常微分方程习题及评分标准答案
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程习题及评分标准答案
常微分⽅程习题及评分标准答案常微分⽅程分项习题⼀、选择题（每题3分）第⼀章：1．微分⽅程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（）（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第⼆章：2．下列是⼀阶线性⽅程的是（）（A ）2dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx-+= （C ）22()0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx= 3．下列是⼆阶线性⽅程的是（）（A ）222d y dyxx y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2(1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx=4．下列⽅程是3阶⽅程的为（）（A ）'23y x y =+ （B ）3()0dy xy dx+= （C ）3223()0dy d yx y dx dx+-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分⽅程43()()0dy dy dyx dx dx dx+-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．⽅程2342()20dy d yx y dx dx+-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对⽅程dy x ydx x y-=+，下列说法错误的是（）．（A ）⽅程为齐次⽅程（B ）通过变量变换yu x=可化为变量分离⽅程（C ）⽅程有特解0y =（D ）可以找到⽅程形如y kx =的特解(1y x =- 8．针对⽅程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（）．（A ）为⼀阶线性⽅程（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离⽅程（C ）⽅程有特解12y x π=++（D ）⽅程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利⽅程n y x Q y x P dxdy)()(+=，它有积分因⼦为（）（A ）(1)()n P x dx e -? （B ）()nP x dx e ?（C ）(1)()n P x dx xe -? （D ）()nP x dx xe ?10．针对⽅程2(cos sin )dyy y x x dx+=-，下列说法错误的是（）．（A ）⽅程为伯努利⽅程（B ）通过变量变换2z y =可化为线性⽅程（C ）⽅程有特解0y =（D ）⽅程的通解为1sin x y Ce x=-11．⽅程2()dy yxf dx x=经过变量变换（）可化为变量分离⽅程。
常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
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常微分方程分项习题一、选择题（每题3分） 第一章：1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ）（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章：2．下列是一阶线性方程的是（ ）（A ）2dy x y dx=- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+=（C ）22()0dy dy x xy dx dx+-= （D ）cos dyy dx = 3．下列是二阶线性方程的是（ ）（A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dyxy dx dx -+=（C ）2(1)0dy x xy dx+-= （D ）22cos cos d y y x dx =4．下列方程是3阶方程的为（ ）（A ）'23y x y =+ （B ）3()0dy xy dx+= （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dyy dx=5．微分方程43()()0dy dy dyx dx dx dx+-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46．方程2342()20dy d yx y dx dx+-=的阶数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程dy x ydx x y-=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为齐次方程（B ）通过变量变换yu x=可化为变量分离方程 （C ）方程有特解0y =（D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）．（A ）为一阶线性方程（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 （C ）方程有特解12y x π=++（D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程n y x Q y x P dxdy)()(+=，它有积分因子为（ ） （A ）(1)()n P x dx e -⎰ （B ）()nP x dx e ⎰（C ）(1)()n P x dx xe -⎰ （D ）()nP x dx xe ⎰10．针对方程2(cos sin )dyy y x x dx+=-，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为伯努利方程 （B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程 （C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1sin xy Ce x=- 11．方程2()dy yxf dx x=经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。
（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2yu x= （D ）2u x y =12．方程2()dyx f xy dx=经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。
（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2yu x= （D ）2u x y =13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ）（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（ ）（A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 （B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解（C ）方程的通解为1y c x c=-- （D ）方程有特解2y =±15．方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=其中(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数，如有1M Ny xM∂∂-∂∂=，则方程的积分因子为（ ）（A ）(,)y x y e μ= （B ）(,)y x y e μ-= （C ）(,)x x y e μ= （D ）(,)x x y e μ-= 16. 若函数()f x 满足关系式 20()()ln 22x tf x f dt =+⎰, 则等于()f x =（ ） （A ）ln 2x e （B ）2ln 2x e （C ）ln 2x e + （D ）2ln 2xe +第三章： 17．方程1ln dyx dx=+满足条件(1)0y =的解的存在区间为（ ）。
（A ）(0,) （B ）[0,) （C ）(1,) （D ）[1,)18．已知方程),(d d y x f xy=（其中(,)f x y 为区域R 上的连续函数），则利普希兹条件是保证方程初值解唯一的（ ）条件．（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 19．利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分 （D ）充分必要 20．方程22dyx y dx=+定义在矩形域:22,11R x y -≤≤-≤≤上，则经过点(0,0)的解存在唯一区间为（ ）（A ）[1,1]- （B ）11[,]22- （C ）[2,2]- （D ）11[,]55-21．方程22dyx y dx=+解存在区间为（ ）（A ）[1,1]- （B ）(,)-∞+∞ （C ）[2,2]- （D ）11[,]55-第四章：22. 微分方程''1x y y e -=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数)为（ ） （A ） x ae b + （B ） x axe b + （C ） x ae bx + (D) x axe bx + 第五章：23．初值问题''''270,(1)7,(1)2t x x tx e x x -+++==-=与下列（ ）一阶方程组等价。
（A ）'0107,(1)722t x x x t e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭（B ）'1007,(1)722t x x x t e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（C ）'0107,(1)722t x x x t e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭（D ）'0107,(1)722t x x x t e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭第六章：24．线性驻定方程组dxx y dt dy x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的奇点(0,0)是（ ）（A ）不稳定焦点 （B ）稳定结点 （C ）稳定焦点 （D ）鞍点25．线性驻定方程组272dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的奇点(0,0)是（ ）（A ）不稳定焦点 （B ）稳定结点 （C ）稳定焦点 （D ）鞍点26．驻定方程组22dx x y x dt dy x y y dt ⎧=---⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩的线性近似方程为（ ）（A ）dx y x dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （B ）11dx y x dtdy x y dt ⎧=---⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（C ）1dx y x dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （D ）1dxy x dtdy x y dt ⎧=---⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩27．已知2x x y =，则方程的4阶差分为（ ）（A ）4422x x y ∆=⋅ （B ）42x x y ∆= （C ）4432x x y ∆=⋅ （D ）442x x y ∆=⋅28．已知523x y x x x =+-，则方程的6阶差分为（ ）（A ）621x y x ∆=+ （B ）691x y x ∆=- （C ）60x y ∆= （D ）63x y x ∆= 补充差分29．已知2x x y =，则方程的4阶差分为（ ）（A ）4422x x y ∆=⋅ （B ）42x x y ∆= （C ）4432x x y ∆=⋅ （D ）442x x y ∆=⋅ 30．已知523x y x x x =+-，则方程的6阶差分为（ ）（A ）621x y x ∆=+ （B ）691x y x ∆=- （C ）60x y ∆= （D ）63x y x ∆= 二、填空题（每题3分） 第二章：1．方程()dyP x y dx =的通解为 （其中()P x 为x 的连续函数）。
2． 形如()()dyf xg y dx=的方程称为 ，且若有0y y =使得0()0g y =成立，则有 为方程的解。
3．伯努利方程2sin tan dyy x y x dx=+，立刻可以判断方程有特解为________________。
4．方程24dyxy x dx=-+的通解为 。
5．方程dy xdx y=-的通解为y = 。
6．(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=为恰当方程的充要条件是________________.7．方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=其中(,),(,)M x y N x y 为,x y 的连续函数，如有1M N y xM∂∂-∂∂=，则方程有积分因子为(,)x y μ=________________.8. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。
9. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含y 的积分因子的充要条件是 。
10.方程22(2)()0xy y dx y y x dy -+++=只含有y 的积分因子为()y μ= 。
11．)()(x Q y x P dxdy+= 称为一阶线性方程，它有积分因子 ⎰-dx x P e )( ，其通解为 _________ 。
12．一阶隐式方程(,)dyy f x dx=的方程，可以引进参数 对方程进行求解。
. 第三章： 13.方程22dyx y dx=+满足条件(0)0x =的解有__________个。
14. 函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，即存在常数0L >，对于所有R y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式 成立。
15. 若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤ ______ 。
第四章： 16. 若()(1,2,)i x t i n =为齐线形方程的一个基本解组， ()x t 为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表示为 。
17. 设)(),(21t x t x 分别是方程组)()(1t f x t A x +='，)()(2t f x t A x +='的解，则满足方程)()()(21t f t f x t A x ++='的一个解可以为___________。