常微分方程典型例题

ln x 代回原变量，得原方程的通解cos y = ， C+x
此外u = 0，即 y = nπ + （为整数）也是原方程的解 2
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π
dy + x( y − x ) + x 3 ( y − x )3 = 1 例 10 dx du 解 令 y − x = u ，代入原方程得 = − xu − x 3 u3 dx 这是伯努利方程，令 z = u −2 ，则方程可
dx x 解 原方程可化为 = − + 1+ 2 ln y + 2ln y dy y
这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
C dx x 对应齐次方程 = − 的通解为 x = ， dy y y
C ( y) 令x = ，代入原方程，得 y
C ′( y ) = y + 2 y ln y ,积分得C ( y ) = C + y 2 ln y .
dy 3. x − y = 2 x 2 y ( y 2 − x 2 ) dx 4. xdy − ydx = ( x 2 + y ) 2 dx ′) 2 + 2 xy ′ − 1 = 0 5. 4e ( y
2y
6. ( xye + y 2 )dx − x 2 e dy = 0
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x y
x y
将方程从微商形式改为微分形式, 三 .将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型. 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
x3 代回原变量，得原方程通解为 e y = , 1 2 C− x 2 x3 即 y = ln( ) 1 2 C− x 2
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dy y y (4)形如 = xf (ax + b ) + (a,b 是常数 的方程 是常数)的方程 形如 dx x x
dz y 令 z = ,可化为 = f (ax + bz ) x dx
dy y 例 5 求方程 = − − (4 x 2 y 2 + 1) 的通解. dx x
dz 解 令 z = xy ,原方程可化为 = − x(4 z 2 + 1) dx
1 解之,再代回可得原方程通解 y = − tan( x 2 + C ) 2x
9
dy ay 令 z = e ay , (3)形如 = p ( x ) + q ( x )e 常数 a ≠ 0 的方程. dx dz 2 = ap( x ) z + aq( x ) z 可化为关于 z 的伯努利方程 dx
习题课
•本章的内容是可用初等积分法求解的各种类型 本章的内容是可用初等积分法求解的各种类型 的微分方程. 的微分方程. •要熟练掌握它们的解法，还应学习解微分方程 要熟练掌握它们的解法， 要熟练掌握它们的解法 的各种技巧， 的各种技巧， 特别要善于根据方程的特点进行变形， 特别要善于根据方程的特点进行变形， 或引进合适的变量替换，把它们变到我们熟悉 或引进合适的变量替换， 变量替换 的各种类型的方程. 的各种类型的方程.
（5）其它变量替换 ）
例9
xy ′ ln x sin y + cos y (1 − x cos y ) = 0
du u u2 解 令 u = cos y ,代入方程得 = − dx x ln x ln x
这是伯努利方程，做变换 z = u −1 ，化简得
dz z 1 =− + dx x ln x ln x (1)
dy y y 2 例 8 求方程 = + x( x + ) 的通解. dx x x
y dz 解 令 z = ,原方程可化为 = ( x + z ) 2 x dx
dz 令 u = x + z ,则 = 1 + u 2 dx
解之,再代回原方程,得通解为 y = x tan( x + C ) − x 2
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dz z 这是线性方程， 对应齐次方程 + = 0的 dx x ln x C 通解为 z = ln x
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C ( x) 设z = 代入线性方程(1),得C ′( x ) = 1 ln x
两边积分得C ( x ) = x + C
1 (C + x ) 所以，上述线性方程(1)的通解为 z = ln x
原方程通解为 y = −2 − x + Cex .
7
dy 2 x + 3 y + 4 = dx 4 x + 6 y + 5 解 令 2 x + 3 y = z，
例4 求解方程
则方程可化为
dz dy 3( z + 4) 7 z + 22 =2+3 =2+ = dx dx 2z + 5 2z + 5
分离变量，得
dz 化为 = 2 xz + 2 x 3 dx
易求得解为 z = Ce − x 2 − 1
x2
1 x2 2 原方程通积分为 = Ce − x − 1 2 ( y − x)
此外，y=x 也是方程的一个解.
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练习
dy 1. e ( + 1) = xe x dx
−y
2. ( y + xy 2 )dx + ( x − x 2 y )dy = 0
令 z = ax + by + c ,
则可将原方程化为变量可分离方程
dz = a + bf (z ) dx
6
dy 例 3 求方程 = x + y + 1的通解. dx
dz dy 解 令 z = x + y + 1,则 = 1 + , dx dx
dz 原方程化为 = 1 + z ,通解为 z = −1 + Ce x , , dx
例 12 解方程(ln x + xy 2 )dx + 2 x 2 ydy = 0
∂M ∂N 解 显然 ≠ ,原方程不是全微分方程, ∂y ∂x
把原方程改写成微商形式
dy ln x + xy dy 2 1 2 1 =− 或 = − y − 2 ln x 2 dx x x dx 2x y
2
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令 u = y 2 ,将其化为一个线性方程
7 z + 22 dz = dx 2z + 5 即 x = 2 z − 9 ln | z + 22 | +C 1 7 49 7
再代回原来变量可得原方程通积分.
8
dy y (2)形如 = − + f (xy ) 的方程 dx x
dz 令 z = xy ,可化为变量可分离方程 = xf (z ) dx
du 3u u 2 解 作变换u = e y ，则方程可化为 = + 2 dx x x
这是 n = 2的伯努利方程
dz 3z 1 令 z = u ，代入上式，化简得 = − − 2 dx x x dz 3 z c 对应齐次方程 + = 0 的通解为 z = 3 dx x x
−1
(1)
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x2 C ( x) 设 z = 3 ，代入线性方程(1)，得C ( x) = C − 2 x C 1 因此,线性方程(1)的通解为 z = 3 − x 2x
dy x − y + 2 例 11 解方程 = 2 dx x + y + 4
解 把方程改写为微分形式
( x − y + 2)dx − ( x + y 2 + 4)dy = 0 ∂M ∂N = −1 = 因为 ,所以是全微分方程, ∂y ∂x
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取 x0 = 0, y0 = 0 得通积分为
x2 y3 − xy + 2 x − − 4 y = C 2 3
2
2
2 C ′ ( y ) y + 2 yC ( y ) = C ( y ) y 2 − y y 1 化简得C ′( y ) = − y
2
积分得C ( y ) = − ln | y | +C1
所以原方程通积分为 x = y 2 (C1 − ln | y |)
y 例 2 y′ = 2 y ln y + y − x
C 于是通积分为 x = + y ln y . y
4
练习 1. y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0
1 2. y ′ = 2 x sin y − xy
1 3.y ′ = 3 3 xy − x y
5
2. 引进适当变换（变量替换） 引进适当变换（变量替换）
dy (1)形如 = f (ax + by + c) 的方程 dx
du 1 1 = − u − 2 ln x dx x x
解之,再代回得原方程通积分为
C 1 2 y = − ln x x 2x
2
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dy 1 例 6 求解方程 = − + xe y 的通解. dx x
dz y dy 解 令z = e , 则 = e dx dx
y
dz z 原方程化为 = − + xz 2 dx x
解之，再代回，得原方程通解为 y = − ln(Cx − x 2 )
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dy 1 y 例 7 解方程 = 2 (e + 3 x ) dx x
1
1. 交换x与y的地位 交换x
dy y 例 1 求方程 = 的通解. 2 dx 2 x − y
dx 2 解 方程改写为 = x − y dy y
(1)
2
对应齐次方程通解为 x = Cy
令 x = C ( y ) y 2 ,代如方程(1),得
2 C ′ ( y ) y + 2 yC ( y ) = C ( y ) y 2 − y y