弹簧类问题分类例析与练习

弹簧类问题分类例析

弹簧基础知识

弹簧类弹力：

大小：F=kx（在弹性限度以内）；

方向：沿弹簧轴线而指向弹簧的恢复原状的方向

弹簧作为一种工具和模型，在各地历年高考中经常出现，笔者经过多年的研究，现分类总结如下：

一、应用对称性解题

例1 如图1所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）

A. 升降机的速度不断减小

B. 升降机的加速度不断变大

C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功

D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

分析：弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。由动能定理知识选项（C）正确，选项（D）学生难于判断。设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证明小球的运动为简谐运动。由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。若小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。故选（D）正确。

评析：简谐运动的对称性在弹簧问题的运动上有广泛的应用，因此在解决有关于位移、速度、加速度及力的变化时，经常用到。

二、用胡克定律解题

例2 如图2所示，两木块的质量分别为m

1和m

2

，两轻质弹簧的劲度系数分别为k

1

和

k

2

，上面木块压在上面的弹簧上（但不栓接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为（）

A. m g k 11/

B. m g k 21/

C. m g k 12/

D. m g k 22/

解析：我们把m m 12、看成一个系统，当整个系统处于平衡状态时，整个系统受重力和弹力，即

()()/m m g k x x m g m g k 12211122

+==+则

当上面木块离开弹簧时，m 2受重力和弹力，则

m g k x x m g k x x x m g k C 222222

1212===-=，则所以，应选（）

//∆

评析：该题涉及到整体法和隔离法的应用，解题时要看清问题的关键，根据整体法和隔离法的运用条件，选择适当的方法。

三、应用瞬时不变性解题

例3 如图3所示，物体的质量为m ，L 1为质量不计的轻弹簧，一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2为一水平绳，现将L 2剪断，求剪断瞬间物体的加速度。

解析：设弹簧的拉力为T L 12，的拉力为T 2，重力为mg ，物体在三个力的作用下保持平衡，则

T mg T T T mg 1122cos sin tan θθθ

===，

剪断线的瞬间，T 2消失，而弹簧L 1的长度未及发生变化，T 1的大小和方向都不变，物体即在T 2反方向获得加速度。

因为mg ma tan θ=，所以a g =tan θ，方向在T 2的反方向。

评析：解决此类问题要注意分步解决。先分析原状态受力情况，再分析变化瞬间，哪些力存在，哪些力消失，最后，用牛顿第二定律列方程求解。

四、应用能量及动量观点解题 例4 在如图1所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后，留在木块内，将弹簧压缩到最短。 若将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），

此系统从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的整个过程中，动量是否守恒？机械能是否守恒？说明理由。

例5：如图1所示，若木块的质量为M ，子弹的质量为m ，弹簧为轻质弹簧，子弹以速度v 0射入木块B 后能在极短时间内达到共同速度。求弹簧可能具有的最大弹性势能。

分析：学生在分析过程中，最容易怱略的就是的在A 、B 的碰撞过程中存在能量的损失。 运动情景分析：过程一：子弹A 射入木块B 的过程；过程二：子弹A 和木块B 一起压缩弹簧，做加速度越来越大的变减速直线运动。

对子弹A 和木块B 构成的系统，在子弹A 射入木块B 的过程中，内力远大于外力，系统动量守恒，设子弹射入木块后的共同速度为1v ,由动量守恒定律，有：

10)(v m M mv += ①

对子弹A 、木块B 和弹簧构成的系统，从子弹射入木块后到弹簧压缩到最短的过程中，系统能量守恒，有：

图1

()21max 2

1

v m M E P +=

② 联立①②两式得：弹簧具有的最大弹性势能为()

m M v m E P +=220

2max

例6：质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为0x 如图3所示。一物块从钢板正上方距离为03x 的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最底点后又向上运动。已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点。若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度。求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。（1997年全国卷第25题）

分析：本题涉及两个物理过程，第一过程就是m 下落与钢板的作用过程，第二过程就是2m 下落与钢板的作用过程。第一过程包括：自由落体、碰撞、振动3个过程；第二过程包括：自由落体、碰撞、振动、竖直上抛4个过程。此题涉及的物理过程有4个，用到的物理规律和公式有4个，它将动量守恒和机械能守恒完美地统一在一起，交替使用，可以说是一道考查考生能力的好试题。

设物块与钢板碰撞时的速度为0v ,对物块，在下落过程中，由自由落体公式，得

02032x g v ∙= ①

设1v 表示质量为m 的物块、钢板碰撞后一起向下运动的速度，因碰撞时间极短，系统所受外力远小于相互作用的内力，符合动量守恒，对质量为m 的物块和钢板，由动量守恒定律得

102mv mv = ②

设刚碰完时弹簧的弹性势能为P E ，当它们一起回到O 点时，弹簧无形变，弹簧势能为零，根据题意，由机械能守恒得

0212)2(2

1

mgx v m E P =+ ③

设2v 表示质量为2m 的物块与钢板碰后开始一起向下运动的速度，由动量守恒，则有

图3

2032mv mv = ④

设刚碰完时弹簧势能为P

E '，它们回到O 点时，弹性势能为零，但它们仍继续向上运动，设此时速度为2v ，则由机械能守恒定律得

202

2)3(2

13)3(21v m mgx v m E P +=+' ⑤

在上述两种情况下，弹簧的初始压缩量都是0x ，故有

P P

E E =' ⑥ 当质量为2m 的物块与钢板一起回到O 点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力

的作用，加速度为g ，一过O 点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g ，由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g ，方向向下，故在O 点物块与钢板分离。分离后，物块以速度v 竖直上升，由竖直上抛最大位移公式得

g

v h 220

= ⑦

联立①—⑦式得：2

x L =

即物块向上运动到达的最高点距O 点的距离2

x L =

。 评析：该题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，难度较大，运用公式较多。此题主要用来考查学生分析、综合、推理判断能力，还考查了机械能守恒定律以及动量守恒定律的应用。解这种类型试题时，要认真分析物理全过程中有哪些物理现象，找到每一现象所对应的物理规律，并从这些规律所反映的各类物理量的关系，获得所求量的定性解释或定量计算。

三．弹簧专题总结：

1.关键：物理情景的分析

2.突出一个字——“变”： “变”：变换研究对象 “变”：变换研究过程 “变”：变换物理规律

力争做到灵活选择对象，灵活选用规律，快速准确求解。 3.常用规律：

①力的观点：牛顿运动定律

②动量的观点：动量定理、动量守恒定律

③能量的观点：动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律

练习题

1、如图2所示，轻弹簧的一端固定，另一端与滑

块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，与B 相碰，碰撞时间

极短，碰后B 紧贴在一起运动，但互不粘连。已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v 。(2004年广东卷)

2、在光滑水平导轨上放置着质量均为m 滑块B 和C ，

B 和

C 用轻质弹簧拴接，且都处于静止状态。在B 的右端有一质量也为m 的滑块A 以速度0v 向左运动，

与滑块B 碰撞的碰撞时间极短，碰后粘连在一起，如图4所示，求弹簧可能具有的最大弹性势能和滑块C 可能达到的最大速度。

练习解答：

1、分析：此变式的物理情景较复杂，注意分析物理过程，再针对不同的过程选择

恰当的规律列式。

过程一：对滑块A ，从P 到与B 碰撞之前做匀减速直线运动，设滑块A 与B 碰撞前瞬间的速度为1v ，由动能定理得

2

02112

121mv mv mgl -=

-μ ① 过程二：滑块A 与滑块B 发生碰撞，由于碰撞时间极短，内力远大于外力，A 、B 构成的系统动量守恒，设A 、B 碰撞后的速度为2v ，由动量守恒定律，得

图4

21)(v m m mv += ②

过程三：A 和B 一起压缩弹簧直到A 、B 速度变为零，然后A 、B 在弹簧弹力的作用下一起返回，直到弹簧恢复原长。设当弹簧恢复原长时，A 、B 的速度为3v ,在这一过程中，弹簧的弹性势能始末两态都为零，对A 、B 和弹簧，由能量守恒定律得

()()()()223222222

1221

l g m v m v m μ=- ③ 过程四：当弹簧恢复原长时，滑块A 、B 分离（为什么？学生讨论），A 单独向右滑到P 点停下；以后只需分析滑块A 的运动情况。对滑块A ，在A 、B 分离之后，在滑动摩擦力的作用下匀减速运动到P 处停止。由动能定理得

2

3

12

10mv mgl -=-μ ④ 联立①—④，得：)1610(210l l g v +=

μ

2、分析：首先A 与B 发生碰撞，系统的动能损失一部分；C 在弹簧弹力的作用下加

速，A 、B 在弹力的作用下减速，但A 、B 的速度大于C 的速度，故弹簧继续被压缩，直到A 、B 和C 的速度相等，弹簧的压缩量达到最大，此时弹簧的弹性势能最大。此后，C 继续被加速，A 、B 减速，当弹簧第一次恢复原长时，C 的速度达到最大，同时A 、B 分离。

设A 、B 碰撞之后达到的共同速度为1v ,A 、B 、C 三者达到的共同速度为2v ，当弹簧第一次恢复原长时，A 、B 的速度为3v ，C 的速度为4v .

对A 、B ，在A 与B 的碰撞过程中，动量守恒，由动量守恒定律得

10)(v m m mv += ①

对A 、B 、C ，在压缩弹簧直至三者速度相等的过程中，动量守恒，由动量守恒定律得

21)()(v m m m v m m ++=+ ②

A 、

B 、

C 系统的能量守恒，有

max 2221)(2

1)(21P E v m m m v m m +++=+ ③ 联立以上三式得2

max 12

1mv E P = 对A 、B 、C 弹簧组成的系统，从A 、B 碰撞后到弹簧再次恢复原长的过程中，动量、能量守恒，有：

43122mv mv mv += ④

2423212

1221221mv mv mv += ⑤ 联立④⑤得C 的最大速度为043

2

v v =