4.2常系数线性微分方程的解法
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常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
第四章__§4.2_常系数线性微分方程的解法.
§4.2 常系数线性微分方程的解法
一 复值函数与复值解
二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍 求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明： 一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0
一 复值函数与复值解
二 常系数齐次方程与欧拉方程 三 非齐线性方程与比较系数法 四 质点振动（了解）
一、复值函数与复值解
1、复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
要求方程的通解，只需求它的基本解组，以下介绍 求基本解组的Euler待定指数函数法（特征根法）. 说明： 一阶常系数齐线性方程
x ax 0 有通解 x ce ; t 有通解 x x 0 x ce .
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解：
其中，是待定常数, 可实也可复.
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
若 (t )与 (t )在a t b上可微, 则称z (t )在 a t b上可微, 且z (t )的导数为
z ' (t ) ' (t ) i ' (t )
复值函数的求导法则与实函数求导法则相同
e 2 t e n t
易证，解组（4.22）的n个解线性无关。事实上：
e 1t
W [e , e ,, e ]
1t 2t nt
1e
1t
2 e
2 t
n e
n t
n 1 1t 1 e
1 2t n 1 n t n e 2 n e
1
把它代入方程(4.19)得
xe ,
t
(4.20)
L[e ] ( a1
n
t
n1
an1 an )e 0
常微分方程课件：4_2常系数齐次线性微分方程的解法
█ 常系数齐次线性微分方程
本节先讨论aj(t)= aj(1≤ j ≤n)时的方程 L[x]=0 … … (1)
下面介绍求它的基本解组的一个经典方法-Euler待定指数函数法(特征根法).
试求形如x=eλt的解,λ∈C为待定常数.将 x=eλt代入L[x]=0得 L[eλt]=(λn+a1λn-1+…+an-1λ+an)eλt=0. 显然,x=eλt是(1)的解等价于F(λ)≡ λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0.
]
(dn y dtn
b1
dn1 y d t n1
b n1
dy dt
bn y)e1t
L1[ y]e1t .
因此方程(1)可化为 L1[y]=0 … … (2) bj仍为常数,而相应的特征方程是
G(μ)≡ μ n+b1 μ n-1+…+bn-1 μ +bn=0.
的复值解. 性质
定理1 设a1(t),…,an(t)均为实函数,z(t)=
φ(t)+iψ(t)是(4.2)的复值解,那么Re{z(t)}=
φ(t),Im{z(t)}=ψ(t)及 z(t)=φ(t)-iψ(t)都
是(4.2)的解.
定理2 设x=z(t)=φ(t)+iψ(t)是 L[x]=u(t)+iv(t)的复值解,u(t),v(t), aj(t) (j=1,2,…n)均为实函数,那么 x=Re{z(t)}=φ(t) 是L[x]=u(t)的解, x=Im{z(t)}=ψ(t)是L[x]=v(t)的解.
ekt≡e αt(cos β t+isin βt).
(或者用 ekt (kt)n 来定义)
常微分方程4.2
（4.23） 其中仍为常数，而相应的特征方程为
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
（4.24） 直接计算易得 因此 从而 ，
可见（4.21）的根对应于（4.24）的根，而且重数相同。这样，问题就 化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的重根对应于方程 （4.23）的个解，因而对应于特征方程（4.21）的重根，方程（4.19） 有个解：
在讨论常系数线性方程时，函数将起着重要的作用，这里是复值常
数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设是任一复数，这里是实数，而为实变量，我们定义
有上述定义立即推得
并且用表示复数的共轭复数。
此外，还可容易证明函数具有下面的重要性质：
，其中为实变量
由此可见，实变量的复值函数的求导公式与实变量的实值函数的求
例1 求方程的通解；
解 特征方程的根为，，，。有两个实根和两个复根，均是单根，故方
程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程。
解 特征方程有根，，因此，通解为
其中为任意常数。
例3 求方程的通解。
解 特征方程，或，即是三重根，因此方程的通解具有形状
其中为任意常数。
例4 求解方程。
解
特征方程为，或，即特征根是重根。因此，方程有四个实值解
（4.32） 的求解问题，这里是常数，而为连续函数。 （一）比较系数法 类型Ⅰ
设，其中及为实常数，那么方程（4.32）有形如 （4.33）
的特解，其中为特征方程的根的重数（单根相当于；当不是特征根时， 取），而是待定的常数，可以通过比较系数来确定。 （1）如果，则此时 现在再分两种情形讨论。 1）在不是特征根的情形，即，因而，这时，取，以代入方程 （4.32），并比较的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：
4.2常系数线性微分方程的解法
4.2 常系数线性微分方程的解法
回忆
齐次线性微分方程
d nx d n 1 x a1 ( x) n 1 an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt
非齐次线性微分方程
d nx d n1x a1( x) n1 n dt dt
an (t ) x 0
因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解
决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一
般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方 程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求
解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化
为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方 程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特
z (t ) z (t 0 ) 如果 lim 极限存在，就称z(t)在 t 0 点有导数（可微）, t t0 t t0
dz(t 0 ) 且记此极限为 或者 z(t0 ) 。 dt
显然 z (t )在 t 0 处有导数相当于 (t ) ,(t ) 在 t 0 处有导数，且
dz(t 0 ) d(t 0 ) d(t 0 ) i dt dt dt
e1 t , e2 t ,
, en t (4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程 （4.19）的基本解组。于是有
如果 i (i 1,2,, n) 均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个 线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为
x c1e c2e cn e
讨论 1 0 把这种情况通过变换 x ye1t 化为第一种情况。
回忆
齐次线性微分方程
d nx d n 1 x a1 ( x) n 1 an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt
非齐次线性微分方程
d nx d n1x a1( x) n1 n dt dt
an (t ) x 0
因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解
决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一
般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方 程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求
解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化
为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方 程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特
z (t ) z (t 0 ) 如果 lim 极限存在，就称z(t)在 t 0 点有导数（可微）, t t0 t t0
dz(t 0 ) 且记此极限为 或者 z(t0 ) 。 dt
显然 z (t )在 t 0 处有导数相当于 (t ) ,(t ) 在 t 0 处有导数，且
dz(t 0 ) d(t 0 ) d(t 0 ) i dt dt dt
e1 t , e2 t ,
, en t (4.22)
可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程 （4.19）的基本解组。于是有
如果 i (i 1,2,, n) 均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个 线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为
x c1e c2e cn e
讨论 1 0 把这种情况通过变换 x ye1t 化为第一种情况。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
常系数非齐次方程特解--比较系数、算子法
2t 2t
m
km
是（4.3）的线性无关的n个解。
15
1 i 方程的一个 k 重特征根 2 i 也是一个 k 重特征根
它们对应 2k 个线性无关的实解是
e
t
cos t , te
t
cos t , , t
k 1 t
e
cos t ,
e
t
中所有系数 ai ( t )( i 1, 2, , n) 都是实值函数，
而 x z( t ) ( t ) i ( t ) 是方程的复值解， 则 z( t ) 的实部 ( t )，虚部 ( t ) 和共轭复数函数
z ( t ) 也是方程（4.2）的解。
7
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) n dt dt dt 有复值解 x U ( t ) iV ( t ) ,这里 ai ( t )( i 1, 2, ..., n)
x z( t ) 满足方程
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
n n1
(4.1)
则称 x z( t )
为方程的一个复值解。
6
定理8
如果方程
(4.2)
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
4
F ( ) 1 0
4
1,2 1,
3,4 i
第二步：求出基本解组
m
km
是（4.3）的线性无关的n个解。
15
1 i 方程的一个 k 重特征根 2 i 也是一个 k 重特征根
它们对应 2k 个线性无关的实解是
e
t
cos t , te
t
cos t , , t
k 1 t
e
cos t ,
e
t
中所有系数 ai ( t )( i 1, 2, , n) 都是实值函数，
而 x z( t ) ( t ) i ( t ) 是方程的复值解， 则 z( t ) 的实部 ( t )，虚部 ( t ) 和共轭复数函数
z ( t ) 也是方程（4.2）的解。
7
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) n dt dt dt 有复值解 x U ( t ) iV ( t ) ,这里 ai ( t )( i 1, 2, ..., n)
x z( t ) 满足方程
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
n n1
(4.1)
则称 x z( t )
为方程的一个复值解。
6
定理8
如果方程
(4.2)
dnx d n1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt
4
F ( ) 1 0
4
1,2 1,
3,4 i
第二步：求出基本解组
同济大学高等数学§4.2(续)二阶常系数线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程特解的解法
自由项 f (x)
方程 aybycy f ( x) 的特解 y
ex pm ( x)
(1) 不是特征方程的根 (2) 是特征方程的单根
y Qm ( x)ex
y x Qm ( x)ex
(3) 是特征方程的重根 y x2 Qm ( x)ex
ex[Pm ( x)cosx Pn( x)sinx]
解：由方程的特解可知齐次方程对应的特征方程 的特征根为 r1,2 1 ，r3 1 ， 于是特征方程为(r1)2(r1)0 ，
即 r 3 r 2 r 10 ，
故三阶常系数齐次微分方程为 y y y y0 。
故应选（B）。
（三）二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
设二阶常系数线性齐次方程为ay by cy 0
即 r2(r2 2r5)0 ， 特征根为 r1,2 0 （2 重）；r3,4 12i 。
故方程的通解为 yC1C2 xe x (C3cos2xC4sin2x) 。
例 6．具有特解形式 y1e x ， y2 2xe x ， y3 3e x 的 三阶常系数齐次微分方程是（ ）
（A） y y y y0 ； （B） y y y y0 ； （C） y6 y11y6 y0 ； （D） y2 y y2 y0 。
方程②是一个一元 n 次方程，有 n 个根 。类似二阶常系 数线性齐次方程，相应地可得到方程①的 n 个线性无关 的解，把这 n 个 线 性 无 关的解分别乘以任意常数后相加， 即得方程①的通解。
特征方程的根 方程①通解中的对应项
单实根 r
给出一项 Cerx
k 重实根r
给出k 项 erx (C1 C2xCk xk1)
把 Qm ( x) 代入 ④ 式，比较等式两端x 同次幂 的系数， 就得到以 A , A1,,Am1, Am 作为未知数的m 1 个方程
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对共轭的出现.设1 i是一特征根,则2 i也是特征根,
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
dt
的解，且它的通解就是x ceat ,则对于方程（4.19）也去试求
指数函数形式的解x et .
其中是待定常数, 可以是实的, 也可以是复的.注意到
当z(t)在 区 间a t b上 每 一 点 都 连 续 时,就 称z(t)在 区 间
a t b上 连 续.
z(t)在t0可导可微
如果极限lim z(t) z(t0 )
记
为dz(t dt
0
)
或z
t t0
(t0 )
,
t dz(t)
dt
t
t
0 t0
.
存在, 就称z(t )在t 0 有导数（可微）
如果i (i 1,2, , n)均为实数,则（4.22）是方程（4.19）的n个
线性无关的实值解,而方程（4.19）的通解可表示为 x c1e1t c2e2t , ,cnent ,
其中c1, c2 , , cn为任意常数. 如 果 特 征 方 程 有 复 根, 则 因 方 程 的 系 数 是 实 常数, 复 根 也 将 成
相同，这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
显 然z(t)在t0有 导 数 相 当 于(t)和 (t)在t0有 导 数, 且
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0)
dt
dt
dt
如果z(t)在区间a t b上每点都有导数,就称z(t)在区间 a t b上有导数, 对于高阶导数可以类似的定义.
设z1(t), z2 (t)是定义在a t b上的可微函数, c是复值常数, 容易验证和差、常数倍、乘积的导数与实函相同.
（4.21）
的根，因此方程(4.21)将起着预示方程(4.19)的解的特性的作用.
称(4.21)为方程(4.19)的特征方程，它的根就称为特征根.
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论
（1）特征根是单根的情形 L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0 (4.19)
G() n b1 n1 bn1 bn 0
(4.23)
（4.24）
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
设1，2， ，n是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根,则
相应的方程（4.19）有如下n个解
e1t , e2t , , ent .
(4.22)
注意：这n个解在区间a t b上线性无关, 从而组成方程的
基本解组,这 时
e 1t
1e 1t
e n1 1t 1
e 2t
e nt
2 e 2t
n ent
§4.2 常系数线性微分方程的解法
4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a t b中的每一实数t，有复数
z(t) (t) i (t)
与它对应,其中(t)和 (t)是在区间a b上给定了一个复值函数z(t).
如
果
实
函
数
(t
方程（4.24）的k1重根1 0对应于方程(4.23)的k1个解y 1,t,t 2 ,
,t k11,因而对应于特征方程的k1重根1,方程（4.19）有k1个解.
x ye1t
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t
(4.25)
同样, 假设特征方程(4.21)的其它根2，3， ，m的重数依次为 k2，k3， ，km ; ki （1 单根i 相当于ki 1）, 且k1 k2 km n, i （j 当i j）则方程(4.19)对应的有解
例1 求方程 d 2 x 2 dx 3x 0的通解. dt 2 dt
例2 求方程 d 2 x x 0的通解. dt 2
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k重根 1,则有 F (1 ) F (1 ) F (k1) (1 ) 0, F (k) (1 ) 0
)和
(t
)当t趋t
时
0
有
极
限,
则
称
复
值
函
数z(t
)当
t趋t 0时 有 极 限, 并 且 定 义
lim z(t) lim (t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
如果
lim
t t0
z(t0 ) ,则 称z(t)在t0连 续
显 然, z(t)在t0连 续 相 当 于(t)和 (t)在t0连 续.
实函数，那么这个解的实部U (t)和虚部V (t)分别是方程
的解.
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)x u(t)
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
v(t)
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
实值函数，而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t)的实
部(t)、虚部 (t)和共轭复值函数z(t)也都是方程（4.2）的解.
定理9 若方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
u(t) iv(t)
有复值解x U (t) iV (t)，其中ai (t)(i 1,2 n)及u(t), v(t)都是
d[KeKt ] K deKt
dt
dt
下面引进线性微分方程复值解的定义.
定义于区间a t b上的实变量复值函数x z(t), 如果满足
d n z(t)
d n1 z(t)
dz(t)
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)z(t) f (t) (4.1)
10 先设1 0,即特征方程有因子k ,于是
an an1 ank1 0
也就是特征方程的形状为n a1n1 ank k 0
而对应的方程(4.19)变
dnx
d n1 x
dkx
dt n a1 dt n1 ank dt k 0
易见它有k个解 1,t,t 2 , ,t k1 ,而且它们是线性无关的,则特征
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
e
mt
,
t
e
mt
,
t
2
e
mt
,
, t km 1e mt
(4.26)
下面我们证明（4.25）和（4.26）全体n个解构成方程的基
本解组.
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t (4.25)
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
因 而 与 这 对 共 轭 复 数 对应 的, 方 程 （4.19） 有 两 个 复 值 解,
e(it) eat cos t i sin t e(it) eat cos t i sin t
再由定理8知方程（4.19）的两个实值解eat cos t, eat sin t.
少有一个系数不等于零, Pm (t) 0, 将恒等式（4.27）除以e1t ,然
m1 y (m1)
m(m 2!
1)
1
2
y
(m2)
1m y,
L[ ye1t ] ( d n y
dt n
b1
d n1 y dt n1
bn y)e1t
L1
y e1t
于是方程（4.19）化为
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
其 中b1, b2 , , bn仍 为 常 数,而 相 应 的 特 征 方 程 为
L(x)
d net dt n
a1
d n1et dt n1
an1
de t dt
anet
(n a1n1 a n1 an )et F ()et
其中F () (n a1n1 an1 an )是的n次多项式
易知x et为方程（4.19）的解的充要条件是是代数方程
F () (n a1n1 an1 an ) 0
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
一阶常系数齐次线性微分方程 dx ax 0,它有形如x eat
dt
的解，且它的通解就是x ceat ,则对于方程（4.19）也去试求
指数函数形式的解x et .
其中是待定常数, 可以是实的, 也可以是复的.注意到
当z(t)在 区 间a t b上 每 一 点 都 连 续 时,就 称z(t)在 区 间
a t b上 连 续.
z(t)在t0可导可微
如果极限lim z(t) z(t0 )
记
为dz(t dt
0
)
或z
t t0
(t0 )
,
t dz(t)
dt
t
t
0 t0
.
存在, 就称z(t )在t 0 有导数（可微）
如果i (i 1,2, , n)均为实数,则（4.22）是方程（4.19）的n个
线性无关的实值解,而方程（4.19）的通解可表示为 x c1e1t c2e2t , ,cnent ,
其中c1, c2 , , cn为任意常数. 如 果 特 征 方 程 有 复 根, 则 因 方 程 的 系 数 是 实 常数, 复 根 也 将 成
相同，这样问题就化为前面已经讨论过的情形了.
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
显 然z(t)在t0有 导 数 相 当 于(t)和 (t)在t0有 导 数, 且
dz(t0 ) d(t0 ) i d (t0)
dt
dt
dt
如果z(t)在区间a t b上每点都有导数,就称z(t)在区间 a t b上有导数, 对于高阶导数可以类似的定义.
设z1(t), z2 (t)是定义在a t b上的可微函数, c是复值常数, 容易验证和差、常数倍、乘积的导数与实函相同.
（4.21）
的根，因此方程(4.21)将起着预示方程(4.19)的解的特性的作用.
称(4.21)为方程(4.19)的特征方程，它的根就称为特征根.
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论
（1）特征根是单根的情形 L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0 (4.19)
G() n b1 n1 bn1 bn 0
(4.23)
（4.24）
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
L1[ y]
dny dt n
b1
d n1 y dt n1
bn1
dy dt
bn y
0
(4.23)
F () (n a1n1 an1 an ) 0（4.21） G() n b1 n1 bn1 bn 0（4.24）
设1，2， ，n是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根,则
相应的方程（4.19）有如下n个解
e1t , e2t , , ent .
(4.22)
注意：这n个解在区间a t b上线性无关, 从而组成方程的
基本解组,这 时
e 1t
1e 1t
e n1 1t 1
e 2t
e nt
2 e 2t
n ent
§4.2 常系数线性微分方程的解法
4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a t b中的每一实数t，有复数
z(t) (t) i (t)
与它对应,其中(t)和 (t)是在区间a b上给定了一个复值函数z(t).
如
果
实
函
数
(t
方程（4.24）的k1重根1 0对应于方程(4.23)的k1个解y 1,t,t 2 ,
,t k11,因而对应于特征方程的k1重根1,方程（4.19）有k1个解.
x ye1t
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t
(4.25)
同样, 假设特征方程(4.21)的其它根2，3， ，m的重数依次为 k2，k3， ，km ; ki （1 单根i 相当于ki 1）, 且k1 k2 km n, i （j 当i j）则方程(4.19)对应的有解
例1 求方程 d 2 x 2 dx 3x 0的通解. dt 2 dt
例2 求方程 d 2 x x 0的通解. dt 2
L(x)
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1
an1
dx dt
an x
0
(4.19)
(2)特征根有重根的情形
设特征方程有k重根 1,则有 F (1 ) F (1 ) F (k1) (1 ) 0, F (k) (1 ) 0
)和
(t
)当t趋t
时
0
有
极
限,
则
称
复
值
函
数z(t
)当
t趋t 0时 有 极 限, 并 且 定 义
lim z(t) lim (t) i lim (t)
t t0
t t0
t t0
如果
lim
t t0
z(t0 ) ,则 称z(t)在t0连 续
显 然, z(t)在t0连 续 相 当 于(t)和 (t)在t0连 续.
实函数，那么这个解的实部U (t)和虚部V (t)分别是方程
的解.
dnx
d n1 x
dx
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)x u(t)
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
v(t)
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
实值函数，而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t)的实
部(t)、虚部 (t)和共轭复值函数z(t)也都是方程（4.2）的解.
定理9 若方程
dnx dt n
a1
(t
)
d n1 x dt n1
an1
(t
)
dx dt
an (t)x
u(t) iv(t)
有复值解x U (t) iV (t)，其中ai (t)(i 1,2 n)及u(t), v(t)都是
d[KeKt ] K deKt
dt
dt
下面引进线性微分方程复值解的定义.
定义于区间a t b上的实变量复值函数x z(t), 如果满足
d n z(t)
d n1 z(t)
dz(t)
dt n a1 (t) dt n1 an1 (t) dt an (t)z(t) f (t) (4.1)
10 先设1 0,即特征方程有因子k ,于是
an an1 ank1 0
也就是特征方程的形状为n a1n1 ank k 0
而对应的方程(4.19)变
dnx
d n1 x
dkx
dt n a1 dt n1 ank dt k 0
易见它有k个解 1,t,t 2 , ,t k1 ,而且它们是线性无关的,则特征
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t
e
mt
,
t
e
mt
,
t
2
e
mt
,
, t km 1e mt
(4.26)
下面我们证明（4.25）和（4.26）全体n个解构成方程的基
本解组.
e1t , te1t , t 2e1t , , t k11e1t (4.25)
e2t , te2t , t 2e2t , , t k2 1e2t