最新高二数学上学期期末考试试卷 含答案

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.复数2

1?i

=()

A. i

B. ?i

C. 1+i

D. 1?i

【答案】C

【解析】解：2

1?i =2(1+i)

(1?i)(1+i)

=2(1+i)

2

=1+i．故选：C．直接利用复数代数形式

的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

2.已知等差数列{a n}中，a5=10，a7=14，则公差d=()

A. 1

B. 2

C. ?2

D. ?1

【答案】B

【解析】解：由题意，a7?a5=4=2d，∴d=2，故选：B．利用等差数列的定义及通项公式可知a7?a5=4=2d，故可求本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题．

3.“x>1”是“x2>1”的()

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也

不必要条件

【答案】A

【解析】解：因为“x>1”?“x2>1”，而“x2>1”推不出“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”充分不必要条件．故选：A．直接利用充要条件的判断方法判断即可．本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断．

4.设△ABC的内角A、B、C的对边分別为a、b、c，若∠A=π

3

,a=√3,b=1，则B=()

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 150°

【答案】A 【解析】解：∵a>b，∴A>B，即B<60°，由正弦定理得a

sinA

=b

sinB

，得√3√3

2

=1

sinB

，

即sinB=1

2

，则B=30°，故选：A．根据大边对大角，求出B的范围，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查正弦定理的应用，结合大角对大边大边对大角是解决本题的关键．

5.具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直

线方程为y?=3x?3

，则m的值()

A. 4

B. 9

2

C. 5

D. 6

【答案】A

【解析】解：由表中数据得：x=3

2

，y=m+8

4

，由于由最小二乘法求得回归方程

y∧=3x?3

2

，将x=3

2

，y=m+8

4

代入回归直线方程，得m=4．故选：A．根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法

求得回归方程y∧=3x?3

2

，代入样本中心点求出该数据的值．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

6.已知F1，F2是椭圆x2

16

+y2

12

=1的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两

点，且|AB|=7，则△ABF1的周长为()

A. 10

B. 12

C. 16

D. 3

【答案】C

【解析】解：椭圆x2

16

+y2

12

=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+ |AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 16．故选：C．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，

并且|AF 2|+|BF 2|=|AB|，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义.椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

7.设实数x ，y 满足约束条件{x +3y ?3≤0

x ?y +2≥0y ≥0，则z =x +y 的最大值为()

A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D

【解析】解：由实数x ，y 满足约束条件{x +3y ?3≤0

x ?y +2≥0y ≥0

，作可行域如图，由z =x +y ，得y =?x +z ．要使z 最大，则直线y =?x +z 的截距最大，由图看出，当直线y =?x +z 过可行域内的点A(3,0)时直线在y 轴上的截距最大，∴

z =x +y 的最大值是z =3．故选：D ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

8.已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，若∠APF =60°，则|PF|=() A. p B. 2p C. √2p D. √3p 【答案】B

【解析】解：∵抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ．根据抛物线的定义P 点到准线的距离=|PF|，又PF =PA ，所以|PA|就是P 点到准线的距离，即PA 垂直于

l ，∵∠APF =60°，△APF 是正三角形，∴F 到准线l 的距离为2p ，PF 为2p ．故

选：B ．由抛物线的定义，结合已知条件求出AP ，通过∠APF =60°，求解|PF|．本题考查抛物线的简单性质以及定义的应用，是中档题． 9.若双曲线

x 2a 2

?

y 2b 2

=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，则其离心率的取值

范围是()

A. (1,2)

B. (1.2]

C. (2,+∞)

D. [2,+∞) 【答案】C

【解析】解：如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y =±b

a x ，双曲线

x 2a 2

?

y 2b 2

=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，

则有b

a >√3，∴

c 2?a 2a 2

>3，解得e 2

=

c 2a 2

>4，e >2．故选：

C ．画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直

线y =√3x 有交点，则应满足：b

a

>√3，通过b 2=c 2?a 2，可得e 的范围．本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑，是基础题．

10.设函数f(x)在定义域内可导，y =f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能是() A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】解：原函数的单调性是：当x <0时，增；当x >0时，单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x)>0；当x >0时，f ′(x)的符号变化依次为+、

?、+．故选：C ．先根据函数f(x)的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 11.数列11

2，21

4，31

8，…，n +1

2n 的前n 项和为S n =() A.

n 2?1n B.

n(n+1)2

+2n

C.

n(n+1)2

?

12n

+1D. n

2n ?1

【答案】C

【解析】解：数列11

2，21

4，31

8，…的前n 项和为S n =(1+2+3+?+n)+(1

2+

14

+18+?+

12

n

)=n(n+1)2

+(

12(1?1

2

n )1?12

)

=n(n+1)2

?

12n

+1．故选：C ．利用分组求和即可得到数列的和．本题考查数列求

和，等差数列以及等比数列求和，考查计算能力．

12.已知函数f(x)=ax 3+6x 2?3x +1在区间(1,2)上是减函数，则实数a 的取值范围是()

A. (?∞,?3]

B. (?∞,?7

4]C. [?3,?7

4]D. (?7

4

,+∞]

【答案】A

【解析】解：∵f(x)=ax 3+6x 2?3x +1，∴f ′(x)=3ax 2+12x ?3，又∵f(x)在(1,2)上是减函数，∴f ′(x)在(1,2)上恒有f ′(x)≤0，即3ax 2+12x ?3≤0在(1,2)上恒成立.a ≤1

x 2?4

x =(1

x ?2)2

?4，因为x ∈(1,2)，所以1

x ∈(1

2,1)，所以：a ≤?3．∴实数a 的取值范围是{a|a ≤?3}．故选：A ．对函数f(x)求导，转化成f ′(x)在(1,2)上有f ′(x)≤0恒成立，从而求出a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题． 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.曲线f(x)=x 3?2x 在点(2,f(2))处的切线方程为______． 【答案】y =10x ?16

【解析】解：根据题意，f(x)=x 3?2x ，其导数

，则f(2)=4，，

则在点(2,f(2))处的切线方程为y ?4=10(x ?2)，即切线方程为y =10x ?16．故答案为：y =10x ?16．根据题意，由函数的解析式求导可得，

进而可得f(2)=4，

，即可得切点的坐标以及切线的方程，由直线的点斜

式方程即可得答案．本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，

14.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2?1，其中n =1，2，3，…，那么a 5=______． 【答案】9

【解析】解：(法一)：由于S n =n 2?1∴a 5=S 5?S 4=24?15=9(法二)：由于S n =n 2?1∴a n =s n ?s n?1=n 2?1?(n ?1)2+1=2n ?1(n ≥2)∴a 5=9故答案为：9(法一)：由递推公式可得递推公式，a 5=S 5?S 4，代入可求．(法二)：由a n =s n ?s n?1=n 2?1?(n ?1)2+1可求a n (n ≥2)，然后把n =5代入到通项公式可求本题主要考查了由递推公式a n =s n ?s n?1=n 2?1?(n ?1)2+1(n ≥2)求解数列的通项公式的求解，属于基本公式的应用

15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边.已知∠A =60°，b =4，△ABC 的面积为3√3，则a =______． 【答案】√13

【解析】解：∵三角形的面积S =1

2bcsinA =3√3，∴1

2×4c ×√

3

2

=3√3，

即c =3，则a 2=b 2+c 2?2bccosA =16+9?2×4×3×1

2=25?12=13，即a =√13，故答案为：√13．根据三角形的面积求出c 的值，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查三角形面积以及余弦定理的应用，根据面积公式求出c 的值是解决本题的关键．

16.已知两个正数x ，y 满足x +y =4，则使不等式1

x +4

y ≥m 恒成立的实数m 的范围是______．

【答案】m≤9

4

【解析】解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，则1

x +4

y

=x+y

4x

+x+y

y

=5

4

+

y 4x +x

y

≥5

4

+1=9

4

，当y

4x

=x

y

时取等号；∴1

x

+4

y

的最小值是9

4

，∵不等式1

x

+4

y

≥m恒

成立，∴m≤9

4．故答案为：m≤9

4

．由题意将x+y=4代入1

x

+4

y

进行恒等变形

和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

17.已知双曲线x2

a ?y2

b

=1(a>0,b>0)的实半轴长为2，半焦距为4．(1)求双

曲线C的方程；(2)判断点(4,6)是否在双曲线C上．

【答案】解：(1)由题意可得a=2，c=4，即有b=√c2?a2=√16?4=2√3，

可得双曲线的方程为x2

4?y2

12

=1；(2)将(4,6)代入双曲线方程，可得16

4

?36

12

=1，

则点(4,6)在双曲线C上．

【解析】(1)由题意可得a，c，由a，b，c的关系可得b，进而得到所求双曲线的方程；(2)将(4,6)代入双曲线的方程，检验是否成立，即可得到结论．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=√3ccosA．(1)

求角A的大小；(2)若b=6，c=3，求a的值．

【答案】解：(1)∵asinC=√3ccosA.由正弦定理得sinAsinC=√3sinCcosA，…(2分)∵sinC≠0，∴∴sinA=√3cosA，即tanA=√3，∴A=60°，…(6分)(2)由余

弦定理得a=√b2+c2?2bc?cosA=√62+32?2×3×6×1

2=3√3．

【解析】(1)由正弦定理由asinC=√3ccosA.得，可求A；(2)由余弦定理得a．本

题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用.属于中档题．

19.已知等差数列{a n}的公差为1，前n项和为S n，且a3+S1=9．(1)求数列{a n}

的通项公式；(2)求数列{1

S n

}的前n项和T n．

【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d=1，首项为a1，前n项和为S n，且

a3+S1=9．则：a1+2d+3a1+3×2

2

?d=9，解得：a1=1．所以：a n=1+(n?

1)=n．(2)S n=1+2+?+n=n(n+1)

2

，1

S n

=2

n(n+1)

=2(1

n

?1

n+1

)，则：T n=1

S1

+ 1

S2

+?+1

S n

=2(1?1

2

+1

2

?1

3

+1

3

?1

4

+?+1

n

?1

n+1

)

=2(1?

1

n+1

)

=2n

n+1

．

【解析】(1)首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．(2)利用(1)的

结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项

公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力

和转化能力，属于基础题型．

20.为缓减人口老年化带来的问题，中国政府在2016年1月1日作出全国统一

实施全面的“二孩”政策，生“二孩”是目前中国比较流行的元素.某调查机

构对某校学生做了一个是否同意父母生“二孩”抽样调查，该调查机构从该

校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”

还是反对父母生“二孩”.现已得知100人中同意父母生“二孩”占75%，统

计情况如表：

女生 30 合计

100

(1)请补充完整上述列联表；(2)根据以上资料你是否有95%把握，认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由．参考公式与数据：K 2=

n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n =a +b +c +d

P(K 2>k) 0.15

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

k 2.072 2.706

3.841

5.024

6.635

7.879 10.828

【答案】解：(1)由题意可得列联表如下：

性别属性 同意父母生“二孩” 反对父母生“二

孩” 合计

男生 45 10 55 女生 30 15 45 合计

75

25

100 ………………(6分)(2)计算K 2

=

100×(45×15?10×30)2

75×25×45×55

=

10033

≈3.030<3.841，

…………………10分所以没有95%的把握认为同意父母生“二孩”与性别有关.………(12分)

【解析】(1)由题意填写列联表即可；(2)根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 21.已知点M(√6,√2)在椭圆G ：

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为

√6

3

．(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，

以AB 为底做等腰三角形，顶点为P(?3,2)，求△PAB 的面积． 【答案】解：(1)∵点M(√6,√2)在椭圆G ：

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0)上，且椭圆的

离心率为√6

3

．∴6a 2

+

2b 2

=1，c

a

=

√6

3

，又a 2=b 2

+c 2

，解得a 2

=12，b 2

=4．∴椭

圆G 的方程为

x 2

12

+

y 24

=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点N(m,n)，

直线AB 的方程为：y =x +t ．联立{x 2+3y 2=

12

y=x+t

，化为4x 2+6tx +3t 2

?12=0，

∴x 1+x 2=?3t 2

=2m ，x 1x 2=

3t 2?124

．解得m =?3t

4，∴n =t

4

．∴k PN =?1=t

4?2?3t 4

+3，解得t =2．∴直线AB 的方程为：y =x +2．∴点P 到直线AB 的距离d =|?3?2+2|

√2

=

3√2

．|AB|=√2[(x 1+x 2)2?4x 1x 2]=√2[(?3)2?4×0]=3√2．∴

S △APB =12d ?|AB|=12

×

3√2

×3√2=9

2．

【解析】(1)由点M(√6,√2)在椭圆G ：

x 2a 2

+

y 2b 2

=1(a >b >0)上，且椭圆的离心

率为√63

.可得6

a 2+2

b 2=1，

c a

=√6

3

，又a 2=b 2+c 2联立解得即可．(2)设A(x 1,y 1)，

B(x 2,y 2)，线段AB 的中点N(m,n)，直线AB 的方程为：y =x +t.与椭圆方程联立可得4x 2+6tx +3t 2?12=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得m =?3t

4，n =t

4.利用k PN =?1，解得t.再利用点到直线的距离公式可得点P 到

直线AB 的距离d.弦长公式|AB|=√2[(x 1+x 2

)2

?4x 1x 2]，S △APB =1

2d ?|AB|即

可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程

联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22.已知函数f(x)=1

2x 2?a 2lnx(a >0)(1)若f(x)在x =1处取得极值，求实数a 的值．(2)求函数f(x)的单调区间．(3)若f(x)在[1,e]上没有零点，求实数a 的取值范围．

【答案】解：(1)f(x)=12x 2?a 2lnx(a >0)的定义域为(0,+∞)，且f ′(x)=x ?

a 2x

．∵f(x)在x =1处取得极值，

，解得a =1或a =?1(舍)，当a =1时，x ∈(0,1)，

；x ∈(1,+∞)，

0'/>，∴函数f(x)在x =1处取得极小

值，故a =1．(2)f ′(x)=x ?a 2x

=x 2?a 2

x

(x >0)．令 0'/>，解得x >a ；

令

，解得0

(0,a)(3)要使f(x)在[1,e]上没有零点，只需在[1,e]上f(x)min>0或f(x)max<0，又f(1)=1

2

>0，只需在区间[1,e]上，f(x)min>0．①当a≥e时，f(x)在区间[1,e]

上单调递减，则f(x)min=f(e)=1

2e2?a2>0，解得0

2

e与a≥e矛

盾．②当1

2

a2(1?2lna)>0，解得0

③当00，满足题意，综上所述，实数a的取值范围是：0

【解析】(1)求出f′(x)令，求出a的值，再利用导数符号判断函数单调性，验证即可；(2)求出f′(x)，解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可求出f(x)的单调区间；(3)用导数求出函数f(x)在区间[1,e]上没有零点，只需在[1,e]上f(x)min> 0或f(x)max<0，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．