第十二章 常系数微分方程组的解法
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
高等数学第十二章第六讲 常系数齐次线性微分方程
特征根: r1 , r 2
(1) 当 r1 r 2 时, 通解为 y C 1 e
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 r1 r 2 时, 通解为 y (C 1 C 2 x ) e
r1 x
(3) 当 r1, 2 i 时, 通解为
y e x (C 1 cos x C 2 sin x)
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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第十二章
2 p 3. 当 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
1. 当 p 2 4 q 0 时, ②有两个相异实根
方程有两个线性无关的特解:
②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根. 则微分
因此方程的通解为
y C1 e
r1 x
C2 e
r2 x
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第十二章
2 p 2. 当 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
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第十二章
.
例1 求方程 y 3 y 2 y 0 的通解.
2 r 解: 特征方程 3 r 2 0, 特征根: r 1 , r 2 ,
1 2
因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 4r 1 0
2
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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微分方程常系数与特解
微分方程常系数与特解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了函数之间的关系。
其中，常系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在整个方程中都是常数。
本文将介绍常系数微分方程的基本概念和求解方法，并讨论特解的概念和求解方法。
一、常系数微分方程的概念常系数微分方程是指方程中的系数都是常数的微分方程。
一般形式可以表示为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = f(x)\]其中，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0$都是常数，$f(x)$是已知函数。
二、常系数微分方程的求解对于常系数微分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
首先，我们假设$y=e^{rx}$是方程的一个解，其中$r$是常数。
将$y=e^{rx}$代入微分方程，得到：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1} e^{rx} + \dots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$的指数和系数都是常数，所以可以整理得到：\[(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$是一个非零函数，所以上述方程成立的前提是：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到一系列的根$r_1, r_2, \dots, r_n$。
接下来，我们可以将这些根代入$y=e^{rx}$，得到方程的一组基本解，即：\[y_1=e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x}, \dots , y_n = e^{r_n x}\]这些基本解是方程的通解的一部分。
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
常系数微分方程通解
广东省佛山市高三毕业班语文综合测试（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共1题；共6分)1. （6分） (2020高三上·芜湖期末) 阅读下面的文字，完成下面小题。
宜兴手工紫砂陶技艺是指分布于江苏省宜兴市丁蜀镇的一种民间传统制陶技艺，迄今已有600年以上的历史。
紫砂陶制作技艺，每件紫砂陶制品都是以特产于宜兴的一种具有特殊团粒结构和双重气孔结构的紫砂泥料为原料，采用百种以上的自制工具，经过的步骤制作完成的。
用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
紫砂器内外一般均不施釉，以纯天然质地和肌理为美。
作为上品茶具，（），因此紫砂器与中国传统的茶文化相契合，成为茶文化的重要组成部分。
代表性的陶刻是由诗文、金石、书画等艺术与紫砂制作技艺完美结合而成的，符合中华民族传统的审美标准，尤与文人阶层的审美情趣相___________。
但由于紫砂制陶的原料是一种稀缺矿产资源，目前已被过度开发和滥用，加之紫砂制陶精品越来越少，如何这一优秀的民间手工技艺已成为一个亟待解决的课题。
（1）依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A . 独一无二繁冗融合传承B . 独占鳌头繁冗契合继承C . 独占鳌头繁复融合继承D . 独一无二繁复契合传承（2）下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（）A . 有良好的透气性，能使人尽享茶之色香味B . 其良好的透气性能使人尽享茶之色香味C . 其透气性良好，茶之色香味能使人尽享D . 它能使人尽享茶之色香味，透气性良好（3）文中画线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A . 宜兴紫砂陶用这种技艺制作的成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
B . 用这种技艺制作的宜兴紫砂陶成品，大多是以茗壶为代表性物件，其制器物件拥有光器、筋纹器和花器等不同的造型。
2.2线性常系数微分方程的解法
16
dnx d n 1 x dx （1） a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （3）
类似地，假设方程（3）的其他根 2 , 3 ,m 的重数依次为 k2 , k3 ,km ;
2.2常系数线性方程的解法
在上一节中我们讨论了线性方程通解的 结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出， 对一般的线性方程没有普遍的解法， 但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，
可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数
齐次方程通解的解法。
1
一
复值函数
如果 (t ) 和 (t ) 是区间(a,b)上定义的实函数， 称 z (t ) (t ) i (t )为该区间上(a,b)的复值函数 . 1 连续 如果实函数 (t ) 和 (t ) 在区间(a,b)上 连续,
3
3
欧拉公式
1) 复指函数与欧拉公式
e t e( i )t e t ei t
2 3 ( i t ) ( i t ) 其中 e 1 i t 2! 3! ( t ) 2 ( t ) 4 ( t )3 ( t )5 [1 ] i[ t ] 2! 4! 3! 5! i t e cos t i sin t cos t i sin t
15
dnx d n 1 x dx （ 1 ） a a a x 0 1 n 1 n dt n dt n1 dt F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （3） 1t （2）若 1 0 ,作变换 x ye ,代入方程： n n d y d y 1t L[ ye ] ( n b1 n bn y)e1t L1[ y ]e1t （6） dt dt n n 1 d y d y dy L1[ y ] n b1 n 1 bn1 bn y 0 （7） dt dt dt 特征方程： G( ) n b1 n1 bn1 bn 0（8）
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
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１． 从方程组中消去一些未ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy (1) dx 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
常系数线性微分 方程组的解法
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组． 注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
二、常系数线性微分方程组的解法
解得特征根为
r1, 2
1 5 , r3,4 i 2
5 1 , 2
易求一个特解 y e t , 于是通解为
y C1e t C2e t C3 cos t C4 sint e t .
将(６)代入(３)得
(６)
x 3C1e t 3C2e t 3C3 cos t 3C4 sint 2e t .
(5)
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x . (6) 再把(5)代入(3)式, 得 2
原方程组的通解为
1 y ( 2C1 C 2 2C 2 x )e x 2 , z (C C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时 ，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两 次积分后出现的任意常数间的关系．
方程组通解为
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3 t C4 sin t 2e t t t y C1e C 2e C 3 cos t C4 sin t e
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz 2 , 两边求导得， dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
解之得通解 z (C1 C2 x )e x ,
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) ( 2) D : ( 2) ( 3) D :
x D3 y e t ,
( D4 D2 1) y De t .
4 2 t
(３)
(４)
(５)
即
( D D 1) y e
非齐线性方程
其特征方程为 r 4 r 2 1 0
例如， y
(n)
a1 y ( n1) an1 y an y f ( x )
n 1
用记号 D 可表示为
( D a1 D
n
a n 1 D a n ) y f ( x )
注意:
D n a1 D n1 an1 D an 是 D 的多项式
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy x et dt 2 dt 例2 解微分方程组 d 2 y dx dt 2 dt y 0. d 解 用记号D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１) ( D 1) x Dy e 2 (２) Dx ( D 1) y 0