常微分方程试题及参考答案
《常微分方程》考试参考答案（A卷）
《常微分方程》考试参考答案（A卷）《常微分方程》考试参考答案（A 卷）一、填空题（每空2分，共30分）1、()dy y g dx x = ln y x c x=+ 2、()()dy f x y dx= 2x y e = 3、2222M N y x= 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x tc x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立()0w t ≡6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c tc t -=+++7、322x xy y c -+=二、判断题（每题2分，共10分）1、√2、×3、×4、√5、√三、计算题（每题15分，共60分）1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离231y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x xλ+=-++ 2211ln 1ln ln 122y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++=从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=2、解：先求30dx x dt+=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+ ∴原方程的通解为：533211()55t t t t x e c e ce e --=+=+3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==-从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C ===21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++4、解：令cos sin y p t x t '==?=2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y Rf M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?∴11min(,)min(1,)44b h a M === 从而解存在区间为114x +≤ 231123221327()011()3311()[()]3311111139186342o o x x x y x x dx x x x x dx x x x x --====+=-+=---+?? 2(21)1(21)!24o ML y y h +-≤=+。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分期末试题及答案
常微分期末试题及答案[正文开始]第一部分：选择题1. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x + c 在区间 [0, 1] 上是增函数，则实数 c 的取值范围是：A) c > 1/4B) c > -1/4C) c < 1/4D) c < -1/4答案：A) c > 1/4解析：当 f(x) 是增函数时，f'(x) > 0。
对于 f(x) = 3x^2 + 2x + c，求导得到 f'(x) = 6x + 2。
显然当 x > -1/3 时，f'(x) > 0，即 c > 1/4。
2. 解微分方程 dy/dx = x^2 + 1 的通解为：A) y = (1/3)x^3 + x + CB) y = (1/3)x^3 + CC) y = (1/3)x^2 + x + CD) y = (1/3)x^2 + C答案：A) y = (1/3)x^3 + x + C解析：对方程 dy/dx = x^2 + 1 进行积分，得到 y = (1/3)x^3 + x + C，其中 C 为积分常数。
3. 设三角函数f(x) = sin(2x + π/3)，则 f'(x) = ？A) 2cos(2x + π/3)B) 2cos(2x - π/3)C) 2cos(2x)D) 2cos(2x + π/6)答案：B) 2cos(2x - π/3)解析：根据链式法则，对sin(2x + π/3) 求导，得到 f'(x) = 2cos(2x +π/3) * 2 = 2cos(2x - π/3)。
4. 设 f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，则 f(g(2)) = ？A) e^2B) e^3C) 2D) ln(2)答案：A) e^2解析：首先求 g(2) = ln(2)，然后将结果代入 f(x) = e^x 中计算，得到 f(g(2)) = f(ln(2)) = e^ln(2) = 2。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
《常微分方程》题库及答案
《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2．求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解； 3．解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩； 4．求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解； 5．求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。
14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。
15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。
16. 求方程y x e dxdy-=之通解。
17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。
18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。
二．1．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y ：2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。
自考常微分方程试题及答案
自考常微分方程试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项是一阶微分方程？A. dy/dx + 2y = x^2B. d^2y/dx^2 + y = 0C. dy/dx = 0D. d^3y/dx^3 - y = x答案：A2. 常数变易法主要用于求解什么类型的二阶线性微分方程？A. 欧拉方程B. 伯努利方程C. 线性齐次方程D. 线性非齐次方程答案：D3. 以下哪个解是微分方程y'' - y' - 2y = 0的一个特解？A. y = e^(2x)B. y = e^(-x)C. y = e^(x)D. y = e^(x/2)答案：A4. 微分方程y' = y/x 表示的曲线族是：A. 一系列直线B. 一系列抛物线C. 一系列双曲线D. 一系列椭圆答案：C5. 如果一个函数满足微分方程y'' + y' + y = 0，那么它是：A. 一个奇函数B. 一个偶函数C. 一个周期函数D. 一个非周期函数答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 解微分方程dy/dx = x^2 - y^2，当y(0) = 1时，y(1)的值为_________。
答案：07. 微分方程的通解为y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)，其中C1和C2是任意常数，该方程是_________阶线性齐次方程。
答案：一8. 微分方程y'' - 2y' + y = 0的特征方程为_________。
答案：r^2 - 2r + 1 = 09. 微分方程dy/dx = sin(x) + cos(y)满足初始条件y(0) = 0的解是y =_________。
答案：arccos(cos(x))10. 微分方程y' = y^2的解是y =_________。
答案：C/x + C^2，其中C是任意常数。
三、解答题（共75分）11. （15分）求解微分方程dy/dx - y = e^x，并给出通解。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
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常微分方程试题
一、填空题(每小题3分，共39分)
1.常微分方程中的自变量个数是________.
2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.
3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变
量分离方程.
4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式
为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.
5.方程=(x+1)3的通解为________.
6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满
足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.
7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.
8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0
中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.
9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.
10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组
x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.
11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之
等价的一阶方程组________.
12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基
解矩阵exp A t=________.
13.方程组
的奇点类型是________.
二、计算题(共45分)
1.(6分)解方程
= .
2.(6分)解方程
x″(t)+ =0.
3.(6分)解方程
(y-1-xy)dx+xdy=0.
4.(6分)解方程
5.(7分)求方程：
S″(t)-S(t)=t+1
满足S(0)=1, (0)=2的解.
6.(7分)求方程组
的基解矩阵Φ(t).
7.(7分)验证方程：
有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.
三、证明题(每小题8分，共16分)
1.设f(x,y)及连续，试证方程
dy-f(x,y)dx=0
为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.
2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明
方程
x=f(x)
存在唯一的一个解.
常微分方程试题参考答案
一、填空题(每小题3分，共39分)
1.1
2. 2+c1t+c2
3.u=
4. c为任意常数
5.y= (x+1)4+c(x+1)2
6.y=y0+
7. (x)=
8.对任意t
9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t
10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)
11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=3
12.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]
13.焦点
二、计算题（共45分）
1.解：将方程分离变量为
改写为
等式两边积分得
y-ln|1+y|=ln|x|-
即y=ln 或e y=
2.解：令则得
=0
当0时
-
arc cosy=t+c1
y=cos(t+c1) 即
则x=sin(t+c1)+c2
当=0时
y= 即
x
3.解：这里M=y-1-xy, N=x
令u=xye-x
u关于x求偏导数得
与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有
则
因此
u=xye-x+e-x
方程的解为xye-x+e-x=c
4.解：方程改写为
这是伯努利方程，令
z=y1-2=y-1 代入方程
得
解方程z=
=
于是有
或
5.特征方程为
特征根为
对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-t
f(t)=t+1, 不是特征方程的根
从而方程有特解=（At+B）,代入方程得
-(At+B)=t+1
两边比较同次幂系数得
A=B=-1
故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)
据初始条件得
c1=
因此所求解为：S(t)=
6.解：系数矩阵A=
则，而det
特征方程det( )=0, 有特征根
对
对
对
因此基解矩阵
7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点
令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*
这里R(X)= , 显然（当时）
方程组*中，线性部分矩阵
det(A- )=
由det(A- )=0 得
可见相应驻定解渐近稳定
三、证明题（每小题8分，共16分）
1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程
则f(x,y)=
因此仅有依赖于x的积分因子
反之，若仅有依赖于x的积分因子。
这里Ｍ＝－f(x,y),N=1
由-
方程为这是线性方程.
2.证明：由条件|f(x
1)-f(x
2
)| N|x
1
-x
2
|,易知，f(x)为连续函数，
任取x
作逐步点列
x
n+1=f(x
n
) n=0,1,
考虑级数x
+ 因
由归纳法知对任意k,|x
k -x
k-1
|
故级数x
+ 收敛
即序列{x
n
}收敛，设
对x
n+1=f(x
n
),两边求极限，注意f(x)连续，故x*=f(x*)
即x*是方程x=f(x)的解
又设是方程x=f(x)的任一解，则因N<1,必有x*=
因此解是唯一的。