形参共占同一个存储单元；C.在C语言中，只有当实参与其对应的形参同名时，才共占同一个存储单元；D.在C语言中，形参是虚拟的，不占存储单元。
4．设n=3;则n++的结果是（）。
A.2B.3C.4D.55．设整型变量n=10,i=4,则赋值运算n%=i+1执行后，n的值是（）。
A.0B.1C.2D.36．凡是函数中未指定存储类别的局部变量其隐含的存储类别是（）。
A.自动（auto）B.静态（tatic）C.外部（e某tern）D.寄存器（regiter）7．在while（某）语句中的某与下面条件表达式等价的是：A.某==0B.某==1C.某!=1D.某!=08．若有以下说明和语句：tructworker{intno;~char某name;}work,某p=&work;则以下引用方法不正确的是（）。
A.work.noB.(某p).noC.p->noD.work->no9．以下对二维数组进行正确初始化的是（）。
A.inta[2][3]={{1,2},{3,4},{5,6}};B.inta[][3]={1,2,3,4,5,6};C.int a[2][]={1,2,3,4,5,6};D.inta[2][]={{1,2},{3,4}};10．二维数组a有m列，则在a[i][j]之前的元素个数为：A)j某m+iB)i某m+jC)i某m+j-1二、给出下列程序的运行结果：(20分，前四题每题3分，后两题每题4分)1．#include<tdio.h>main(){inti=16,j,某=6;j=i+++1;某某=i=j;printf(“%d,%d\n”,j,某);}运行结果是：2．#include<tdio.h>#include<math.h>main(){inta=1,b=4,c=2;float某=10.5,y=4.0,z;z=(a+b)/c+qrt((double)y)某1.2/c+某;printf(“%f\n”,z);}运行结果是：3．#include<tdio.h>main(){inta,b,c,d;a=c=0;b=1;d=20;if(a)d=d-10;eleif(!b)if(!c)d=25;eled=15;printf(“d=%d\n”,d);}运行结果：4．main(){inti=10;witch(i){cae9:i+=1;cae10:i+=1;cae11:i+=1;}printf(“%d”,i);}运行结果：5．#include<tdio.h>main(){inta[]={1,2,3,4},i,j,=0;j=1;for(i=3;i>=0;i--){=+a[i]某j;j=j某10;}printf("=%d\n",);}运行结果：6．func(int某){某=20;}main(){int某=10;func(某);printf(“%d”,某);}运行结果：三、阅读程序，在标有下划线的空白处填入适当的表达式或语句，使程序完整并符合题目要求。
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任意定义三个不相等的整数，由大到小排序。
public class FIRST1 {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int a=3;
int b=2;
int c=1;
if (a>b) {
if (b>c) {
System.out.println("a"+"b"+"c");
}
else if (a>c) {
System.out.println("a"+"c"+"b");
}
else {
System.out.println("c"+"a"+"b");
}
}
else {
if (a>c) {
System.out.println("b"+"a"+"c");
}
else if (b>c) {
System.out.println("b"+"c"+"a");
}
else {
System.out.println("c"+"b"+"a");
}
}
}
}