常微分方程总结
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。
则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。
总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。
求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。
同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，取得dx x f y g dy)()(=，两边积分即可取得结果； 当0)(0=ηg 时，那么0)(η=x y 也是方程的解。
例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分取得)(2ln 2为常数C C x y +=因此)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。
例1.二、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分取得 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，因此有)0()1)(1(22≠=--C C y x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如)(xyg dx dy = 解法：令x y u =，那么udx xdu dy +=，代入取得)(u g u dxdux=+为变量可分离方程，取得)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入取得)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，那么b du adx dy +=，代入取得)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，取得)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入取得)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
常微分方程总结7页
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
微分方程公式总结
微分方程公式总结微分方程是数学中的一个重要分支，用于描述变量之间的关系以及其随时间或空间的变化规律。
微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，在实际问题的建模与求解中起到重要的作用。
本文将对微分方程的基本概念、常见的分类、常见的解法以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用微分方程。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。
一般形式为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是未知函数，y'、y''...y^(n)代表y对x的一阶、二阶...n阶导数。
常见的微分方程类型有：常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只含有一变量的导数，常见的类型有一阶、二阶和高阶常微分方程；偏微分方程中含有多个变量的偏导数，常见的类型有泊松方程、热方程和波动方程等。
二、常见的微分方程分类及解法1.一阶常微分方程一阶常微分方程形式为：dy/dx = f(x, y)解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程形式为：y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)解法：齐次线性微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法、变系数线性微分方程的解法等。
3.一阶偏微分方程一阶偏微分方程形式为：F(x,y,u,p,q)=0其中u=u(x,y)是未知函数，p=∂u/∂x，q=∂u/∂y为一阶偏导数。
解法：变量分离法、特征线法、线性方程法等。
4.二阶偏微分方程二阶偏微分方程形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0其中A、B、C、D、E、F为已知函数，A、B、C不同时为零。
解法：分离变量法、特征线法、变换法等。
三、微分方程的应用微分方程是物理学、工程学、经济学等实际问题的重要工具，应用领域广泛。
1.物理学应用微分方程可以描述物体的运动、电磁场的分布等物理现象。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结1.可分离变量法：可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形式的情况。
具体步骤如下：（1）将方程两边分离变量；（2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数；（3）解得的原函数通常包含一个未知常数c；（4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。
2.齐次方程法：齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。
具体步骤如下：（1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数；（2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导；（3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程；（4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。
3.线性方程法：线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
具体步骤如下：（1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式的方程；（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变得可积分；（3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换；（4）对两边进行积分，并解出原方程的解。
4.变量代换法：变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量；（2）求出新的微分方程的解；（3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。
5.恰当微分方程法：恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成为恰当微分方程的情况。
具体步骤如下：（1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程；（2）计算方程的积分因子；（3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程；（4）解恰当微分方程。
以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。
对于不同类型的微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
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（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
补充：设()()()12,,n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，若存在n 个不全为零的常数（强调存在性，找到一组常数即可）12,,,n k k k ，使得当对∀x I ∈时有恒等式：()11223()()0n k y x k y x k y x +++≡成立。
则称这n 个函数在区间I仅当12,,,n k k k 全等于零该等式才恒成立。
则这n 个函数在区间I例：函数221,sin ,cos x x 在整个数轴上线性相关。
221sin cos 0x x --≡恒成立。
函数21,,x x在任何区间(),a b →线性无关21230k k x k x ++≡要使恒成立，则1230k k k === 否则：若123,,k k k 不同时等于零，则21230k k x k x ++≡最多只有两个x 的值能是该式恒成立。
对x 不具有普遍性。
对两个函数()()12,y x y x 而言：()()12(y x c y x =常数）→线性相关()()()12(y x x y x ϕ=函数）→线性无关：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数的条件。
通解→特解一阶微分方程定解条件一般为：00x x y y == 二阶微分方程定解条件一般为：000,x x x x y y y y ==''== 其中000,,x y y '都是给定的值。
微分方程的解→()y x ϕ=求微分方程(,y f x y '=）满足初始条件00x x yy ==00(,x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩）()00,x y 的那条积分曲线。
()0000,,,x x x x y f x y y y y y y =='''⎧=⎪⎨''==⎪⎩()00,x y 且在该点斜率为0y '的那条积分曲线。
（4）几种常见的微分方程 1、可分离变量的微分方程一般形式形式：(,y f x y '=）对称形式：()(),,0p x y dx q x y dy +=（,x y 都可以看做函数，另一个为自变量）即：()()(),(,0),p x y dy q x y dx q x y =-≠或()()(),(,0),q x y dxp x y dy p x y =-≠可分离变量：如果一阶微分方程能写成()()g y dy f x dx =的形式。
特点：一端只含y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和dx 。
这样微分方程称为可分离变量的微分方程。
例：求解2dyxy dx=的通解。
解：12dy xdx y=→12dy xdx y =⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±=2、齐次微分方程一阶微分方程可以化成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式。
求解：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭y u x=→y ux =， dy du x u dx dx =+→()dux u f u dx+=→()11du dx f u u x =-（可分离变量）→通解 例：解方程22dy dyy xxy dx dx+=22dy dy y x xy dx dx +=→2y dy y dyx dx x dx ⎛⎫+=⎪⎝⎭→2du du u x u u x u dx dx ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ →()1du x u u dx -=→111du dx u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭→111du dx u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰⎰1ln ln u u x c →-=+→122ln ,ln yuxy ux u c ux c e y ux y c e y c x=-→=→==→=+ 3、一阶线性微分方程若()0dyp x y dx +=，称为一阶齐次线性微分方程。
若()()dy p x y q x dx+=（()0q x ≠），称为一阶非齐次线性微分方程。
解()0dyp x y dx+=的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 ()()()110ln dy p x y dy p x dx y p x dx c dx y+=→=-→=-+⎰()2p x dx y c e -⎰→= ()p x dxy ce -⎰→=（齐次方程通解）采用积分因子法求()()dyp x y q x dx+=()()()()()()()()()p x dx p x dx p x dx p x dx dy dy p x y q x e p x y q x e e y q x e dx dx '⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰+=→+=→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()p x dxp x dxe y q x e dx c ⎰⎰=+⎰()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰→=+⎢⎥⎣⎦⎰例：求解()52211dy yx dx x -=++的通解齐次通解：()()52122110ln 2ln 111212dy y dy y dy dx x y x c dx x dx x y x -=+→-=→=→=+++++ ()1ln 22ln 12y x c →=++()()222ln 2ln 1ln 2ln 2ln 21y x c y c x →=++→=+ ()21y c x →=+非齐次特解：()()()2222555111122221111dx dx dx dx x x x x dy y x e y e x e y e x dx dx x ----++++'⎡⎤⎰⎰⎰⎰-=+→=+→=+⎢⎥+⎣⎦⎰ ()()()()()5122ln 12ln 122111x x ey ex dx x y x dx --+-+→=+→+=+⎰⎰→()()12211x y x dx -+=+→⎰()()32212113y x x c ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦通解：()()3222113y x x c⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦4、伯努利方程形如：()()n dyp x y q x y dx+= 当0n =时，()()dyp x y q x dx += 一阶线性微分方程（公式法）当1n =时，()()dy p x y q x y dx +=()()dyq x p x y dx→=-⎡⎤⎣⎦ 可分离变量微分方程 求通解过程：()()()()1n n n dy dy p x y q x y y p x y q x dx dx--+=→+=()()()()1111n n y n p x y n q x --'⎡⎤→+-=-⎣⎦ ()()()()111n dzn p x y n q x dx-→+-=-（积分因子公式法）例：求解()2ln dy y a x y dx x +=5二阶线性微分方程形如：()()()22d y dyp x q x y f x dx dx++= 若()0f x ≡时，()()220d y dyp x q x y dx dx ++=称为：二阶线性齐次微分方程。
若()0f x ≠时，()()()22d y dyp x q x y f x dx dx++=称为：二阶非齐次微分方程。
推广：n 阶线性微分方程()()()()()()111n n n n ya x y a x y a x y f x --'++++=线性微分方程解的结构：对()()220d y dyp x q x y dx dx++=证明：()()()()11221122+y c y x c y x c y x c y x ''''''''=+=⎡⎤⎣⎦()1y x 是原方程的解，则：()()()()()1110y x p x y x q x y x '''++= ()()()()()1111110c y x p x c y x q x c y x '''∴++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 同理()()()()()2222220c y x p x c y x q x c y x '''++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()1122112211220c y x c y x p x c y x c y x q x c y x c y x '''+++++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦、得证：()()1122y c y x c y x =+是()()220d y dyp x q x y dx dx++=的解。