二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题-新精品PPT课件
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比较系数, 得b0 =− 1 , b1=−1, 故 y*= x(− 1 x−1 e2x . ) 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
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一、 f(x)=Pm(x)eλx 型
设方程y′′+py′+qy=Pm(x)eλx 特解形式为y*=Q(x)eλx, 则得 Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)=Pm(x). ——(＊)
提示:
y*′′+py*′+qy* =[Q(x)eλx]′′+[Q(x)eλx]′+q[Q(x)eλx] =[Q′′(x)+2λQ′(x)+λ2Q(x)]eλx+p[Q′(x)+λQ(x)]eλx+qQ(x)eλx =[Q′′(x)+(2λ+p)Q′(x)+(λ2+pλ+q)Q(x)]eλx.
提示: 此时λ2+pλ+q≠0. 要使(＊)式成立, Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm−1+ ⋅ ⋅ ⋅ +bm−1x+bm.
二阶常系数非齐次线性微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
0 1
i不是根 i是单根,
上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.
总结如下:
19
待定系数法
非齐次方程 y py qy f ( x)
(1)
特征方程 r 2 pr q 0
(2)
即
一.
f ( x) Pm ( x) e x y py qy Pm ( x) e x
Pm ( x) Qm ( x)
比较系数得 :
2a 1 2a b 0
a
1 2
,
b 1 .
通解
y*
1 2
x2
x
e2x
.
y
Y
y *
C1e 2 x
C2e3x
1 2
x2
x e 2x
.
26
例4 求特解 y 5 y 6 y e2x . 解 特征方程 r 2 5r 6 0 . r1 2 , r2 3 .
y1
1 D2 1
xe 2ix2.
e 2ix
(D
1 2i)2
x 1
e 2ix
D2
1 4iD
3
x
(公式 3.)
e 2ix
1 3
4 9
iD x
e 2ix
1 3
x
4 9
i
1 3x 4icos 2x i sin 2x
9
1 9
(3x
cos
2
x
4
sin
2
x)
i(4
cos
2
x
3
x
sin
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
04-二阶常系数非齐次线性微分方程(2)PPT
二阶常系数非齐次线性方程的解(2)* y 特解二阶常系数线性微分方程=+'+''y q y p y 二阶常系数齐线性方程)(x f y q y p y =+'+''二阶常系数非齐线性方程特征方程2=++q p λλ特征根, 21λλ2211y C y C Y +=通解*y Y y +=通解)2()( x f y q y p y =+'+'')1(.0 =+'+''y q y p y的情形x x P e x f x x P e x f n xn xββααsin )()(,cos )()(==欧拉公式：.sin i cos i θθθ+=e性质4是方程若 )(i )(* 21x y x y y ±=)(i )()()(21x f x f y x q y x p y ±=+'+'')()()(1x f y x q y x p y =+'+''的一个特解.)( 1是方程的一个特解，则x y)( 2是方程的一个特解；x y )()()(2x f y x q y x p y =+'+''*Re 1y y =实部*m I 2y y =虚部cos )( x x P e y q y p y n xβα=+'+'' sin )( x x P e y q y p y n xβα=+'+'')( )i (x P ey q y p y n xβα±=+'+'')(*)i (x Q ex y n xk βα±=*Re *1y y =*Im *2y y ±=i 不是特征根，βα±0 ；取=ki 是特征根，βα±1 ；取=k解.cos 的一个特解求方程x y y =+'' 01 2，特征方程=+λ i 2,1，＝特征根±λi 的特解：首先求方程xe y y =+'' 1 0 i ，且有，故取是特征根，由于===k n α *i 0，xe x b y =代入上述方程，得2i]i 2[0i i 000，，即有-==+-b e e x b x b b xx从而，原方程有一特解为.sin 21)cos i sin (21Re x x x x x x =-=)2i ( Re *Re *i 1x e x y y -==例1.sin 的一个特解求方程x x y y =+'' , 012=+λ特征方程 ,i 2,1±＝特征根λ的特解：首先求方程xe x y y i =+''且有故取是特征根由于,1,1,i ===k n α,)(*i 10xe b x b x y +=代入上述方程，得,i 22i 4100x b b x b =++比较系数，得,1i 40=b,0i 10=+b b,41,4i 10=-=b b 解例2从而，原方程有一特解为)]cos sin ()cos sin [(41Im 22x x x x x x x x -++=xex y y i 2)414i (Im *Im *+-== 故，xxe x x e b x b x y i i 10)414i ()(*+-=+= .)cos sin (412x x x x -=.sin cos 的一个特解求方程x x x y y +=+''由上面两个例题立即可得)cos sin (41sin 21***221x x x x x x y y y -+=+= .cos 41sin 432x x x x -=解例3内容小结]sin )(~cos )([x x P x x P e y q y p y n l xωωλ+=+'+''为特征方程的k (＝0, 1 )重根, ωλi ±xk ex y λ=*则设特解为]sin )(~cos )([x x R x x R m m ωω+。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题哎呀，这可是个难题啊！不过别着急，我们一起来解决这个问题吧。
今天，我们要学习的是如何解二阶常系数非齐次线性微分方程。
听起来好像很高深莫测的样子，其实呢，只要用点心，就能轻松搞定哦！我们来看一下这个题目的意思。
所谓二阶常系数非齐次线性微分方程，就是说这个方程有两个未知数，而且它们的系数都是常数，但是方程中包含的项并不是齐次的。
那么，我们应该怎么解这个方程呢？其实，解决这个问题的关键在于找到一个合适的方法。
我们知道，解微分方程的方法有很多种，比如分离变量法、变量替换法、特征线法等等。
而对于二阶常系数非齐次线性微分方程来说，我们可以采用一种叫做“因式分解”的方法来求解。
具体来说，我们首先要将这个方程进行因式分解。
然后，根据不同的情况，选择合适的方法进行求解。
这里呢，我给大家举两个例子，看看到底是怎么做的吧。
第一个例子：假设我们要解的方程是这样的：y'' 2y' + y = 0我们可以先将这个方程进行因式分解：(y'' 2y')(1 y) = 0这样一来，我们就得到了两个独立的一阶线性微分方程：y'' 2y' = 0y' y = 0接下来，我们就可以分别用这两个方程来求解了。
具体来说，我们可以先求出y'和y''的关系式，然后再代入第二个方程求解。
当然啦，这只是其中一种方法，还有很多其他的方法可以用来解决这个问题。
第二个例子：假设我们要解的方程是这样的：xy'' + x^2y' + xy = 0我们可以先将这个方程进行因式分解：(xy'' + x^2y')(x + 1) = 0这样一来，我们就得到了两个独立的一阶线性微分方程：xy'' + x^2y' = 0xy' + x = 0同样地，我们可以分别用这两个方程来求解了。
二阶常系数非齐次线性微分方程ppt课件
Q( x) 6Ax 2B 代入（*）式
6Ax 2B 5x A 5 , B 0
6
y 5 x3e3x 6
非齐通解为
y
(c1
c2 x
5 6
x3
)e3 x
6
二、f ( x) Pm ( x)ex cosx型
f ( x) Pm ( x)ex sinx型及其组合型
f ( x) Pm ( x)ex cosx f ( x) Pm ( x)ex sinx
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 y Y y,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
分别是 Pm ( x)e( j )x 的实部和虚部 考虑方程 y py qy Pm ( x)e( j )x , 辅助方程
可设 y xkQm ( x)e( j )x
Qm ( x)是m次复系数多项式
记Qm ( x) Q1( x) jQ2( x)
Q1( x),Q2 ( x)均是m次实系数多项式 7
解 相应齐方程 y y 0
特征方程 r 2 1 0 r1,2 j
齐通解 Y c1 cos x c2 sin x
y xk[Q1( x) jQ2( x)]ex (cosx j sinx) xkex[(Q1( x)cosx Q2( x)sinx) j(Q1( x)sinx Q2( x)cosx)]
k
0, 1,
j不是特征方程的根 j是特征方程的单根
由分解定理
Re y xkex[Q1( x)cosx Q2( x)sinx] Im y xkex[Q1( x)sinx Q2( x)cosx]
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些有趣的例子。
让我们来了解一下什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
二阶常系数非齐次线性微分方程是指形如这样的方程：∂y/∂t = a*∂^2y/∂x^2 + b*∂y/∂x + c*y,其中a、b、c是常数，t和x是变量。
这个方程看起来有点复杂，但是我们可以通过一些技巧来求解它。
我们可以将这个方程变形为：y(t) y(0) = c*t*(at^2 + bt),然后令y(0) = 1,得到一个关于t的二次方程。
接下来，我们可以使用二次公式来求解这个方程。
我们将得到的y(t)与初始条件y(0)结合，就可以得到整个方程的解了。
下面我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个函数y(t) = e^(-t)^2,我们需要求解它的二阶常系数非齐次线性微分方程。
我们将e^(-t)^2代入y(t) = c*t*(at^2 + bt),得到e^(-t)^2 1 = c*t*(at^2 + bt)。
然后，我们令y(0) = 1,得到e^(-0)^2 1 = c*0*(at^2 + bt)。
这意味着1 = c。
所以，我们可以将方程改写为：e^(-t)^2 1 = -t*(at^2 + bt)。
接下来，我们使用二次公式求解这个方程。
我们将得到的y(t)与初始条件y(0)结合，就可以得到整个方程的解了。
除了上面的例子之外，还有很多其他有趣的问题可以供我们探讨。
例如，我们可以考虑一个简单的问题：如果一个物体在匀加速运动，那么它的加速度是多少？这个问题可以用二阶常系数非齐次线性微分方程来表示。
通过求解这个方程，我们可以得到物体的加速度与时间的关系。
这样一来，我们就可以根据实际情况来计算物体的加速度了。
二阶常系数非齐次线性微分方程虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了一些基本方法和技巧，就可以轻松地解决各种问题。
希望大家在学习的过程中能够保持好奇心和探索精神，不断地发现新的问题和答案。
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来聊聊二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。
我们要明确什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。
简单来说，就是一个未知函数y关于自变量x的非线性微分方程，形式如下：dy/dt = a * y^2 + b * x * dy/dx + c * x^2其中a、b、c是已知的常数，t表示时间，x和y分别表示自变量和因变量。
接下来，我们来探讨一下如何求解这个方程。
我们需要将这个方程转化为一个标准的线性微分方程。
为了做到这一点，我们需要引入两个辅助函数：P(t, y)和Q(t, y)。
P(t, y)是一个一阶线性微分方程，表示y关于t的导数；Q(t, y)是一个二阶线性微分方程，表示y关于y的导数。
我们有：dy/dt = P(t, y)dP(t, y)/dt = Q(t, y)将这两个方程联立起来，我们可以得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b这是一个标准的线性微分方程，可以使用常系数线性初值问题的方法来求解。
具体来说，我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[a * y^2 / b * dt + c * x^2 * Q(t, y)] + C1(t)其中C1(t)是y的一个初始条件。
接下来，我们可以通过求解这个积分方程来得到y 的通解。
我们需要将通解代入原方程中，解出x的表达式。
下面我们来看一个具体的例题。
假设我们要求解以下二阶常系数非齐次线性微分方程：dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx + x^2我们首先引入两个辅助函数P(t, y)和Q(t, y):P(t, y) = dy/dt = 2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dxQ(t, y) = dP(t, y)/dt = 6 * x * dy/dx + 2 * exp(-t) * dx然后我们将这两个方程联立起来，得到一个关于y的齐次线性微分方程：dy/dt = (P(t, y) a * y^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b将已知的参数代入这个方程，我们可以得到：dy/dt = (2 * exp(-t) * y^2 + 3 * x * dy/dx 2 * exp(-t) * x^2 / b) * dt + (c * x^2 * Q(t, y)) / b整理得：dy/dt = [exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + [by^3 + cxy^3] dt + C1(t)现在我们可以将y表示为一个积分形式：y = Y(t) = int[exp(-t)(by^2 + cxy^2) cxy] dt + int[by^3 + cxy^3] dt + C1(t)通过求解这个积分方程，我们可以得到y的通解。
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所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x+2b0b1x
因此所给方程的通解为
特解形式
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二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取
为0、1或2
例1 求微分方程y2y3y3x+1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30
因为f(x)Pm(x)ex3x+1 0不是特征方程的根
所以非齐次方程的特解应设为 y*b0x+b1
把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x+1
yY(x)+y*(x)
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊)
提示 y*+py*+qy*[Q(x)ex]+ p[Q(x)ex]+q[Q(x)ex]
[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+p[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex [Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)]ex
提示
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex
提示
此时2+p+q0 但2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm +b1xm1+ +bm1x+bm
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) —;q0的根 则 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程r2+pr+q0的单根 则 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程r2+pr+q0的重根 则 y*x2Qm(x)ex
一、 f(x)Pm(x)ex 型
设方程y+py+qyPm(x)ex 特解形式为y*Q(x)ex 则得
Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)Pm(x) ——(＊) (1)如果不是特征方程r2+pr+q0的根 则 y*Qm(x)ex
提示
此时2+p+q0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k
按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次
取0或1 >>>
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结束语
当你尽了自己的最大努力时，失 败也是伟大的，所以不要放弃， 坚持就是正确的。
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、 f(x)Pm(x)ex型
二、f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
y+py+qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分 方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解yy*(x)之和
所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0x+b1)e2x
把它代入所给方程 得 >>> 2b0x+2b0b1x
提示 2b01 齐2b次0方b1程0y5y+6y0的通解为YC1e2x+C2e3x
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
提示 [b30bx0+b31]2[b0x+b1]3[b0x+b1] 2b03b0x3b1 2b30b0x3b21b10 3b1
特解形式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60 其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根