1 常微分方程的基本知识
常微分方程基本概念
常微分方程基本概念常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是数学分析中的一个重要分支，研究的是一元函数的导数与自变量之间的关系。
它在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍常微分方程的基本概念和相关知识。
一、常微分方程的定义常微分方程是描述未知函数的导数与自变量之间关系的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
二、常微分方程的阶数常微分方程根据未知函数的最高阶导数的阶数不同，可以分为一阶、二阶、高阶等不同阶数的微分方程。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指含有一阶导数的方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)例如，y' = 2x + 1就是一个一阶微分方程，其中y'表示y对x的一阶导数。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指含有二阶导数的方程。
一般形式可以表示为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)例如，y'' + y = 0就是一个二阶微分方程，其中y''表示y对x的二阶导数。
三、常微分方程的初值问题和边值问题常微分方程除了描述函数的导数与自变量之间的关系外，还可以给出一些初始条件或边界条件，从而确定唯一的解。
1. 初值问题初值问题是指在微分方程中给出了函数在某一点的初值条件，要求求解出满足该条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(x₀) = y₀其中，y(x₀) = y₀表示在点(x₀, y₀)处给定了函数的初始值条件。
2. 边值问题边值问题是指在微分方程中给出了函数在多个点的边界条件，要求求解出满足这些条件的解。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x, y)，y(a) = y_a，y(b) = y_b其中，y(a) = y_a和y(b) = y_b表示在点(a, y_a)和(b, y_b)处给定了函数的边界条件。
常微分方程的求解及其应用
常微分方程的求解及其应用常微分方程是微积分中十分重要的一个分支。
通过解决微分方程，我们可以得到模型在不同情况下的变化，进而为实际问题的解决提供了关键性所在。
本文将介绍常微分方程的求解及其应用。
一、常微分方程的基础知识在介绍常微分方程的求解之前，我们先来了解一些常微分方程的基础知识。
常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，即形如：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中y是自变量，x是因变量，f(x,y)是一个已知函数。
上述方程也可以写成以下形式：$$y'=f(x,y)$$其中y'表示y对x的导数。
二、常微分方程的求解方法1.可分离变量法可分离变量法是常微分方程最常用的求解方法。
该方法的主要思想是将变量y和x分离，即将f(x,y)拆分为g(x)h(y)，使得原方程可写成以下形式：$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$然后将上式两边分别积分即可。
以求解一阶线性微分方程为例，其形式为：$$y'+p(x)y=q(x)$$首先，将右式中的q(x)移到左边，得到：$$y'+p(x)y-q(x)=0$$然后，应用一个分离变量法的思想，令p(x)=P'(x)，即可将该方程写成：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$然后，我们使用降阶的方法将该一阶方程转换为首阶方程。
具体来说，将y分离出来，得到：$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y+Q(x)$$我们令u(x)=e^{\int P(x)dx}，则上式可以写成：$$u(x)\frac{dy}{dx}-u(x)P(x)y=u(x)Q(x)$$将上式两边同时积分，得到：$$u(x)y=\int u(x)Q(x)dx+C$$其中C为常数，e^{\int P(x)dx}也可以写成常数K。
这样，我们就求解出了一阶线性微分方程。
2.参数化方法参数化方法是常微分方程的另一种常见求解方法。
该方法的核心是寻找一条曲线，使得函数y(x)可以表示为该曲线上某点的函数。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学中，一阶常微分方程是一种非常基础而重要的概念。
它描述了物理现象和自然现象中的变化规律，是自然和工程科学中不可或缺的数学工具。
在本文中，我们将探讨一阶常微分方程的定义、求解方法以及应用。
一、一阶常微分方程的定义一阶常微分方程是指只包含一个自变量和一个未知函数的一阶微分方程，它的一般形式可以表示为：y' = f(x, y)其中y'是y关于x的导数，f(x, y)是x和y的函数。
这个等式可以理解为y关于x的变化速率等于f(x, y)。
二、一阶常微分方程的求解方法一阶常微分方程有多种求解方法，其中比较常用的方法有分离变量法、同解法、一阶线性微分方程的解法和常数变易法等。
1.分离变量法如果一阶常微分方程的右边可以写成两个只含x和y的函数的乘积（即f(x, y) = g(x)h(y)），那么我们可以将它改写成：dy/h(y) = g(x)dx将方程两边分别对x和y求积分，即可得到：∫dy/h(y) = ∫g(x)dx + C其中C为常数。
2.同解法如果我们有两个相似的一阶常微分方程，它们只有一个参数不同（例如y' = f(x, y, a)和y' = f(x, y, b)），那么它们的解通常也是相似的。
我们可以先用一个形式通解表示其中一个解，然后通过代入不同的参数值来求得所有解。
3.一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：y' + p(x)y = q(x)其中p(x)和q(x)为x的函数。
我们可以通过变换再将它的形式转化为：(dy/dx) + p(x)y = q(x)这个方程可以用变量分离法和常数变易法进行求解。
4.常数变易法常数变易法是一种较为通用的求解方法。
它的基本思想是将通解表示为一个形式相同但常数不同的一组解的线性组合。
设y1和y2是方程的两个解，那么它们的线性组合可以写成y = C1y1 +C2y2的形式，其中C1和C2为常数。
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法
常微分方程常微分方程的基本概念和求解方法常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是描述自变量只有一个的未知函数及其导数之间关系的方程。
在物理学、工程学、经济学等领域中，常微分方程被广泛应用于各种问题的建模与求解。
本文将介绍常微分方程的基本概念和求解方法。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数及其导数之间关系的数学方程。
一般来说，常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两大类。
一阶常微分方程中未知函数的导数最高只有一阶导数，而高阶常微分方程中未知函数的导数可以是二阶、三阶，甚至更高阶的导数。
常微分方程的解是指能够满足方程条件的函数形式，解的形式可以是显式解或隐式解。
显式解是直接给出的解析表达式，而隐式解则是以方程的形式给出。
常微分方程的解集通常具有唯一性。
其中，初始值问题（Initial Value Problem，简称IVP）是对常微分方程的一种特殊求解方法。
在初始值问题中，除了给出方程本身的条件外，还需给出未知函数在某一点的值，用于确定解的具体形式。
二、常微分方程的求解方法常微分方程有多种求解方法，常见的方法包括分离变量法、二阶线性微分方程的特解法和常系数线性齐次微分方程的特征根法等。
具体求解方法选择取决于方程的形式和性质。
1. 分离变量法（Separation of Variables）分离变量法适用于可以将方程的变量分离并分别对各个变量积分的情况。
首先，将方程中的未知函数和其导数分别放在等号两边，然后对方程两边同时积分，最后解出未知函数。
2. 二阶线性微分方程的特解法对于二阶线性微分方程，可以采用特解法求解。
特解法的基本思想是假设未知函数的解具有特定形式，代入方程后求解得到特解。
特解法适用于方程的解一般形式已知的情况。
3. 常系数线性齐次微分方程的特征根法对于常系数线性齐次微分方程，可以采用特征根法求解。
特征根法的基本思想是假设未知函数的解具有指数形式，代入方程后求解得到特征根和特征向量。
高中数学常微分方程知识点总结
高中数学常微分方程知识点总结微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。
在高中数学课程中，学生们需要学习常微分方程的知识，并且利用这些知识解决实际问题。
本文将对高中数学中常微分方程的主要知识点进行总结。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数的泛函方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
其中，y是未知函数，f(x, y) 是已知的函数。
常微分方程的解是能够满足该方程的函数。
二、常微分方程的分类常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1.一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数为一的微分方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数大于一的微分方程。
高阶常微分方程的求解可以通过转换为一阶方程组、特解叠加法、特征方程等方法求解。
三、常微分方程的解法1.分离变量法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x分离，则可以将方程化简为两个变量的乘积形式，从而可以通过分离变量的方式求解出y的表达式。
2.齐次方程法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x在方程中通过同一个变量替换成比值的形式，则可以将方程化简为一个纯含有未知函数y的方程，从而可以通过变量代换解出y的表达式。
3.线性方程法对于一阶常微分方程，若可以将方程化简为形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的线性方程，则可以通过积分因子或待定系数法等方法求解出未知函数y的表达式。
4.特解叠加法对于高阶常微分方程，可以通过叠加一般解和特解的方式求解出方程的解。
一般解是该方程的任意解，特解是方程的一个特殊解。
5.特征方程法对于高阶常微分方程，可以通过求解该方程的特征方程得到方程的特解形式。
特征方程是该方程对应的齐次方程的根的特征方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的特解形式。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
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dy (1) = 2x ; dx
2 3
(2) xdy − ydx = 0 ;
d 4x d 2x d x dx + 5 2 + 3 x = sin t ; (3) + tx + x = 0 ; (4) 4 dt dt dt 2 dt
一般要求解出最高阶导数： 一般要求解出最高阶导数：
dny dy dny = f x, y , , L , n n dx dx dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 19
通过引入n-1个新的未知变量，可以把n阶微分方程 个新的未知变量，可以把 阶微分方程 通过引入 个新的未知变量 化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组 个由一阶微分方程组成的微分方程组： 化为 个由一阶微分方程组成的微分方程组： dyn −1 d n y dy1 dy2 d 2 y y1 = y, y2 = , y3 = = 2 , L , yn = = n dx dx dx dx dx
u
u
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
一阶微分方程组的一般形式： 一阶微分方程组的一般形式：
dx1 = f1 ( t , x1 , x2 ,L , xn ) dt dx2 = f 2 ( t , x1 , x2 ,L , xn ) dt M dx2 = f n ( t , x1 , x2 ,L , xn ) dt
8
电路的Kirchhoff第二定律 第二定律: 第二定律 解: 电路的 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数和为零. 所有支路上的电压的代数和为零
设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 dI Q L , RI , , 其中Q 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 dt C 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到
dy1 = y2 dx dy2 = y3 dx M dyn −1 = yn dx dyn = f ( x, y1 , y2 ,L , yn ) dx
20
dn y = n dx
dy dn y f x, y, ,L, n dx dx
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微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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二、微分方程的阶 定义： 定义 ： 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数. 微分的阶数称为微分方程的阶数. 如:
dy (1) = 2x dx
(2) xdy − ydx = 0
是一阶微分方程；
d x dx (3) + tx + x = 0 2 dt dt
即
f ( x) = ∫ 2 xdx + C = x 2 + C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得
f (1) = 3,
2
C = 2. 故所求的曲线方程为:
y = x + 2.
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基本概念
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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一、常微分方程与偏微分方程
解: 根据题设,每个病人每天可使
λs(t )个健康者变为病人.
由于病人总人数为 Ni (t ), 所以每天共有λ Ns (t )i (t )个健康者被感染.
di 于是病人增加率为 N = λNsi , dt 又因s (t ) + i (t ) = 1, 再由初始条件得
di = λi (1 − i ) dt
2
3
是非线性微分方程. 是非线性微分方程.
2.n阶线性微分方程的一般形式
dny d n −1 y + a1 ( x) n −1 + L + an ( x) y = f ( x) n dx dx
这里a1 ( x),L an ( x), f ( x)是x的已知函数.
(2)
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四 微分方程的解
定义
如果函数y = ϕ ( x), x ∈ I , 满足条件 :
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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解:
设物体在时刻
t 的温度为 u (t ). 根据导数的物理意义, 则
du . 由Newton冷却定律, 得到 温度的变化速度为 dt
du = −k (u − u a ), dt
其中 k > 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间的函数关系,而只是 给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式 子求得 与 t 之间的关系式, 以后再介绍.
向量形式
dx = f ( t , x (t ) ) dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 21
2007年8月
三 线性和非线性
dy d y 1.如果方程 F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 , L , n 的一次有理式, dx dx 则称其为n 则称其为n阶线性方程.
dR = −kR, dt R(0) = R0
这里k > 0, 是由于R(t )随时间的增加而减少.
解之得 : R(t ) = R0 e − kt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测得它的温度为
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为 : ,假设条件为
(1)在时该t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s (t )和i (t ).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是λ ,
λ称日接触率.
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dy (1) = 2 x; dx
2
(2) xdy − ydx = 0 ;
3
d x dx (3) + tx + x = 0; 2 dt dt
d 4x d 2x ( 4) + 5 2 + 3 x = sin t ; 4 dt dt
都是常微分方程
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∂z ∂z (5) + =z ; ∂x ∂y
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∂ 2u ∂ 2u (6) + 2 + x + y − uz = 0 . 2 ∂y ∂x
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1.常微分方程 常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程 常微分方程. 常微分方程 如
2.偏微分方程 偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程 偏微分方程. 偏微分方程 如
∂z ∂z (5) + =z ; ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u (6) + 2 + x + y − uz = 0 . 2 ∂x ∂y
都是偏微分方程.
注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程.
2007年8月
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2. 求平面上过点 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标 倍 且每点切线斜率为横坐标2倍 且每点切线斜率为横坐标
的曲线所满足的微分方程. 的曲线所满足的微分方程
解: 设所求的曲线方程为
y = f (x).
由导数的几何意义, 应有
f ' ( x ) = 2 x,
常微分方程
常微分方程基本知识 线性微分方程组理论 高阶线性微分方程 微分方程定性方法初步
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 1
常微分方程
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人 口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规 律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数 学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
如 (1) dy = 2 x
n
dx
(2) xdy − ydx = 0