一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程
在工程中的应用
控制工程
01
在控制工程中，一Hale Waihona Puke 线性微分方程可以用来描述系统的动态特
性，如传递函数和稳定性分析。
信号处理
02
在信号处理中，一阶线性微分方程可以用来描述信号的滤波、
放大和传输等过程。
航天工程
03
在航天工程中，一阶线性微分方程可以用来描述火箭的发射、
卫星轨道和姿态控制等过程。
04
一阶线性微分方程的扩 展
一阶线性微分方程
目录
• 一阶线性微分方程的定义与形式 • 一阶线性微分方程的解法 • 一阶线性微分方程的应用 • 一阶线性微分方程的扩展
01
一阶线性微分方程的定 义与形式
定义
总结词
一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次项的方程。
详细描述
一阶线性微分方程的一般形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 y 是未知函数，P(x) 和 Q(x) 是已知函数，' 表示导数。 这个方程包含未知函数 y 和它的导数 y'，且最高次项为一次。
变系数一阶线性微分方程
定义
变系数一阶线性微分方程是指方程中的系数是未知数的函数，而 不是常数。
解法
解变系数一阶线性微分方程需要使用特殊的方法，如换元法、变量 分离法等，以将方程转化为更易于解决的形式。
应用
变系数一阶线性微分方程在物理学、工程学和经济学等领域有广泛 的应用，例如振动问题、电路分析、人口动态等。
03
一阶线性微分方程的应 用
在物理中的应用
自由落体运动
一阶线性微分方程可以用来描述 物体在重力作用下的自由落体运 动，如速度和位移随时间的变化
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶微分方程一阶线性
通解为： y Ce P ( x )dx Ce
即 y Cx e 。
2 1 x
(
2x x
2
1 x
) dx 2
Ce
ln x 2
1 x
，
将初始条件 y
x 1
e 代入通解，得 C 1 ，
1 x
故所求特解为 y x 2 e 。
3
4.2
一阶微分方程
（二）一阶线性非齐次方程的解法
7
4.2
一阶微分方程
方法 2（用通解公式法）
1 sin x 1 sin x y y ， P ( x ) ， Q( x ) ， x x x x
ye
1 dx x
sin x [ e x
1 dx x
dx C ]
1 sin x 1 [ x dx C ] [ cos x C ]. x x x
xe
1 dy y
[ y e
3
1 dy y
1 3 dy C ] y[ y C ] ， 3
9
1 4 故原方程的通解为 x y Cy 。 3
4.2
一阶微分方程
例 4．设可导函数 f ( x ) 满足方程
x
0
f (t )dt x t f ( x t )dt ，求 f ( x ) 。
P ( x ) dx
是①的解。
P ( x ) dx P ( x ) dx y C ( x )e C ( x ) P ( x )e 代入方程①，则有
C ( x )e
P ( x ) dx
C ( x ) P ( x )e
第七章 第4节 一阶线性微分方程
y x ,
2
y,
2
dz dx
4 x
z x ,
2
4 x x 解得 z x C , 即 y x C . 2 2
2
17
例3
1.
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 yy 2 xy xe
2 x
2
;
解
y xy
1 ( 1 )
a 2 x C ( ln x) 2
将 z y 1 代入 , 得原方程通解:
a 2 y x C ( ln x) 1 2
16
例 2 求方程
dy dx
1 2
4 x
y x
2
y 的通解.
4 x
2
解 两端除以 y ，得
令 z
1 dy y dx
Q (x) y
dx 为 v ( x ), ln y v ( x )
P ( x ) dx ,
.
4
即 y e
v( x)
e
P ( x ) dx
.
P ( x ) dx
非齐方程通解形式 y u ( x ) e
与齐方程通解相比: C u ( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
2
13
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy dx P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法，这是个啥玩意儿？别着急，听我给你慢慢道来。
咱们来聊聊微分方程。
微分方程是一类关于未知函数的方程，它包含一个或多个导数。
而一阶线性微分方程，就是指只有一个自变量的微分方程，且这个自变量的导数是线性的。
听起来有点复杂？别急，咱们用个例子来解释一下。
假设有个问题，说小明每天走的距离是前一天的2倍加1米，那么这个问题就可以用一阶线性微分方程来描述。
这里的自变量就是时间t,而小明每天走的距离就是我们要求的未知函数y。
根据题意，我们可以得到这样一个方程：y(t) = 2y(t-1) + 1这就是一阶线性微分方程的一个例子。
现在我们来聊聊解法。
解微分方程的目的，就是要找到一个公式，把未知函数y和自变量t之间的关系表示出来。
而一阶线性微分方程的解法其实很简单，只需要用到一个叫做“递推关系”的东西。
所谓递推关系，就是指一个式子和它前面几个式子的差值是一个常数。
对于一阶线性微分方程来说，它的递推关系就是：dy/dt = 2dy/(t-1) + 1这个式子告诉我们，当我们知道了t时刻的y值，以及它前面t-1时刻的y值时，我们就可以用这个式子算出t时刻的y值。
而且这个式子还有一个很神奇的性质，就是它的左边是一个关于y的一阶线性微分方程，右边是一个关于y的一阶常系数线性微分方程。
这意味着，我们可以用同样的方法去求解这个递推关系中的每一个式子。
那么问题来了，我们怎么求解这个递推关系呢？其实方法很简单，就是用“累加法”。
具体来说，我们先令t=0,求出初始条件；然后再令t=1,求出第一个y值；接着再令t=2,求出第二个y值；以此类推，直到求出我们需要的所有y值。
这里的关键是要找到一个合适的初始条件，让递推关系能够顺利进行下去。
有时候这个初始条件并不好找，但是只要我们多试几次，总会找到一个合适的答案。
好了，今天关于一阶线性微分方程及其解法就给大家讲到这里啦！希望大家能够理解并掌握这个知识点。
一阶线性微分方程及其解法
形如
dy dx
f
y x
的一阶微分方程称为齐次方程
或
dx dy
f
x
y
解法：
针对齐次方程
dy dx
y x
，作变量代换
u
y x
即
y
xu
，则
dy dx
u
x
du dx
将其代入原式，得：
u
du dx
u
，即
du u u
dx
x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程；
然后，利用分离变量法求得
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1
1 u
du
1 dx x
u ln|u| ln|x| ln|c
故所求通解为： y ln|y| c x
书上还有一个例子，自己可以练习练习
求微分方程 (x2 y2 )dx 2xydy，满足初始条件 y x1 0
1 du 1 dx
(u) u
x
例1 求方程 y2 x2 dy xy dy 的通解 dx dx
y 2
解
原方程化为
dy dx
y2 xy x2
,即
dy dx
x y 1
x
这是齐次方程， 令 u y ,即 y xu x
故 代入得：
dy u x du
dx
dx
u x du u2 dx u 1
解： 方程可化为：
它是齐次方程。令
dy
x2
y2
1 ( y)2 x
d
代入整理后，有 du 1 u2
dx 2xu
分离变量，则有
u
1
一阶线性微分方程的概念与解的结构
x 2
x 2
于是，有
12 2 C (x ) e d x e C , 2
x
x
因此，原方程的通解为
x y C ( x ) e C e e . x 2 x 2
解法二
运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
将所给的方程改写成下列形式：
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
C ( x ) y Q ( x ), 1
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q (x ) C (x ) d x C , y 1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q (x ) y Cy d x . 1 y 1 y 1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ),
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0 ,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程 y P ( x ) y 0 是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P(x)dx, y 两边积分，得
则
1 1 x P ( x ) ,Q ( x ) e , 2 2
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注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
例1 求微分方程
解 分离变量
dy dx
2 xy 的通解.
dy y
2 x d x,
两端积分
2
dy y
2 x d x,
y e
C1
ln y x C1 ,
y Ce
x
2
e
x
2
,
y e
C1
C
e
x
2
,
为所求通解.
1
u 1 u
2
du
2
1 2x
dx
1 1
( ) ln (1 u ) ( ) ln x ( ) ln c 2 2 2
c x (1 u ) 1
2
代入上式，于是所求方程的通解为
c(x y ) x
2 2
2
把初始条件
y
c 1 代入上式，求出 ，故所求方程的特解为 y 2 x 2 x
u x
du dx
u
u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 du u
x
1
dx
u ln | u | ln | x | ln | c
故所求通解为：
y x
ln | y | c
书上还有一个例子，自己可以练习练习
dM M
kdt
ln M kt ln t
M Ce
kt
M |t 0 M
0
故
M
0
C
故,衰变规律为
M M 0e
kt
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
y
变量分离 两端积分 即 又
y x
dy y 1 x d x,
ln | y | ln | x | ln | C |
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x , y ) (1 )
若方程（1）可以写成如下形式：
g ( y ) dy f ( x ) dx (1 . 2 )
则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法
设函数
g( y)和 f ( x) 是
连续的,
(1.3)
1 当 g ( y ) 0时， dy (1.2) h( x ) d x g ( y)
P(x) 2 x
dy dx 2 x y x 1 x
2
2
2
,
其中
, Q(x)
2 x dx
x 1 x
则通解为
2 x dx
y e
x 1 x
2
e
dx C
e
2 ln x
( x 1 ) dx
1 2
C
1 x
C x
(2)
一阶线性微分方程的分类
Q ( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
分方程。
当
Q(x) 0
时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
求解法: 1. 常数变易法
1º 齐次线性方程：
分离变量：
dy y
dy y
dy dx
P( x) y 0
( 2.2)
P ( x ) d x,
x 1
0
例3 求方程
1 e
x y
ydx y x dy 0
的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
1 e
x y
dx 1 x 0 dy y
令u
x y
,即
x f dy y dx
解法： 针对齐次方程 即
y xu
dy
y dx x
，作变量代换 u
y x
，则
du dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdy dx
u x
du dx
du dx
将其代入原式，得：
u
u ，即
u u
x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
P( x)d x
的通解为：
ye
[ Q( x)e
P( x)d x
d x C]
（2）一阶线性非齐次微分方程
dy
1）一般式
P(x)y Q(x)
dx
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye
P ( x ) dx
[ Q( x )e
e
P ( x ) dx
dx C ]
解
求 y
P(x)
1 x
1 x
y x
,
1 x
2
的通解.
2
Q ( x ) x 则通解为 ,
dx
y e
e
1 x
ln x
x
3
x
2
e
1 x
dx
dx C
2
e
ln x
dx C
x
x
3
dx C C x
1 4
练习 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解 原方程变形为
衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成 其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未 衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程 中铀含量M(t)随t的变化规律
解
v
dM dt
kM , (k 0)
(这里显然有
dM dt
0)
变量分离 两端积分 即 又
x
的通解.
解法1（常数变易法） 1 1 x 原方程变形为 : y y e 2 2 对应的齐次方程为 ：
y 1 2 y 0
Ce 1 2 dx Ce 1 2 x
得通解为
y Ce
P ( x ) dx
设原方程的解为
y C ( x)e
1 2
x
从而
y C ( x ) e
1 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
代入原方程得
1 C ( x ) e 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
1 2 e
x
化简得
C ( x )
1 2 e
x
x 2 C
两边积分，得 所以，原方程的通解 解法2（用公式法）
C (x) e
1 y C ( x)e 2
P ( x ) d x,
ln y P ( x ) d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P ( x ) d x .
2º非齐次线性方程：
变易
dy dx
P ( x ) y Q( x ).
将 C C ( x ) ( 待定)
作变换
dy dx
dy 1 y
1 y
dx
变量分离
注意:这里隐藏一个初始条件
f (0) 0
变量代换是解方程的一种常用的手段 利用变量代换求微分方程的解 例6
解
求 dy dx
dy dx
du dx 1 u
2
( x y ) 的通解.
2
令 x y u,
du dx
1
代入原方程
解得 arctan u x C ,
求微分方程 ( x
2
y ) d x 2 x y d y，满足初始条件 y
2
x 1
0
的特解
解： 方程可化为：
dy dx
x y
2
2
1 ( 2(
y x y x
) )
2
2 xy
它是齐次方程。令
u
y x
du dx 1 u 2 xu
2
代入整理后，有 分离变量，则有 两边积分，得 即
2
2 1 x x C 2 x 2
所以，原方程通解为
：y e
y
x c
五、小结
本节主要内容是：
x f 或 1．齐次方程 dy y y 2．齐次方程的解法：关键是令 u ，从而 x
dy
y f dx x
dx
y xu
，则
dy dx
u x
du dx
，代入原方程后，
原方程转化为可分离变量方程去求解；
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为
y tan( x C ) x .
求
dy dx
1 x y
的通解.
令u x y
求xy y y ln xy的通解.
令u xy
二、齐次方程
形如 或
dy y f 的一阶微分方程称为齐次方程 dx x
ln | ( x ) | 时，绝对值符号可不写
即 e P ( x ) dx
e
ln | ( x )|
e
ln ( x )
(x)