常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期

常微分方程课程试卷（B）

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件．

2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二

维空间上的一条曲线．

3．线性齐次微分方程组Y

A

Y

)

(

d

d

x

x

=的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R

∈

x，n

R

Y∈．

4．二阶线性齐次微分方程的两个解)

(

1

x

yϕ

=,)

(

2

x

yϕ

=成为其基本解组的充要条件是线性无关．

5．方程2

sin()

y xy y

''

=+的通解是

6．变量可分离方程()()()()0=

+dy

y

q

x

p

dx

y

N

x

M的积分因子是()()

x

P

y

N

1

7．性齐次微分方程组的解组)

(

,

),

(

),

(

2

1

x

x

x

n

Y

Y

Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0

)

(≠

x

W．

8．方程540

y y y

'''

++=的基本解组是x

x e

e4

,-

-

二、选择题（每小题3 分，共15分）。

9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组．

(A) 一定有相同(B) 可能有相同

(C) 一定有相似(D) 没有相同

10．方程组

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

y

x

t

y

y

x

t

x

4

3

d

d

2

d

d

的奇点)0,0(的类型是（D ）．

（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）．

(A) 1±

=

x(B)1±

=

y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x

12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．

（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间

（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间

13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解．

(A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有

三、计算题（每小题8分，共48分）

。 14．求方程

x

y x y x y tan d d +=的通解 解：令x

y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=⎰⎰ C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin

15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x

x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x

y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为

1012

2d d 1C y x x y x y x

=+--⎰⎰ 即 C x

x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y +

'-'=的通解 解:令 p y ='，得到2

2

2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

整理得 ()012=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2x p =,代入（*） 得解 4

2

x y = 取 01=-dx

dp ,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 22

2

Cx Cx x y ++= 17．求方程53x y y e '''-=的通解

解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ，

特征根为 01=λ，32=λ

故齐次方程的通解为 x C C y 321e +=

因为5=α不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

x A x y 51e )(=

代入原方程，x x x A A 555e e 15e 25=-

即 10

1=

A ， 故原方程的通解为 x x C C y 5321e 101e ++= 18．求方程x y y 2sin 34=+''的通解

解：原方程对应的齐次方程的特征方程为 042

=+λ

特征根为 i 22,1±=λ，故齐次通解是

x C x C y 2sin 2cos 21+=

由于 i i 2±=±βα是特征根，故原方程有形如 )2sin 2cos (~

x B x A x y +=