常系数线性微分方程组的解法
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
微分方程中的常系数齐次线性方程求解
微分方程中的常系数齐次线性方程求解在微积分学中，常系数齐次线性方程是一类常见的微分方程。
它们的解可以通过一定的方法得到。
在本文中，我们将介绍如何求解常系数齐次线性方程。
一、什么是常系数齐次线性方程常系数齐次线性方程是指形如y″+ay′+by=0的微分方程，其中a和b为常数。
它们的特点是方程中的未知函数及其导数的系数都是常数。
二、求解常系数齐次线性方程的方法1. 特征方程法特征方程法是求解常系数齐次线性方程的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）写出微分方程的特征方程，特征方程就是对应的代数方程。
对于y″+ay′+by=0，其特征方程为r²+ar+b=0。
（2）解特征方程，求得特征根。
设特征根为r₁和r₂，则特征方程的解为r₁和r₂。
根的个数和重根的情况会影响方程的解形式。
（3）根据特征根求解原方程的解。
当r₁和r₂为不同的实根时，原方程的通解可以表示为y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)，其中C₁和C₂为常数。
当r₁和r₂为不同的复数根时，通解可以表示为y=e^(αx)(C₁cos(βx)+C₂sin(βx))，其中α为实部，β为虚部。
2. 代入法代入法也是一种常用的求解常系数齐次线性方程的方法。
具体步骤如下：（1）设定未知函数的形式。
根据方程的阶数，设定未知函数的形式，如y=e^(mx)。
（2）将未知函数及其导数带入微分方程，消去常数，得到相应的代数方程。
（3）解代数方程，得到未知函数的表达式。
根据代数方程的解，确定未知函数的形式。
（4）确定未知函数的常数。
根据给定的初始条件，确定未知函数中的常数值。
3. 傅里叶级数法对于特定的边界条件，常系数齐次线性方程还可以通过傅里叶级数法进行求解。
该方法主要适用于周期性边界条件的问题。
三、实例分析为了更好地理解求解常系数齐次线性方程的方法，我们来看一个具体的实例。
例题：求解方程y″+3y′+2y=0.解法：首先写出特征方程r²+3r+2=0，解得特征根r₁=-1，r₂=-2.特征根不相等，所以方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(-2x)。
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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常微分方程中的常系数线性方程及其解法
常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。
常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。
本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。
一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。
一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。
n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。
二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。
具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。
则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
常微分方程4.4常系数齐线性方程组
目录
• 常系数齐线性方程组的定义 • 常系数齐线性方程组的解法 • 常系数齐线性方程组的应用 • 常系数齐线性方程组的扩展
01
常系数齐线性方程组的 定义
定义与特性
定义
常系数齐线性方程组是由n个一阶常微分方程组成的方程组，形如$y' = f(x) = a_{1}y + a_{2}y' + ldots + a_{n}y^{(n-1)}$，其中$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n} FOR WATCHING
感谢您的观看
02
常系数齐线性方程组的 解法
特征值与特征向量
特征值
对于常系数齐线性方程组，其特征值是方程组的解，对应于特征值的线性无关的解称为特征向量。
特征向量的求解
通过将特征值代入方程组，可以得到特征向量。
方程组的解法
代数解法
通过对方程组进行代数运算，求解出方 程组的解。
VS
微分方程解法
通过对方程组进行微分运算，求解出方程 组的解。
04
常系数齐线性方程组的 扩展
高阶线性方程组
01
高阶线性方程组是指微分方程中未知数的导数次数 高于一次的方程组。
02
高阶线性方程组在物理、工程和经济学等领域有广 泛应用。
03
解决高阶线性方程组的方法包括分离变量法、幂级 数法等。
非线性方程组
01 非线性方程组是指微分方程中包含未知数及其导 数的非线性项的方程组。
解的稳定性与不稳定性
要点一
稳定性
当方程组的解在时间变化过程中保持稳定时，称为稳定。
要点二
不稳定性
当方程组的解在时间变化过程中发生振荡或发散时，称为 不稳定。
常系数线性微分方程的解法
(4.2)的解.
定理4.2.2 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复
数z(t)=(t)+i (t)与它对应,则称z(t)是定义在实值
区间[a, b]上的一个复值函数.
例1：求方程
d3 dt
x
3
d2x dt 2
2x
0的一个基本解组。
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l(k 2l n)个复根
为代数方程
F n a1 n1 ... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式； 称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程； 称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数线性微分方程的求解
2(#
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.
! 11（+））］*（$&1"）+那么右端为：5*（4（+））%［0（+）./0"+&1（+）012"+］*$+所以#%%&1"， 32+.(2 2(#
%0（+）(11（+），仍是求如（4）的特解。如果由方程（4）求得的特解为"*（+），对应的方程（3）的特解
是："（+）%5*（"*（+）*（$&1"）+）。
" %（7’./0!+&7!012!+）*+&5*（"*）
%（7’./0!+&7!012!+）*+&’+,［!（(+&’）./0!+&（$+&)）012!+］*+。
（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
a t b上连续的向量函数;
若f (t) 0,则对应齐线性微分方程组为
dx Ax, dt
(5.33)
本节主要讨论(5.33的基解矩阵的求法.
( E
A)u
5i
5
5
5i
u1 u2
0
解得
u
1 i
,
0.
对特征根2 3 5i的特征向量v (v1, v2 )T 满足
(
E
A)u
5i
5
5 5i
v1 v2
0
解得
v
i 1
常系数线性方程组
3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9 矩阵
(t) exp At 是(5.33)的基解矩阵,且 (0) E.
证明: 当t 0时,由exp At定义知 (0) E;
又因为 '(t) (exp At)'
A A2 t A3 t2 Am tm1
1! 2!
(m 1)!
A(E At A2 t2 Am tm ) Aexp At A(t),
2!
m!
故(t) exp At是基解矩阵
常系数线性方程组
例1 如果A是一个对角矩阵
a1
A
a2
an
试求出x' Ax的基解矩阵.
解 由(5.34)得
因et 0,上式变为
(E A)c 0,
(5.44)
常系数线性方程组
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(E A) 0,
结论 微分方程组(5.33)有非零解(t) etc的充要条件是
是矩阵A的特征根, c是与对应的特征向量.
即 (t) et为(5.33)解 (E A)c 0,有非零解
0
解得
c
1 1
,
0,
是对应于特征根 3的特征向量
常系数线性方程组
2 基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法
(1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时
定理10 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量
常系数线性方程组
一、矩阵指数expAt的定义和求法
1 expAt的定义
定义 设A为n n常数矩阵,则定义矩阵指数
expA为下列矩阵级数的和
exp A Ak E A A2 Am
k1 k !
2!
m!
(5.34)
其中E为单位矩阵, Am为A的m次幂, A0 E,0! 1.
,
e
Jnt
常系数线性方程组
二 基解矩阵的计算公式
1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系
类似第四章4.2.2,寻求
x' Ax,
形如 (t) etc, c 0,
(5.33) (5.43)
的解, 其中常数和向量c是待定的.
将(5.43)代入(5.33)得
etc Aetc,
常系数线性方程组
(2) 基解矩阵的一种求法
对n阶矩阵A设 A T 1JT
其中T为奇异矩阵, J为Jordan矩阵.
则 eAt T 1eJtT.
其中 J1
J
J2
e J1t
, eJt
eJ2t
J
n
注1: 由eAtT 1 T 1eJt知,T 1eJt也是基解矩阵.
a1
exp At E
a2
t 1!
a12
a22
an
常系数线性方程组
t
2
2!
an2
a1m
a2m
ea1t
tm
ea2t
m!
anm
eant
注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的.
由于
Ak
Ak ,
k! k!
而数项级数
Ak
k1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
注2: 级数
exp At Ak tk E At A2 t2 Am tm
k1 k !
2!
m!
在t的任何有限区间上是;
2 0
1 2
x的基解矩阵.
解 因为
2 1 2 0 0 1 A 0 2 0 2 0 0
而后面两个矩阵是可交换的
常系数线性方程组
2 0
0 2
2E,
0 0
12 0 0 0
0 0 ,
故
2 0
0 1
exp At exp(0 2 t) exp(0 0 t)
e2t
0
0 0
e2t
{E
0
1 0 0 t 0
12 0
t2 2!
}
e2t
0
0
e2t
1 0
t 1
e2t
1 0
t 1
.