《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16)

班级 学号 姓名

得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分）

1．方程x x y x

y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．

4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．

5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．

6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）

求下列方程的通解

7. x y x

y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x

9．0e =-'+'x y y

10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．

11．求下列方程组的通解．

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t

y y x t x 4d d d d

得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．

13．设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程

y x x

y sin )(d d ϕ= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

《常微分方程》期末试卷参考答案

一、填空题（每小题5分，本题共30分）

1．),(∞+-∞

2．x x 2cos ,2sin

3．必要

4．充分

5．n

6．必要

二、计算题（每小题8分，本题共40分）

7．解 齐次方程的通解为

x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为

x x C y 3e )(-=

代入原方程，确定出 C x C x +=

5e 51)( 原方程的通解为

x C y 3e -=+x 2e 51

8．解 由于x

N xy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰

即 C y y x x =++42242 。

9．解 令t y ='，则原方程的参数形式为

⎩⎨⎧='+=t

y t x t

e

由基本关系式

t t x y y t d )e 1(d d +='=

积分有

C t t y t +-+=)1(e 2

12

得原方程参数形式通解

⎪⎩

⎪⎨⎧+-+=+=C t t y t x t t

)1(e 21e 2 。 10．解 方程的特征根为01=λ，52=λ

齐次方程的通解为 x

C C y 521e += 因为i i 5±=±βα不是特征根。所以，

设非齐次方程的特解为

x B x A x y 5cos 5sin )(1+= 代入原方程，比较系数得 ⎩

⎨⎧=--=+-025*******B A B A 确定出 501-=A ， 50

1=B 。 原方程的通解为 )5sin 5(cos 501e

521x x C C y x -++= 。 11．解 特征方程为

014

11=--=-λλ

λE A 即 0322=--λλ 。 特征根为 31=λ，12-=λ 。

31=λ对应特征向量应满足

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--0031413111b a 可确定出 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a 所以，原方程组的通解为 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条

件． 显然1±=y 是方程的两个常数解． 任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10

13．证明 如果)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是二阶线性齐次方程

0)()(=+'+''y x q y x p y

的解，那么由刘维尔公式有

⎰=-x 0d )(0e

)()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有

C x W x W x W x t ==⎰=-)(e )()(0d 00x 0 。