(完整版)高中数学 必修二 立体几何常考证明题汇总,推荐文档

新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点ABCD ,,,E F G H ,,,AB BC CD DA （1）求证：EFGH 是平行四边形（2）若BD=，AC=2，EG=2。

求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD所成的角。

证明：在中，∵分别是的中点∴ABD ∆,E H ,AB AD 1//,2EH BD EH BD =同理，∴∴四边形是平行四边形。

1//,2FG BD FG BD =//,EH FG EH FG =EFGH (2) 90° 30 °考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形中，，是的中点。

ABCD ,BC AC AD BD ==E AB 求证：（1）平面CDE;⊥AB （2）平面平面。

CDE ⊥ABC 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵ ∴平面CE DE E ⋂=AB ⊥CDE（2）由（1）有平面AB ⊥CDE又∵平面， ∴平面平面AB ⊆ABC CDE ⊥ABC考点：线面垂直，面面垂直的判定DCB3、如图，在正方体中，是的中点，1111ABCD A B C D -E 1AA 求证： 平面。

1//A C BDE 证明：连接交于，连接，AC BD O EO ∵为的中点，为的中点E 1AA O AC ∴为三角形的中位线 ∴EO 1A AC 1//EO A C又在平面内，在平面外EO BDE 1A C BDE ∴平面。

1//A C BDE 考点：线面平行的判定4、已知中,面,,求证：面．ABC ∆90ACB ∠= SA ⊥ABC AD SC ⊥AD ⊥SBC 证明：°90ACB ∠=∵BC AC ∴⊥又面 SA ⊥ABC SA BC ∴⊥面 BC ∴⊥SACBC AD ∴⊥又面,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥SBC 考点：线面垂直的判定5、已知正方体，是底对角线的交点.1111ABCD A B C D -O ABCD 求证：(１) C 1O ∥面；(2)面． 11AB D 1AC ⊥11AB D 证明：（1）连结，设，连结11A C 11111A C B D O ⋂=1AO ∵ 是正方体 是平行四边形1111ABCD A B C D -11A ACC ∴∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC =又分别是的中点，∴O 1C 1∥AO 且1,O O 11,A C AC 11O C AO =是平行四边形 11AOC O ∴面，面 ∴C 1O ∥面 111,C O AO AO ∴⊂∥11AB D 1C O ⊄11AB D 11AB D （2）面 1CC ⊥ 1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又， 1111A C B D ⊥∵1111B D AC C ∴⊥面111AC B D ⊥即同理可证， 又11A C AD ⊥1111D B AD D ⋂=面∴1A C ⊥11AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定1S D C BA D 1ODB AC 1B 1A 1CN MPCBA 6、正方体中，求证：（1）；（2）.''''ABCD A B C D -''AC B D DB ⊥平面''BD ACB ⊥平面考点：线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD ，又BD ⊄平面B 1D 1C ，B 1D 1平面B 1D 1C ，⊂∴BD ∥平面B 1D 1C ．同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴平面EB 1D 1∥平面FBD ．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体中，分别为的中点，且，ABCD ,,AC BD E F=,AD BC EF AC =，求证：平面90BDC ∠= BD ⊥ACD 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴CD G ,EG FG ,E F ,AD BC EG 12//AC =，又∴，∴在中，12//FG BD =,AC BD =12FG AC =EFG ∆222212EG FG AC EF +==∴，∴，又，即，EG FG ⊥BD AC ⊥90BDC ∠= BD CD ⊥AC CD C⋂=∴平面BD ⊥ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，P ABC ∆,PA PB CB =⊥PAB M PC 是N 上的点，AB 3AN NB =A1（1）求证：；（2）当，时，求的长。

MN AB ⊥90APB ∠= 24AB BC ==MN 证明：（1）取的中点，连结，∵是的中点，PA Q ,MQ NQ M PB ∴，∵ 平面 ，∴ 平面//MQ BC CB ⊥PAB MQ ⊥PAB ∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又QN MN PAB AB D PD ,PA PB =PD AB ⊥，∴3AN NB =BN ND=∴，∴，由三垂线定理得//QN PD QN AB ⊥MN AB⊥（2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且90APB ∠= ,PA PB =122PD AB ==1QN =MQ ⊥PAB MQ NQ ⊥，∴112MQ BC ==MN =考点：三垂线定理10、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面1111ABCD A B C D -E F G AB AD 11C D ∥平面.1D EF BDG 证明：∵、分别是、的中点，∥E F AB AD ∴EF BD又平面，平面∥平面EF ⊄BDG BD ⊂BDG ∴EF BDG∵四边形为平行四边形，∥1D G EB ∴1D GBE 1D E GB又平面，平面∥平面1D E ⊄BDG GB ⊂BDG ∴1D E BDG，平面∥平面1EF D E E ⋂=∴1D EF BDG考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体中，是的中点.1111ABCD A B C D -E 1AA （1）求证：平面；1//A C BDE （2）求证：平面平面.1A AC ⊥BDE 证明：（1）设，AC BD O ⋂=∵、分别是、的中点，∥E O 1AA AC ∴1A C EO又平面，平面，∥平面1A C ⊄BDE EO ⊂BDE ∴1A C BDE（2）∵平面，平面，1AA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD⊥又，，平面，平面，平面平面BD AC ⊥1AC AA A ⋂=∴BD ⊥1A AC BD ⊂BDE ∴BDE ⊥1A AC 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定12、已知是矩形，平面，，，ABCD PA ⊥ABCD 2AB =4PA AD ==为的中点．E BC （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．DE ⊥PAE DP PAE 证明：在中，，ADE ∆222AD AE DE =+∴AE DE ⊥∵平面，平面，PA ⊥ABCD DE ⊂ABCD ∴PA DE⊥又，平面PA AE A ⋂=∴DE ⊥PAE（2）为与平面所成的角DPE ∠DP PAE在，，在中，Rt PAD ∆PD =Rt DCE ∆DE =在中，，Rt DEP ∆2PD DE =∴030DPE ∠=考点：线面垂直的判定,构造直角三角形13、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角P ABCD -ABCD 060DAB ∠=a PAD 形，且平面垂直于底面．PAD ABCD（1）若为的中点，求证：平面；G AD BG ⊥PAD （2）求证：；AD PB ⊥（3）求二面角的大小．A BC P --证明：（1）为等边三角形且为的中点，ABD ∆G AD ∴BG AD⊥又平面平面，平面PAD ⊥ABCD ∴BG ⊥PAD（2）是等边三角形且为的中点，PAD G AD ∴AD PG⊥且，，平面，AD BG ⊥PG BG G ⋂=∴AD ⊥PBG 平面，PB ⊂PBG ∴AD PB⊥（3）由，∥，AD PB ⊥AD BC ∴BC PB⊥又，∥，BG AD ⊥AD BC ∴BG BC⊥为二面角的平面角∴PBG ∠A BC P --在中，，Rt PBG ∆PG BG =∴045PBG ∠=考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体中，为 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：平面MBD ．1111ABCD A B C D -M 1CC 1A O ⊥证明：连结MO ，，∵DB ⊥，DB ⊥AC ，，1A M 1A A 1A A AC A ⋂=∴DB ⊥平面，而平面 ∴DB ⊥．11A ACC 1A O ⊂11A ACC 1A O 设正方体棱长为，则，．a 22132A O a =2234MO a =在Rt △中，．∵，∴11A C M 22194A M a =22211A O MO A M +=．1A O OM ⊥∵OM ∩DB =O ，∴ ⊥平面MBD ．1A O 考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ．∵，∴．AC BC =CF AB ⊥ ∵，∴．AD BD =DF AB ⊥ 又，∴平面CDF ．CF DF F = AB ⊥∵平面CDF ，∴．CD ⊂CD AB ⊥ 又，，　CD BE ⊥BE AB B ⋂= ∴平面ABE ，．CD ⊥CD AH ⊥ ∵，，，AH CD ⊥AH BE ⊥CD BE E ⋂=∴ 平面BCD ．AH ⊥考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结AC ∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影BD AC ∵⊥∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A C A C BC A C BC D 11111同理可证平面考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．证明∵SB=SA=SC ，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ，连AO 、SO ，则AO ⊥BC ，SO ⊥BC ，∴∠AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a ，又∠BSC=90°，∴BC=2a ，SO=22a ，AO 2=AC 2－OC 2=a 2－21a 2=21a 2，∴SA 2=AO 2+OS 2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC ⊥平面BSC ．考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）。