常系数线性微分方程的解法
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§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t ,有复 数z(t )=(t )+i (t )与它对应, 则称z(t )是定义在实值 区间[a, b]上的一个复值函数.
则方程(1)可简记为L[ x] f ( x )，而它所对应的齐线性方程可 记为L[ x] 0。
一、常系数齐线性微分方程的 解法
I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形
定理1：函数x e 为方程L[ x] 0的解当且仅当＝０ 为代数方程
i t
F a1
3 2
特征方程的根为
k1 0, k2 1, k3 3.
3t
所以所求方程的通解为
Y C1 C2e C3e
t
C2 C1 C3 x 3 . x
欧拉方程解法思路
变系数的线性 微分方程 变量代换
x e t 或 t ln x
常系数的线性微 分方程
注意：欧拉方程的形式．
dnx d n 1 x dx a1 n1 ... an1 an x f (t )， n dt dt dt (1)
其中ai (i 1, 2,..., n)都是常数。特别地，如果方程中的非齐次 项f ( x ) 0，则称它为n阶常系数齐线性微分方程。如果令
dnx d n 1 x dx L[ x ] n a1 n1 ... an1 an x， dt dt dt
1 t
sin i t , te
1 t
in i t，...，t
kr 1 i t
e
sin i t，
为L[ x] 0的一个实值基本解组。
一、欧拉方程
形如
xn y( n) p1 xn1 y( n1)
pn1 xy pn y f ( x ) (4.29)
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
定理4.2.2 设方程
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) dt
有复值解x U (t ) iV (t ), 这里ai (t ), u(t ), v (t )都是实 函数, 那么这解的实部U (t )和虚部V (t )分别是方程
d4x d2x 例2：求方程 4 2 2 x 0的一个基本解组。 dt dt
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
1 结果2 ：如果L[ x ] 0的特征方程F a1 ... an 0 2 有r个互异的实根1，2，...,r , 重次分别为k1，k2，...,kr
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ...,
则
il l i l , il l i l
e 1t，e 2 t , ..., e i t , e1t cos 1t，e1t sin 1t，...，e i t cos i t，e i t sin i t
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或ห้องสมุดไป่ตู้t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
d3x d2x 例1：求方程 3 2 2 x 0的一个基本解组。 dt dt
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x ] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l ( k 2l n)个复根
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy Dy,
2 d y dy 2 2 x y 2 ( D D ) y D( D 1) y , dt dt
3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
k (k ) x y D( D 1)( D k 1) y. 一般地，
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程.
dn y d n 1 y b1 n1 dt dt
dy bn1 bn y 0 dt
(4.30)
如果(4.30)有形如y e t的解, 则方程(4.29)有形如 y x K的解,因此可以直接求欧拉方程形如y x K 的解.以y x K 代入(4.29)并约去因子x K , 就得到确 定K的代数方程
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换
x e t 或 t ln x,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d 2 y 1 d 2 y dy 2 2 , 2 dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 3 3 3 2 2 , 3 dx x dt dt dt
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i 是任一复数, 定义
e e (cos t i sin t )
Kt
t
则有
1 i t 1 i t i t cos t (e e ),sin t (e e i t ) 2 2i
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
2．x y 2 xy 2 y ln x 2 ln x;
2 2 2 2 3．x y 3 xy 4 y x x ln x .
练习题答案
C2 1．y C1 . x 1 2 1 2．y C1 x C 2 x (ln x ln x ) . 2 4 1 2 3 2 2 3．y C1 x C 2 x ln x x x ln x . 6
n
n1
... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式；
称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程；
称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
的解.
如果n阶线性微分方程 dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 ... an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
中的系数a1 (t )(t 1, 2,..., n)都是常数，则称它们为n阶常系数 线性微分方程，即
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
为L[ x] 0的一个实值基本解组。
II: 特征根有重根的情形
结果2：如果L[ x ] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有m个互异的实根1，2，...,m , (1，2，...,m中可能有 一些是复数)，重次分别为k1，k2，...,km ( k1 +k2 +...+km n),
e 1t，te 1t , ..., t k1 t e 1t , e 2 t，te 2 t , ..., t k2 t e 2 t , .................. e ，te , ..., t
r t r t
kr t
e ,
r t
e1t cos 1 t，te1t cos 1t，...，t kr 1e i t cos 1t， e1t sin 1 t , te1t sin 1t，...，t kr 1e i t sin 1t， ..................................., e1t cos i t , te1t cos i t，...，t kr 1e i t cos i t， e
于是，为求L[ x] 0的形式为x ei t 解，只须求特征方程
F n a1 n1 ... an 0的根即可。
下面根据特征根是单根还是重根，分两种情况讨论。
I: 特征根是单根的情形
结果1：
如果L[ x ] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有n个互异的根1，2，...,n (1，2，...,n中可能有一些是 复数)， 则e1t，e2t ,..., ent为L[ x] 0的一个基本解组。
另外,还有如下重要性质:
(1) e ( K1 K 2 ) t e K1t e K 2 t , de Kt (2) Ke , dt n d Kt n Kt (3) n (e ) K e . dt
Kt
复值解 : 如果实变量复值函数z(t )满足方程
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x f (t ) (4.1) dt
则称实变量复值函数z(t )为方程(4.1)的复值解.
关于复值解有如下结论 :
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt
dx an 1 ( t ) an ( t ) x 0 dt
(4.2)
定理4.2.1 如果方程(4.2)中所有系数ai ( t )都是实值 函数, 而x z ( t ) ( t ) i ( t )是方程的复值解, 则z( t ) 的实部 ( t ), 虚部 ( t )和其共轭复数z ( t )也都是方程 (4.2)的解.
一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t ,有复 数z(t )=(t )+i (t )与它对应, 则称z(t )是定义在实值 区间[a, b]上的一个复值函数.
则方程(1)可简记为L[ x] f ( x )，而它所对应的齐线性方程可 记为L[ x] 0。
一、常系数齐线性微分方程的 解法
I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形
定理1：函数x e 为方程L[ x] 0的解当且仅当＝０ 为代数方程
i t
F a1
3 2
特征方程的根为
k1 0, k2 1, k3 3.
3t
所以所求方程的通解为
Y C1 C2e C3e
t
C2 C1 C3 x 3 . x
欧拉方程解法思路
变系数的线性 微分方程 变量代换
x e t 或 t ln x
常系数的线性微 分方程
注意：欧拉方程的形式．
dnx d n 1 x dx a1 n1 ... an1 an x f (t )， n dt dt dt (1)
其中ai (i 1, 2,..., n)都是常数。特别地，如果方程中的非齐次 项f ( x ) 0，则称它为n阶常系数齐线性微分方程。如果令
dnx d n 1 x dx L[ x ] n a1 n1 ... an1 an x， dt dt dt
1 t
sin i t , te
1 t
in i t，...，t
kr 1 i t
e
sin i t，
为L[ x] 0的一个实值基本解组。
一、欧拉方程
形如
xn y( n) p1 xn1 y( n1)
pn1 xy pn y f ( x ) (4.29)
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数) 叫欧拉方程.
定理4.2.2 设方程
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) iv( t ) dt
有复值解x U (t ) iV (t ), 这里ai (t ), u(t ), v (t )都是实 函数, 那么这解的实部U (t )和虚部V (t )分别是方程
d4x d2x 例2：求方程 4 2 2 x 0的一个基本解组。 dt dt
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
1 结果2 ：如果L[ x ] 0的特征方程F a1 ... an 0 2 有r个互异的实根1，2，...,r , 重次分别为k1，k2，...,kr
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ...,
则
il l i l , il l i l
e 1t，e 2 t , ..., e i t , e1t cos 1t，e1t sin 1t，...，e i t cos i t，e i t sin i t
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或ห้องสมุดไป่ตู้t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
d3x d2x 例1：求方程 3 2 2 x 0的一个基本解组。 dt dt
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x ] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l ( k 2l n)个复根
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy Dy,
2 d y dy 2 2 x y 2 ( D D ) y D( D 1) y , dt dt
3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
k (k ) x y D( D 1)( D k 1) y. 一般地，
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程.
dn y d n 1 y b1 n1 dt dt
dy bn1 bn y 0 dt
(4.30)
如果(4.30)有形如y e t的解, 则方程(4.29)有形如 y x K的解,因此可以直接求欧拉方程形如y x K 的解.以y x K 代入(4.29)并约去因子x K , 就得到确 定K的代数方程
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
作变量变换
x e t 或 t ln x,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , dx dt dx x dt
d 2 y 1 d 2 y dy 2 2 , 2 dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy 3 3 3 2 2 , 3 dx x dt dt dt
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i 是任一复数, 定义
e e (cos t i sin t )
Kt
t
则有
1 i t 1 i t i t cos t (e e ),sin t (e e i t ) 2 2i
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
2．x y 2 xy 2 y ln x 2 ln x;
2 2 2 2 3．x y 3 xy 4 y x x ln x .
练习题答案
C2 1．y C1 . x 1 2 1 2．y C1 x C 2 x (ln x ln x ) . 2 4 1 2 3 2 2 3．y C1 x C 2 x ln x x x ln x . 6
n
n1
... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式；
称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程；
称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
的解.
如果n阶线性微分方程 dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 ... an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ) n dt dt dt
中的系数a1 (t )(t 1, 2,..., n)都是常数，则称它们为n阶常系数 线性微分方程，即
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
为L[ x] 0的一个实值基本解组。
II: 特征根有重根的情形
结果2：如果L[ x ] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有m个互异的实根1，2，...,m , (1，2，...,m中可能有 一些是复数)，重次分别为k1，k2，...,km ( k1 +k2 +...+km n),
e 1t，te 1t , ..., t k1 t e 1t , e 2 t，te 2 t , ..., t k2 t e 2 t , .................. e ，te , ..., t
r t r t
kr t
e ,
r t
e1t cos 1 t，te1t cos 1t，...，t kr 1e i t cos 1t， e1t sin 1 t , te1t sin 1t，...，t kr 1e i t sin 1t， ..................................., e1t cos i t , te1t cos i t，...，t kr 1e i t cos i t， e
于是，为求L[ x] 0的形式为x ei t 解，只须求特征方程
F n a1 n1 ... an 0的根即可。
下面根据特征根是单根还是重根，分两种情况讨论。
I: 特征根是单根的情形
结果1：
如果L[ x ] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有n个互异的根1，2，...,n (1，2，...,n中可能有一些是 复数)， 则e1t，e2t ,..., ent为L[ x] 0的一个基本解组。
另外,还有如下重要性质:
(1) e ( K1 K 2 ) t e K1t e K 2 t , de Kt (2) Ke , dt n d Kt n Kt (3) n (e ) K e . dt
Kt
复值解 : 如果实变量复值函数z(t )满足方程
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x f (t ) (4.1) dt
则称实变量复值函数z(t )为方程(4.1)的复值解.
关于复值解有如下结论 :
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt
dx an 1 ( t ) an ( t ) x 0 dt
(4.2)
定理4.2.1 如果方程(4.2)中所有系数ai ( t )都是实值 函数, 而x z ( t ) ( t ) i ( t )是方程的复值解, 则z( t ) 的实部 ( t ), 虚部 ( t )和其共轭复数z ( t )也都是方程 (4.2)的解.